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摘 要：练习课是对“新授课的补充和延续”，不仅承载着实现学生对“双基”的牢固掌握，同时还要落实思维的提升和创新。为充分发挥练习课的功能，笔者在教学圆柱体积之后，基于教材分析及学生的作业反馈情况，精简习题，设计了圆柱体积练习一课，以此来巩固“双基”，提升思维。
关键词：圆柱体积；练习课；练习
练习课是对“新授课的补充和延续”，不仅要实现学生对“双基”的牢固掌握，同时还要落实思维的提升和创新。发挥好练习课的功能，体现思维提升的连续性，需要教师在钻研教材、了解学生的基础上聚焦核心，精心设计教学环节，精简习题，提高教学的针对性和实效性。下面笔者以“圆柱体积练习课”为例谈谈自己的实践与思考。
■一、 教学设计
根据教材分析和学情了解，本课笔者采用了“回顾旧知——错例分析——画图操作——综合提升”的流程进行教学。
（一）回顾旧知，夯实基础
1. 说一说：圆柱的体积计算公式是如何推导的？
2. 只列式不解答：
（1）圆柱的底面积是3平方厘米，高是5厘米，求圆柱的体积。
（2）圆柱的底面半径是3厘米，高是5厘米，求圆柱的体积。
（3）圆柱的底面周长是6.28厘米，高是5厘米，求圆柱的体积。
【设计意图】通过回顾圆柱体积计算公式和列式解决圆柱体积问题，旨在巩固圆柱体积计算的基础，强化圆柱体积计算的模型，提高计算能力，为后面的学习做好铺垫。
（二）错例分析，小结方法
1. 出示错例。
师：老师选取了一些同学们作业本上错误较多的题目，我们一起来分析一下原因吧。
（1）计算图中圆柱的体积。
（2）把一根长1米的圆柱形铁棒锯成3段（每段仍是圆柱体），表面积比原来增加了30.36平方分米，这根铁棒的体积是多少立方分米？
师：大家仔细看，这些题目错在哪里？
2. 组内讨论（分析错误原因）。
3. 集体交流。
4. 动画演示（木材锯成三段的过程，突破解题难点）。
5. 引导观察，得出规律。
（1）说一说木材锯成4段、5段、6段时，锯的次数和增加的面数。
（2）找一找锯的次数、分的段数和增加的面的个数之间的关系。
（3）总结规律：段数-1=切的次数，切的次数×2=增加的面的个数。
（4）谈一谈：通过错例分析，你有什么启发？
6. 小结方法：在练习时首先要审题清楚，注意单位和数据的意义；接着要理清关系，分析段数、切的次数和增加的面的个数；还可以借助画图的方式来分析。
7. 巩固练习（练习第10题）
【设计意图】利用已有素材，找准问题关键，辅助学生寻找解题的思路。在第二个错例评析中，用动画明晰切成3段要切2次，增加的是4个底面，以此理解题中增加表面积指的是4个底面积，进而深入研究切的次数、分的段数和增加的面数之间的关系，得出规律。
（三）动手操作，感受直观
1. 出示：一个长为6 cm，宽为4 cm的长方形，如果以某一条边所在的直线为轴迅速旋转。（如图3）
2. 分析题意：思考以长方形的一条边为轴旋转，扫过的空间是什么图形？
3. 操作验证。
4. 尝试画图：画出旋转后所形成的图形（图3）。
5. 交流反馈。
（1）展示作品。
（2）教师演示。（如图4）
（3）修改草图。
6. 猜想比较。
（1）猜想：两种不同的旋转方式得到的圆柱，哪个体积大？
（2）计算验证。
（3）小结：同一个长方形绕着不同的边旋转得到的两个圆柱的体积不同，以宽为轴长为半径旋转得到的圆柱体积大。
【设计意图】从平面图形入手，让学生通过观察、想象、操作、讨论、计算、验证长方形旋转后所扫过的空间图形是圆柱，以不同的旋转轴旋转会得到不同的圆柱且体积是不相等的（如图4），旨在进一步巩固圆柱体积的计算方法，发展学生的空间观念，建立平面图形与立体图形的联系。
（四）综合实践，提升思维
1. 出示習题：现有一根底面直径为1分米，高12厘米的圆柱形木材，王师傅想把这根木材切成形状大小相等的4块小木块。
（1）思考王师傅有几种切法，画出图示。
①独立尝试；（如图5）
②同桌交流；
③展示反馈。（如图6）
（2）每块小木块的体积分别是多少？
①独立尝试计算；
②思考汇报：为什么小木块的形状不同，但体积一样？
③小结：虽然形状不同，但是都是把总体积平均分成了4份，所以每小份的体积相等。
（3）不同切法所增加的表面积各是多少？
①猜想；
②计算验证；
③总结：体积虽然相等，但是切割的方法不同，增加的表面积也不同。
【设计意图】用画图法将一个圆柱体木块平均分成4块，发现切法是多样的；接着比较不同的切法每种小木块的体积，渗透变与不变的思想方法；再比较不同切法所增加的表面积的大小，通过猜测，计算，比较得出不同的切法每块木块的体积虽然相同但是圆柱所增加的表面积是不同的，从而发展学生的空间观念，积累数学活动经验。
二、实践反思
（一） 凸显练习课功能，巩固、提升双管齐下
练习课的“练”并不是简单重复、机械地练，它是一个新知识进行补充和完善的过程。数学知识呈现螺旋上升的特点，任何一个环节都会影响后续的学习，因此，练习课不仅需要巩固，更需要提升。教学的四个练习环节依次体现了巩固基础知识、灵活运用知识、提升数学思维的练习功能。 第一环节回顾圆柱体积计算公式的推导过程及口答简单的圆柱体积计算算式，有效唤起学生的知识起点。这样的再忆知识既节省了时间又让学生牢固掌握了圆柱体积公式，做到了以练固基，同时也照顾了潜质生的学习。
第二环节充分体现了练习课“以练活用”的功能。错例分析对学生所掌握的知识有查漏补缺的作用，再以练习加以巩固、运用，很好地落实了“双基”。本节课选择的第一个错例目的在于熟练圆柱体积的计算，提升学生的计算能力；选择的第二个错例不仅为巩固圆柱体积计算，同时通过寻找截次、段数、增加的面数的关系，从而得出规律，使学生更好地掌握此类题目的解题方法，做到触类旁通，知其然且知其所以然。
第三、 四环节则更侧重练习“发展性教学”功能。首先，教师引导学生想象如果绕长方形的一边旋转可以怎么操作，接着通过操作发现长方形绕不同边旋转形成的圆柱形状不同，再经历动手画圆柱图形掌握画图方法，在猜测、计算中比较不同方式旋转后得到的圆柱体积大小，进而引发思考，推理为什么以长为半径的圆柱体积更大。在这个操作活动过程中，学生的空间想象能力和几何直观不断地发展，对物体的表象逐步抽象。画图能力的培养是培养学生几何直观的重要手段，本节课的画图操作非“以练而练”，而是将练习画圆柱图作为基础，深入研究切割圆柱体的方法，学生在画图和交流中感悟到：原来切割圆柱体的时候不仅横切和纵切能将圆柱体分成大小相等的圆柱，还能用斜切的方法，虽然斜切的方法在这节课里没有继续研究，但是这足够体现练习的意义，學生的数学思维在不断地提升，考虑问题也更加全面、缜密，为学生今后的学习奠定了较高的思维基础。
（二）注重操作活动，积累活动经验
数学活动，无论是经验的积淀、基本思想的初步形成，还是数学抽象能力、推理能力、建模能力的培养，都离不开学生的主动参与、独立思考和亲身实践，都离不开学生的自我构建。《新课程标准》也指出，“动手实践、自主探索、合作交流是学习数学的重要方法”。本节课中有两次操作活动，即“旋转平面图形”和“画示意图”。长方形绕边旋转成圆柱是让学生的思维从二维空间逐渐过渡到三维空间；画图操作是在学生建立表象后的深层次加工，是一次完整的探索过程，正如史宁中教授指出的，“按照抽象深度的不同，抽象可以区分为简约阶段、符号阶段、普适阶段”。上述两次操作活动恰恰体现了抽象从简约阶段走向普适阶段，学生的活动经验在这两类活动中逐渐提升。
（三）放慢教学脚步，渗透数学思想方法
习题在数学教学结构中有着举足轻重的作用，在练习课中尤为重要。习题的解决过程往往就是数学思想方法运用的过程，暗含着数学思想渗透的契机。纵观整节练习课，我们在习题选择上避免了一味地就题论题，在讲解上凸显了数学的思想方法。如在错例评析第二题时教师提问：“同学们，请你们仔细观察这几位同学的作业，你知道他们错在哪里，为什么会错吗？”引导学生分析错误原因，同时也明确解题方法。但此时教师并没有在给出正确答案后“刹车”，而是继续让学生观察、想象、讨论，让学生寻找圆柱切割时切次、面数、段数三者之间的规律，当学生发现规律之后再次引导学生去思考从这些错例中得到的启发，对我们今后练习有什么帮助。这样看似拖沓的教学，其实是让学生的体验从感性层面逐步上升到了理性层面，学生的视角不光停留在简单的对与错，更多的是对错例的一种反思。同样在练习中教师逐步了渗透着数学模型思想，将数学思维提升到了一定的高度。模型思想在解决小木块的体积时也有渗透，通过比较发现不管小木块的形状如何，小木块的体积就是总体积÷4。有时候推理思想的渗透往往只要抛出一个小问题就能让其萌发，在长方形绕边旋转后得出两种圆柱，学生计算、比较两种圆柱体积后，教师只是给出一个简单的追问：“你知道为什么以宽为轴，长为半径的圆柱体积大吗？”却激发了学生兴趣，投入到了思维的海洋中。
练习不仅是使学生牢固掌握知识、灵活运用知识的手段，也承载着培养学生能力，提升学生智慧的职能。因此练习课的练习设计既要基于教材、着眼学生，又要关注发展，让学生有所练、有所思、有所为、有所得。
关键词：圆柱体积；练习课；练习
练习课是对“新授课的补充和延续”，不仅要实现学生对“双基”的牢固掌握，同时还要落实思维的提升和创新。发挥好练习课的功能，体现思维提升的连续性，需要教师在钻研教材、了解学生的基础上聚焦核心，精心设计教学环节，精简习题，提高教学的针对性和实效性。下面笔者以“圆柱体积练习课”为例谈谈自己的实践与思考。
■一、 教学设计
根据教材分析和学情了解，本课笔者采用了“回顾旧知——错例分析——画图操作——综合提升”的流程进行教学。
（一）回顾旧知，夯实基础
1. 说一说：圆柱的体积计算公式是如何推导的？
2. 只列式不解答：
（1）圆柱的底面积是3平方厘米，高是5厘米，求圆柱的体积。
（2）圆柱的底面半径是3厘米，高是5厘米，求圆柱的体积。
（3）圆柱的底面周长是6.28厘米，高是5厘米，求圆柱的体积。
【设计意图】通过回顾圆柱体积计算公式和列式解决圆柱体积问题，旨在巩固圆柱体积计算的基础，强化圆柱体积计算的模型，提高计算能力，为后面的学习做好铺垫。
（二）错例分析，小结方法
1. 出示错例。
师：老师选取了一些同学们作业本上错误较多的题目，我们一起来分析一下原因吧。
（1）计算图中圆柱的体积。
（2）把一根长1米的圆柱形铁棒锯成3段（每段仍是圆柱体），表面积比原来增加了30.36平方分米，这根铁棒的体积是多少立方分米？
师：大家仔细看，这些题目错在哪里？
2. 组内讨论（分析错误原因）。
3. 集体交流。
4. 动画演示（木材锯成三段的过程，突破解题难点）。
5. 引导观察，得出规律。
（1）说一说木材锯成4段、5段、6段时，锯的次数和增加的面数。
（2）找一找锯的次数、分的段数和增加的面的个数之间的关系。
（3）总结规律：段数-1=切的次数，切的次数×2=增加的面的个数。
（4）谈一谈：通过错例分析，你有什么启发？
6. 小结方法：在练习时首先要审题清楚，注意单位和数据的意义；接着要理清关系，分析段数、切的次数和增加的面的个数；还可以借助画图的方式来分析。
7. 巩固练习（练习第10题）
【设计意图】利用已有素材，找准问题关键，辅助学生寻找解题的思路。在第二个错例评析中，用动画明晰切成3段要切2次，增加的是4个底面，以此理解题中增加表面积指的是4个底面积，进而深入研究切的次数、分的段数和增加的面数之间的关系，得出规律。
（三）动手操作，感受直观
1. 出示：一个长为6 cm，宽为4 cm的长方形，如果以某一条边所在的直线为轴迅速旋转。（如图3）
2. 分析题意：思考以长方形的一条边为轴旋转，扫过的空间是什么图形？
3. 操作验证。
4. 尝试画图：画出旋转后所形成的图形（图3）。
5. 交流反馈。
（1）展示作品。
（2）教师演示。（如图4）
（3）修改草图。
6. 猜想比较。
（1）猜想：两种不同的旋转方式得到的圆柱，哪个体积大？
（2）计算验证。
（3）小结：同一个长方形绕着不同的边旋转得到的两个圆柱的体积不同，以宽为轴长为半径旋转得到的圆柱体积大。
【设计意图】从平面图形入手，让学生通过观察、想象、操作、讨论、计算、验证长方形旋转后所扫过的空间图形是圆柱，以不同的旋转轴旋转会得到不同的圆柱且体积是不相等的（如图4），旨在进一步巩固圆柱体积的计算方法，发展学生的空间观念，建立平面图形与立体图形的联系。
（四）综合实践，提升思维
1. 出示習题：现有一根底面直径为1分米，高12厘米的圆柱形木材，王师傅想把这根木材切成形状大小相等的4块小木块。
（1）思考王师傅有几种切法，画出图示。
①独立尝试；（如图5）
②同桌交流；
③展示反馈。（如图6）
（2）每块小木块的体积分别是多少？
①独立尝试计算；
②思考汇报：为什么小木块的形状不同，但体积一样？
③小结：虽然形状不同，但是都是把总体积平均分成了4份，所以每小份的体积相等。
（3）不同切法所增加的表面积各是多少？
①猜想；
②计算验证；
③总结：体积虽然相等，但是切割的方法不同，增加的表面积也不同。
【设计意图】用画图法将一个圆柱体木块平均分成4块，发现切法是多样的；接着比较不同的切法每种小木块的体积，渗透变与不变的思想方法；再比较不同切法所增加的表面积的大小，通过猜测，计算，比较得出不同的切法每块木块的体积虽然相同但是圆柱所增加的表面积是不同的，从而发展学生的空间观念，积累数学活动经验。
二、实践反思
（一） 凸显练习课功能，巩固、提升双管齐下
练习课的“练”并不是简单重复、机械地练，它是一个新知识进行补充和完善的过程。数学知识呈现螺旋上升的特点，任何一个环节都会影响后续的学习，因此，练习课不仅需要巩固，更需要提升。教学的四个练习环节依次体现了巩固基础知识、灵活运用知识、提升数学思维的练习功能。 第一环节回顾圆柱体积计算公式的推导过程及口答简单的圆柱体积计算算式，有效唤起学生的知识起点。这样的再忆知识既节省了时间又让学生牢固掌握了圆柱体积公式，做到了以练固基，同时也照顾了潜质生的学习。
第二环节充分体现了练习课“以练活用”的功能。错例分析对学生所掌握的知识有查漏补缺的作用，再以练习加以巩固、运用，很好地落实了“双基”。本节课选择的第一个错例目的在于熟练圆柱体积的计算，提升学生的计算能力；选择的第二个错例不仅为巩固圆柱体积计算，同时通过寻找截次、段数、增加的面数的关系，从而得出规律，使学生更好地掌握此类题目的解题方法，做到触类旁通，知其然且知其所以然。
第三、 四环节则更侧重练习“发展性教学”功能。首先，教师引导学生想象如果绕长方形的一边旋转可以怎么操作，接着通过操作发现长方形绕不同边旋转形成的圆柱形状不同，再经历动手画圆柱图形掌握画图方法，在猜测、计算中比较不同方式旋转后得到的圆柱体积大小，进而引发思考，推理为什么以长为半径的圆柱体积更大。在这个操作活动过程中，学生的空间想象能力和几何直观不断地发展，对物体的表象逐步抽象。画图能力的培养是培养学生几何直观的重要手段，本节课的画图操作非“以练而练”，而是将练习画圆柱图作为基础，深入研究切割圆柱体的方法，学生在画图和交流中感悟到：原来切割圆柱体的时候不仅横切和纵切能将圆柱体分成大小相等的圆柱，还能用斜切的方法，虽然斜切的方法在这节课里没有继续研究，但是这足够体现练习的意义，學生的数学思维在不断地提升，考虑问题也更加全面、缜密，为学生今后的学习奠定了较高的思维基础。
（二）注重操作活动，积累活动经验
数学活动，无论是经验的积淀、基本思想的初步形成，还是数学抽象能力、推理能力、建模能力的培养，都离不开学生的主动参与、独立思考和亲身实践，都离不开学生的自我构建。《新课程标准》也指出，“动手实践、自主探索、合作交流是学习数学的重要方法”。本节课中有两次操作活动，即“旋转平面图形”和“画示意图”。长方形绕边旋转成圆柱是让学生的思维从二维空间逐渐过渡到三维空间；画图操作是在学生建立表象后的深层次加工，是一次完整的探索过程，正如史宁中教授指出的，“按照抽象深度的不同，抽象可以区分为简约阶段、符号阶段、普适阶段”。上述两次操作活动恰恰体现了抽象从简约阶段走向普适阶段，学生的活动经验在这两类活动中逐渐提升。
（三）放慢教学脚步，渗透数学思想方法
习题在数学教学结构中有着举足轻重的作用，在练习课中尤为重要。习题的解决过程往往就是数学思想方法运用的过程，暗含着数学思想渗透的契机。纵观整节练习课，我们在习题选择上避免了一味地就题论题，在讲解上凸显了数学的思想方法。如在错例评析第二题时教师提问：“同学们，请你们仔细观察这几位同学的作业，你知道他们错在哪里，为什么会错吗？”引导学生分析错误原因，同时也明确解题方法。但此时教师并没有在给出正确答案后“刹车”，而是继续让学生观察、想象、讨论，让学生寻找圆柱切割时切次、面数、段数三者之间的规律，当学生发现规律之后再次引导学生去思考从这些错例中得到的启发，对我们今后练习有什么帮助。这样看似拖沓的教学，其实是让学生的体验从感性层面逐步上升到了理性层面，学生的视角不光停留在简单的对与错，更多的是对错例的一种反思。同样在练习中教师逐步了渗透着数学模型思想，将数学思维提升到了一定的高度。模型思想在解决小木块的体积时也有渗透，通过比较发现不管小木块的形状如何，小木块的体积就是总体积÷4。有时候推理思想的渗透往往只要抛出一个小问题就能让其萌发，在长方形绕边旋转后得出两种圆柱，学生计算、比较两种圆柱体积后，教师只是给出一个简单的追问：“你知道为什么以宽为轴，长为半径的圆柱体积大吗？”却激发了学生兴趣，投入到了思维的海洋中。
练习不仅是使学生牢固掌握知识、灵活运用知识的手段，也承载着培养学生能力，提升学生智慧的职能。因此练习课的练习设计既要基于教材、着眼学生，又要关注发展，让学生有所练、有所思、有所为、有所得。