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【摘 要】 “增强数学能力，培养创新思维”是当代数学教育的主题。本文从以下七个方面阐述了培养和提高学生数学思维能力，创新思维的方法。
①遵循认知规律，开发学生智力，培养学生数学思维能力。
②明确智力因素，提高智力水平，鼓励创新思维。
③站在系统的高度，继承和弘扬“动”的思想和观点，提高学生分析和解决问题的能力。
④加强数学思想和数学方法的教学，不断提高学生的数学思维能力。
⑤加强数学美育教学，激发学习兴趣，增强创新能力。
⑥加强数学与其他学科知识间的交流，渗透和相互应用，对提高学生的数学思维能力并和综合素质将大有裨益。
⑦建立科学合理的激励机制和学生评价机制。
【关键词】 培养;提高;数学思维能力
【中图分类号】G64.23 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）20-0-02
数学教育的主要任务是培养学生具有创新性的数学能力和解决实际问题的能力。历年的中考、高考都以能力考察为主线，创新思维考察为方向。因此“增强数学能力，培养创新思维”成为数学教育的主题。本文结合自己的教学经验，谈谈对培养和提高学生数学思维能力及创新思维的一些认识和思考。
一、遵循认知规律，开发学生智力，培养数学思维能力
学生受年龄、生理、环境、阅历等的限制和影响，在认识事物的准确性上总是感性大于理性，具体思维大于抽象思维。分析和解决问题应从特殊到一般，先具体后抽象、先简单后复杂、先局部后整体。广大数学教师应遵循这些规律，把思考问题和带有一般性认识论的方法贯穿于日常教学中，引导学生思考和解决问题，逐步提高他们的智力水平和思想素质，培养他们的数学思维能力和数学素质。
例1若f（x）对一切实数都满足f（2-x）=f（2+x），且方程f（x）=O恰有四个不同实根，求这四根之和。
【分析】：依据题意，y=f（x）的函数图象关于x=2对称，且与x轴有四个交点（如图一）
虽然有：x1+x4=2×2
x2+x3=2×2
所以有x1+x2+x3+x4=4×2=8
若在相同条件下，f（x）=O有五个不同的实根，要求这五个根之和。那么如上分析，则毕有一根等于2，即y=f（x）的图象毕过点（2，O），如图二所示：则有x1+x2+x3+x4+x5=5×2=10。
由以上两类特殊情况，很容易推广到一般情况，得出普遍结论：若f（x）对一切实数都满足f（a+x）=f（a-x）（a表示实数）且f（x）=O有n个实根的和为：
二、明确智力因素，提高智力水平，培养创新思维
人的智力素质是指人的观察能力、注意能力、思维能力、记忆能力和想象能力。
良好的观察能力是指观察的客观性、全面性，从一般到特殊，善于根据目的选择观察的对象、角度和方法。
良好的注意力是指注意具有的广度、稳定性及善于分配注意和转移注意的能力。
良好的思维能力是指思维具有的广阔性、深刻性、独立性、批判性、灵活性、敏捷性和逻辑性。
例2：已知极坐标中的两点P（l，），Q（，}）则直线PQ与极轴所在直线的夹角是 。
[分析]：按照极坐标定义，引导学生观察△POQ中，注意到△POQ中，︱OQ︱=，︱OP︱=1，则∠POQ=，那么△POQ是直角三角形，∠OPQ=，故所求夹角为：-=.
良好的记忆力包括记忆的目的，注意力集中，善于把意义记忆与机械记忆结合起来，善于根据记忆目的选择有效的记忆方法。
良好的想象力可以帮助学生熟悉几何基本图形，能正确画出其图形，能分析其基本元素间的位置关系和度量关系，能借助图形反映和思考客观事物的空间形状及位置关系;能借助图形反映并思考用语言或式子表达的空间形状或空间位置，能从复杂的图形中区分出基本
图形，能分析其基本元素间的关系。
例3在△ABC中，AB=1，BC=2，求∠C的取值范围。
[分析]：在△ABC中，AB和BC都是定值，可以想象A点在以B点为圆心，半径为1的半圆上运动，则A点的运动引起∠C的大小变化。
易知0<C≤30°（当AC与圆B相切时，∠C能取到的最大值30°）
三、转话思维角度，提高学生分析和解决问题的能力
“万物是运动的”这是自然规律，也是辩证法的核心。作为一门自然科学——数学，也是从“运动、变化、发展”的思维角度分析和解决问题的。
“动”的思想和观点包括两层意思：
①所研究的数学对象置于运动的过程或场景之中，通过这个“动态”过程，分析“变”与“不变”的数量关系和位置关系。
②在分析和解决问题时，不断转换思维触角和思考角度，寻求解决问题的突破口。
例4：四面体一条棱长为x，其余各条棱长都是1。
①把四面体的体积V表示成x的函数V（x）;
②求函数V（x）的值域;
③求函数V（x）的单调区间。
【分析】：此四面体可以看成是将边长为l的正△ABC的边AB固定，将C点拉起到任一位置D时形成的四面体（其中CD=x）则不难求得：
①V（x）=×x（0 ②求函数V（x）的值域，就是将C点拉起至C′，点（A、B、C、C′在同一平面上）的过程中，D点位于半圆弧CC′不同位置时三棱锥D-ABC的体积变化范围。当C点运动到D′点位置（平面DAB⊥平面ABC，即h= ，x= ）时，三棱锥的体积取得最大值：
V（x）max= = 。
所以V（x）∈（O， ] ③由②知，当D点从C运动到D′位置的过程中，x由0逐渐增大至 ，则V（x）由0逐渐增大到V（x）max;当D点从D′运动到C′位置的过程中，x由 逐渐增大到，则V（x）由V（x）max逐渐减小到0。即x∈（0， ]时，V（x）单调递增;当x∈[ ，）时，V（x）单调递减。
四、加强数学思想和数学方法的教学，不断提高学生的数学思维能力
数学学科的内容，始终反映着基础知识与数学思想方法两个内容，没有游离于数学知识之外的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识。数学思想和数学方法是数学的灵魂和核心，是获取知识的主要途径，它比任何结论性的知识更具有广泛的应用性。而它又不象数学知识那样明显的写在教课书上，学生很难注意蕴涵于知识中的数学思想方法。因此，教师应尽可能的把数学思想和数学方法融于课堂教学之中，渗透于数学问题的分析和解决过程中。这对于培养能力、发展能力、培养良好的个性品质和学习习惯都有着极为重要的意义。
另一方面，数学思想和数学方法的内容多，容量大。与数学知识相比，更加抽象和概括，学生也难以掌握。这就要求教师在平时的教学中应分散渗透，有意强化。在解决不同性质的问题的过程中遇到相同的数学思想方法，应引导学生反复回忆，逐步提高认识层次，加深理性认识，以至灵活运用，转化提高为一种能力。这样才能使学生理解数学思维方法，提高数学思维能力。
五、加强数学美育教学，激发学习兴趣，增强创新能力
和其他自然学科一样，数学蕴涵着丰富的美;有符号公式和理论的概括简洁美;命题的准确清晰美;概念、定理的确凿深刻美;推理、运算的节奏简洁美;图形的对称美、相似美;解决问题的奇异美以及整个数学体系的和谐美、统一美。数学无时无处不展示着它神奇的奥妙和魅力。分析和解决数学问题就是对美的一种追求和探索。因此，应该有意识地引导学生发现数学美，创造数学美，从而激发其学习兴趣，增强创新能力。
例5.已知：x1是方程x+logx=3的根，x2是方程x+10X=3的根，求x1+x2的值。
【分析】依题意，x1是两条曲线y=3-x与y=logx交点A的横坐标;x2是y=3-x与y=10X的交点B的横坐标;而y=3-x关于直线y=x对称;y=logx与y=10X也关于直线y=x对称。因此，A、B两点关于P点对称（P为直线y=x与y=3-x的交点，且P点的坐标为（1.5，1.5））。
所以x1+x2=3
注：无论是题目的整体分析，思考角度和方向的把握，解题思路的整理和表达，还是用数形结合作出的图象，无一不是对数学美的诠释。
六、加强数学与其他学科的交流、渗透和相互应用，对提高学生的数学思维能力和综合素质将大有裨益
各学科知识间并不是相互孤立、相互脱节的，而总存在着千丝万缕的联系。“3+X”综合科考试要求学生不只要熟悉本学科知识，还要注意学科知识间的纵横联系，注意边沿学科和知识“交叉地带”。
用数学知识解决其他学科问题以及应用学科知识解决数学问题，对提高学生的数学能力和综合素质将会起到不可忽视的作用。
如应用排列组合知识可以解决生物学中基因的遗传问题;化学中的极值问题通常可以渗透数学中数列与极限的观点，即用变化趋向极端观点来分析化学变化过程;物理学中交流电流、交流电压的瞬时表达式，简谐振动的位移公式与数学中函数y=Asin（ωx+φ）又其相似。
例6下面是一系列α-氨基酸
该同系物中所含碳元素的质量分数的最大值约为（ ）
A.32.9% B.46.6% C.85.7% D.91.5%
【解析】分析题目所含的α-氨基酸，用数学归纳法及数列知识，可得其通式为CnH2n+1N02，则碳元素的质量分数为：12n/（14n+47），碳元素质量分数的最大值可用极限的方法来求解：
则答案是C。
例7（第11届“希望杯”数学邀请赛高一卷第一试第23题）一艘轮船原定用10h从A点到距离A点80海里的B点（在A正东方向），现测得有南偏西30°时速为4-1）海里的潮流，该轮船仍要在原定时间内到达B点，那么船速应提高到 mile/h，并将航向定为 。
【分析】此题应用物理学中矢量的平行四边形法则及数学中正弦定理便可解答。
象这样的例子举不胜举。如果广大数学教师在教学中能有意识地加强这些学科间知识的交流和渗透并及时归纳整理，将会大大提高学生的数学能力和综合思维素质。
七、要提高学生的数学思维能力必须建立科学合理的激励机智和改革分数评价机制
要使学生学好数学，必须坚持不懈地进行正面鼓动和激励，促其产生强大的内驱力，信心百倍地学习数学。为此，必须建立合理、科学的激励机制，建议设立以下奖项：
（1）为鼓励尖子生，可设立数学优胜奖，每学期根据班级人数及单科成绩奖励前三名、五名甚或更多;
（2）为鼓励中上学生保持良好的成绩，可设成绩稳定奖;
（3）为鼓励差生上进，中等生向优生看齐，可设成绩进步奖;
（4）为鼓励作业认真，勤奋踏实的学生，可设立作业优秀奖。
以上奖项的设立旨在增强学生的竞争意识，激励学生好学上进。
要提高学生的数学素质和数学能力，必须摒弃仅仅用成绩来评价学生的旧模式，建立切合学生实际，有利于学生健康成长的科学的分数评价机制。
评估学生一是要建立文化课考试和能力考核相结合的分数运行机制，多给学生以得分机会，心理学认为：人的能力是多种多样的。如果教师善于发现学生的能力，就会消除学生的心理障碍，减轻学生的精神负担，使其轻松愉快地投入学习。如数学考试可结合学生的应用题解答过程中的表达能力，根据题意的作图能力，对数学知识的实际运用能力，运算速度、准确能力等的测试，将学生的数学成绩拟为：
数学单课成绩=单科考试得分×60%+（各项能力测试总分/次数）×40%。
二是活用分数，把学生得分渗透到课堂教学的每一个环节。如课堂提问，学生答对了就应给高分，答错了不记分;学生演排对了，就应给高分，做错了不记分;课堂书面作业可允许学生重做错题。做对后，取消过去的低分，重做判给高分。这些课堂治动，教师要详细记载，一一累计，作为学科考试得分的一项内容。
学生考试得分可拟为：
数学单科考试得分=（课堂活动得分/次数）×10%+（书面作业得分/次数）×10%+（单元测试得分/次数）×30%+期末考试得分×50%。
参考文献
1.赵小卫，《中学数学教学参考》，1998年05期;
2.周礼寅，人民教育网，2011年4月8日;
3.赵文龙，《小作家选刊》，2012年10月;
①遵循认知规律，开发学生智力，培养学生数学思维能力。
②明确智力因素，提高智力水平，鼓励创新思维。
③站在系统的高度，继承和弘扬“动”的思想和观点，提高学生分析和解决问题的能力。
④加强数学思想和数学方法的教学，不断提高学生的数学思维能力。
⑤加强数学美育教学，激发学习兴趣，增强创新能力。
⑥加强数学与其他学科知识间的交流，渗透和相互应用，对提高学生的数学思维能力并和综合素质将大有裨益。
⑦建立科学合理的激励机制和学生评价机制。
【关键词】 培养;提高;数学思维能力
【中图分类号】G64.23 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）20-0-02
数学教育的主要任务是培养学生具有创新性的数学能力和解决实际问题的能力。历年的中考、高考都以能力考察为主线，创新思维考察为方向。因此“增强数学能力，培养创新思维”成为数学教育的主题。本文结合自己的教学经验，谈谈对培养和提高学生数学思维能力及创新思维的一些认识和思考。
一、遵循认知规律，开发学生智力，培养数学思维能力
学生受年龄、生理、环境、阅历等的限制和影响，在认识事物的准确性上总是感性大于理性，具体思维大于抽象思维。分析和解决问题应从特殊到一般，先具体后抽象、先简单后复杂、先局部后整体。广大数学教师应遵循这些规律，把思考问题和带有一般性认识论的方法贯穿于日常教学中，引导学生思考和解决问题，逐步提高他们的智力水平和思想素质，培养他们的数学思维能力和数学素质。
例1若f（x）对一切实数都满足f（2-x）=f（2+x），且方程f（x）=O恰有四个不同实根，求这四根之和。
【分析】：依据题意，y=f（x）的函数图象关于x=2对称，且与x轴有四个交点（如图一）
虽然有：x1+x4=2×2
x2+x3=2×2
所以有x1+x2+x3+x4=4×2=8
若在相同条件下，f（x）=O有五个不同的实根，要求这五个根之和。那么如上分析，则毕有一根等于2，即y=f（x）的图象毕过点（2，O），如图二所示：则有x1+x2+x3+x4+x5=5×2=10。
由以上两类特殊情况，很容易推广到一般情况，得出普遍结论：若f（x）对一切实数都满足f（a+x）=f（a-x）（a表示实数）且f（x）=O有n个实根的和为：
二、明确智力因素，提高智力水平，培养创新思维
人的智力素质是指人的观察能力、注意能力、思维能力、记忆能力和想象能力。
良好的观察能力是指观察的客观性、全面性，从一般到特殊，善于根据目的选择观察的对象、角度和方法。
良好的注意力是指注意具有的广度、稳定性及善于分配注意和转移注意的能力。
良好的思维能力是指思维具有的广阔性、深刻性、独立性、批判性、灵活性、敏捷性和逻辑性。
例2：已知极坐标中的两点P（l，），Q（，}）则直线PQ与极轴所在直线的夹角是 。
[分析]：按照极坐标定义，引导学生观察△POQ中，注意到△POQ中，︱OQ︱=，︱OP︱=1，则∠POQ=，那么△POQ是直角三角形，∠OPQ=，故所求夹角为：-=.
良好的记忆力包括记忆的目的，注意力集中，善于把意义记忆与机械记忆结合起来，善于根据记忆目的选择有效的记忆方法。
良好的想象力可以帮助学生熟悉几何基本图形，能正确画出其图形，能分析其基本元素间的位置关系和度量关系，能借助图形反映和思考客观事物的空间形状及位置关系;能借助图形反映并思考用语言或式子表达的空间形状或空间位置，能从复杂的图形中区分出基本
图形，能分析其基本元素间的关系。
例3在△ABC中，AB=1，BC=2，求∠C的取值范围。
[分析]：在△ABC中，AB和BC都是定值，可以想象A点在以B点为圆心，半径为1的半圆上运动，则A点的运动引起∠C的大小变化。
易知0<C≤30°（当AC与圆B相切时，∠C能取到的最大值30°）
三、转话思维角度，提高学生分析和解决问题的能力
“万物是运动的”这是自然规律，也是辩证法的核心。作为一门自然科学——数学，也是从“运动、变化、发展”的思维角度分析和解决问题的。
“动”的思想和观点包括两层意思：
①所研究的数学对象置于运动的过程或场景之中，通过这个“动态”过程，分析“变”与“不变”的数量关系和位置关系。
②在分析和解决问题时，不断转换思维触角和思考角度，寻求解决问题的突破口。
例4：四面体一条棱长为x，其余各条棱长都是1。
①把四面体的体积V表示成x的函数V（x）;
②求函数V（x）的值域;
③求函数V（x）的单调区间。
【分析】：此四面体可以看成是将边长为l的正△ABC的边AB固定，将C点拉起到任一位置D时形成的四面体（其中CD=x）则不难求得：
①V（x）=×x（0
V（x）max= = 。
所以V（x）∈（O， ] ③由②知，当D点从C运动到D′位置的过程中，x由0逐渐增大至 ，则V（x）由0逐渐增大到V（x）max;当D点从D′运动到C′位置的过程中，x由 逐渐增大到，则V（x）由V（x）max逐渐减小到0。即x∈（0， ]时，V（x）单调递增;当x∈[ ，）时，V（x）单调递减。
四、加强数学思想和数学方法的教学，不断提高学生的数学思维能力
数学学科的内容，始终反映着基础知识与数学思想方法两个内容，没有游离于数学知识之外的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识。数学思想和数学方法是数学的灵魂和核心，是获取知识的主要途径，它比任何结论性的知识更具有广泛的应用性。而它又不象数学知识那样明显的写在教课书上，学生很难注意蕴涵于知识中的数学思想方法。因此，教师应尽可能的把数学思想和数学方法融于课堂教学之中，渗透于数学问题的分析和解决过程中。这对于培养能力、发展能力、培养良好的个性品质和学习习惯都有着极为重要的意义。
另一方面，数学思想和数学方法的内容多，容量大。与数学知识相比，更加抽象和概括，学生也难以掌握。这就要求教师在平时的教学中应分散渗透，有意强化。在解决不同性质的问题的过程中遇到相同的数学思想方法，应引导学生反复回忆，逐步提高认识层次，加深理性认识，以至灵活运用，转化提高为一种能力。这样才能使学生理解数学思维方法，提高数学思维能力。
五、加强数学美育教学，激发学习兴趣，增强创新能力
和其他自然学科一样，数学蕴涵着丰富的美;有符号公式和理论的概括简洁美;命题的准确清晰美;概念、定理的确凿深刻美;推理、运算的节奏简洁美;图形的对称美、相似美;解决问题的奇异美以及整个数学体系的和谐美、统一美。数学无时无处不展示着它神奇的奥妙和魅力。分析和解决数学问题就是对美的一种追求和探索。因此，应该有意识地引导学生发现数学美，创造数学美，从而激发其学习兴趣，增强创新能力。
例5.已知：x1是方程x+logx=3的根，x2是方程x+10X=3的根，求x1+x2的值。
【分析】依题意，x1是两条曲线y=3-x与y=logx交点A的横坐标;x2是y=3-x与y=10X的交点B的横坐标;而y=3-x关于直线y=x对称;y=logx与y=10X也关于直线y=x对称。因此，A、B两点关于P点对称（P为直线y=x与y=3-x的交点，且P点的坐标为（1.5，1.5））。
所以x1+x2=3
注：无论是题目的整体分析，思考角度和方向的把握，解题思路的整理和表达，还是用数形结合作出的图象，无一不是对数学美的诠释。
六、加强数学与其他学科的交流、渗透和相互应用，对提高学生的数学思维能力和综合素质将大有裨益
各学科知识间并不是相互孤立、相互脱节的，而总存在着千丝万缕的联系。“3+X”综合科考试要求学生不只要熟悉本学科知识，还要注意学科知识间的纵横联系，注意边沿学科和知识“交叉地带”。
用数学知识解决其他学科问题以及应用学科知识解决数学问题，对提高学生的数学能力和综合素质将会起到不可忽视的作用。
如应用排列组合知识可以解决生物学中基因的遗传问题;化学中的极值问题通常可以渗透数学中数列与极限的观点，即用变化趋向极端观点来分析化学变化过程;物理学中交流电流、交流电压的瞬时表达式，简谐振动的位移公式与数学中函数y=Asin（ωx+φ）又其相似。
例6下面是一系列α-氨基酸
该同系物中所含碳元素的质量分数的最大值约为（ ）
A.32.9% B.46.6% C.85.7% D.91.5%
【解析】分析题目所含的α-氨基酸，用数学归纳法及数列知识，可得其通式为CnH2n+1N02，则碳元素的质量分数为：12n/（14n+47），碳元素质量分数的最大值可用极限的方法来求解：
则答案是C。
例7（第11届“希望杯”数学邀请赛高一卷第一试第23题）一艘轮船原定用10h从A点到距离A点80海里的B点（在A正东方向），现测得有南偏西30°时速为4-1）海里的潮流，该轮船仍要在原定时间内到达B点，那么船速应提高到 mile/h，并将航向定为 。
【分析】此题应用物理学中矢量的平行四边形法则及数学中正弦定理便可解答。
象这样的例子举不胜举。如果广大数学教师在教学中能有意识地加强这些学科间知识的交流和渗透并及时归纳整理，将会大大提高学生的数学能力和综合思维素质。
七、要提高学生的数学思维能力必须建立科学合理的激励机智和改革分数评价机制
要使学生学好数学，必须坚持不懈地进行正面鼓动和激励，促其产生强大的内驱力，信心百倍地学习数学。为此，必须建立合理、科学的激励机制，建议设立以下奖项：
（1）为鼓励尖子生，可设立数学优胜奖，每学期根据班级人数及单科成绩奖励前三名、五名甚或更多;
（2）为鼓励中上学生保持良好的成绩，可设成绩稳定奖;
（3）为鼓励差生上进，中等生向优生看齐，可设成绩进步奖;
（4）为鼓励作业认真，勤奋踏实的学生，可设立作业优秀奖。
以上奖项的设立旨在增强学生的竞争意识，激励学生好学上进。
要提高学生的数学素质和数学能力，必须摒弃仅仅用成绩来评价学生的旧模式，建立切合学生实际，有利于学生健康成长的科学的分数评价机制。
评估学生一是要建立文化课考试和能力考核相结合的分数运行机制，多给学生以得分机会，心理学认为：人的能力是多种多样的。如果教师善于发现学生的能力，就会消除学生的心理障碍，减轻学生的精神负担，使其轻松愉快地投入学习。如数学考试可结合学生的应用题解答过程中的表达能力，根据题意的作图能力，对数学知识的实际运用能力，运算速度、准确能力等的测试，将学生的数学成绩拟为：
数学单课成绩=单科考试得分×60%+（各项能力测试总分/次数）×40%。
二是活用分数，把学生得分渗透到课堂教学的每一个环节。如课堂提问，学生答对了就应给高分，答错了不记分;学生演排对了，就应给高分，做错了不记分;课堂书面作业可允许学生重做错题。做对后，取消过去的低分，重做判给高分。这些课堂治动，教师要详细记载，一一累计，作为学科考试得分的一项内容。
学生考试得分可拟为：
数学单科考试得分=（课堂活动得分/次数）×10%+（书面作业得分/次数）×10%+（单元测试得分/次数）×30%+期末考试得分×50%。
参考文献
1.赵小卫，《中学数学教学参考》，1998年05期;
2.周礼寅，人民教育网，2011年4月8日;
3.赵文龙，《小作家选刊》，2012年10月;