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“中位数”是人教版小学五年级数学教科书P105新增的一个教学内容。其教学背景是以三年级所学平均数的意义、作用及特点为基础，通过平均数不能很好反映数据偏差较大的情况，引出并学习中位数的意义、作用、特点及计算方法。本课的教学目标定位是通过这一内容的教学，使学生理解中位数在统计学中的意义，会求中位数；了解中位数与平均数的异同，学会根据数据的具体情况合理选择统计方法，体会各自的特点和作用。教学重点定位在中位数意义的理解及求法，教学难点是针对一组数据的具体情况及所要分析的问题，作出对统计方法的合理选择。
这是新增的知识点，没有可借鉴的教学经验，加上自身本体性知识的欠缺，我就只好“摸着石头过河”实施第一次教学。教学的基本程序是：复习平均数的求法一自学课本——提出问题——互动交流——学习新概念——平均数与中位数的比较——知识应用——解决问题。教学过程还算流畅。可学生脸上的表情以及自己的直觉告诉我，本课教学远没有达到“三维目标”的要求，而问题出在哪呢?
于是。我询问学生。果然不出所料，学生心存较多的疑惑(高年级学生对所学知识或老师讲解存在疑惑往往隐藏在心底里，不大愿意当众讲出来)，现整理如下：
疑惑一：平均数为什么“失灵”了?甚至怀疑过去学习“平均数”上当受骗了。)
疑惑二：中位数是干什么的?(有“平均数”，为什么还要引进“中位数”?)
疑惑三：到底什么时候使用“平均数”?什么时候该用“中位数”?
面对学生的疑惑，我陷入了痛苦的反思，开始自我诊治：难道文本(附后)设计出了问题，无法帮助学生形成新的建陶?还是学生的理解产生了偏差，导致认知障碍?或者是学生的惯性定势在作怪，阻碍了学生思维迁移?经反复琢磨，我悟出了一点道理：学生之所以认为平均数“失灵”了，可能是因为学生对“平均数”本身意义的理解就存在缺陷，也就是他们对怎样求平均数是“相当熟练的”，但对平均数到底是“干什么的”并不明白，或所习得的“平均数”被异化成“平均数的求法”。学生不接纳中位数是为什么呢?可能是因为平时生活中用得最广泛的是平均数，对平均数的感觉是一种耳熟能详的直觉，让学生舍弃平均数而选用中位数，在情感上需要一个过程。因此，学生对何时使用平均数何时使用中位数就摸不着门路。基于上述的分析。我拟采用创设认知冲突的策略，强化体验的方法，破解学生的三大疑惑，实现三位一体的教学目标：对平均数意义的重构、认识中位数的必要以及合理选择平均数与中位数做了新的尝试。
教学片段一：营造冲突，感知必要，破解“平均数失灵”
屏幕演示
某次数学考试，小芳得到78分。
全班的平均分为77分。
小芳告诉妈妈说，自己这次成绩
在班上处于“中上水平”。
师：阅读了以上信息。你认为小芳所言她的成绩处于班级的“中上水平”一定属实吗?
师：可以把你的想法与同伴交流，也可以对你的想法自行验证。
(学生活动，争论激烈。观点碰撞频发。)
生1：我认为，既然小芳的成绩78分比全班的平均分77分还多出1分，就说明她的成绩确实是班里的“中上水平”。
师：你们同意这位同学的意见吗?
(小部分学生表示同意，一部分学生表示不赞同，多数学生尚未思考清楚没有表态。)
师：看来大家意见不太一致。(在老师的预设之中)
生(齐)：是的。
师：我们就先来说说你们所理解的平均分(77分)在班里相当于什么水平。
生(众)：中等水平。
师：按你们的理解，高于平均分就应属于中上水平，低于平均分就应属于中下水平。
生：应该是这样。(学生认为“平均分”与“中等水平”是等值的，连持反对意见或保持沉默的学生也转变了态度。)
师：果真是这样吗?想不想知道小芳班里考试成绩的真实情况?
生：当然想!(急于验证自己的猜想是否正确)
师：那么，就请看吧!(屏幕演示)全班共30人，其他同学的成绩为：
1个100分，
4个90分，
22个80分。
1个lO分
1个2分。
师：有什么想法?小芳的成绩在班上实际排列第几?(营造的情景带给学生巨大的认知冲突。)
生：倒数第四。
师：以你们刚才的观点，就等于你们认可了一个倒数第四位的成绩处于班上的“中上水平”?
生：决不同意。
师：高于平均分却不算中上水平，这不矛盾吗?
生：是这样的，一般情况下，高于平均分就应属于中上水平，可是没想到这里出现了两个低到极端的分数，把班里的平均分一下子就拉下来了。(学生加重了带着重号词语的读音)
师：你所说的“一般情况”是指什么?
生：我帮他解释，“一般情况”就是指一组数据中不能出现特别大或特别小的数据，数与数之间差距不能太大。
生：小芳班有一个人只得2分，暂且不说他与最高分100分相差太大，就是与大多数人的80分也有不小的距离。这个2分，对全班的平均分影响太大了。
师：怎样影响?
生：把平均分拉低了很多很多。所以让小芳成绩高于平均分。这个平均分低于班上大多数同学的成绩，不能代表班上成绩的中等水平。
(同学们纷纷点头表示赞同。)
师：确实像你们分析的这样，平均数也有“失灵”的时候。当一组数据中的数值比较集中，差异不大时，平均数能较好地反映该组数据情况的中等水平。当一组数据中出现极端数据时，平均数往往就不能代表一组数据的“中等水平”(统计学称之为“一般水平”)。平均数“失灵”，我们用什么样的“数”衡量小芳的成绩在班上处于怎样的水平呢?
师：数学是一门工具学科。今天，我们就来学习一个新的数学概念“中位数”，以帮助我们解决这个问题。
(点评：中位数是表示数据组一般水平的数据。为了让学生在认识平均数的基础上进而认识中位数的内涵，教师没有直接呈现中位数概念，而是创设情境，让学生产生认知“冲突”，以“平均数”为参照物，引出“中位数”的概念，体会“中位数”的意义。体会到学习中位数的必要性。)
教学片段二：情景体验。动态生成。破解“何为中位数?”
师：从字面意义来理解，你认为“中位数”是怎样的数?
生：处在中间位置的数，叫做“中位数”。
师：从定义的角度来理解，你的说法是正确的；从统计学的角度来理解，你的说法还需要补充条件。
(屏幕演示：把一组数据按顺序排列后。处在最中间位置的数叫做中位数。)
师：为什么要添加“把数据按顺序排列”这个前提条件呢?
(没有学生回答)
师：这样吧，我们现场做一个演示，请五位同学协助完成。(教师选择5位同学到台前站成一排，用A4纸标明各自的 身高。)
师：请认为自己身高数是中位数的同学往前移一步。
(B和C都前移了一步)
师：C，你出来的理由是……?
C：因为我站在这五个人的最中间。所以我是“中位数”。
(教师没有表态，把C和D调换了一个位置，并让D向前移了一步，大声宣布D是中位数。)
师：看出问题了吗?
(学生没有表态，若有所思。教师又把A和c调换了一个位置，并让A前移了一步，大声宣布A是中位数。)
生：不对。这么说，谁(的身高数)都可以是中位数。
生：我明白了，把他们的身高按从高到低或者从低到高的顺序排列起来，最中间的数才是中位数。
师：你们真聪明!中位数是一组数据中间确定的、唯一的数。
(说着，老师站到五人队伍的一端。)
师：这时的中位数是谁?(学生谁也没有往前移动一步，面面相觑。)
生(自言自语)：6个人不好找中间数。
师：对照中位数的定义，谁最不可能是中位数?请退后一步。
(师、C、E和A在众学生的指挥下相继退后，剩下D和B。)
师：D和B你们为什么不退后呢?
生(抢着说)：他们两个是最靠近中间的数。谁退去都不能。
师：可是中位数只有一个。
生：那么就只好取他们两个的身高平均数了。
小结：当一组数据个数是单数时，正中间的数是中位数，当数据个数是双数时，正中间的两个数的平均数是中位数。
(点评：从字面上理解中位数的意义及求法并不困难，难的是如何帮助学生从本质上认识、理解中位数的产生、形成与发展变化。教师提供适度的活动时间和空间。让学生在具体的操作活动中体会中位数。)
教学片段三：整合挖掘，促进内化，破解“究竟该选谁?”
(教师请刚才的五位同学按顺序排好。)
师：这五位同学身高的中位数，我们刚才已经知道它是138厘米，能快速计算出他们身高的平均数吗?
生：平均身高是138.4厘米。
师：比较这组数据的平均数和中位数，你发现了什么?
生：它们非常接近，不分上下。
师：为什么两者能这么接近?你认为其中的原因是什么?
生：可能是因为这组数据中没有出现特别偏大或偏小的数据。
师：你们的猜想完全正确。在这种情况下，用平均数或者用中位数都能很好地反映一组数据的一般水平。
师：大家认识身高226厘米的篮球明星姚明吗?今天他来了。(把C的身高数换成226厘米，对C说：“你现在就是姚明了。”学生被逗乐了。)与刚才相比，这五个人身高的平均数变化了吗?变大了还是变小了?中位数呢?(如此演示两至三次)
小结：平均数与每个数据大小变化有关。与排列位置无关；中位数与数据的排列位置有关，与每个数据大小变化不一定有关。
(点评：学生的“痛苦”往往来源于比较，尤其是对相近概念的比较，如在具体情境下，到底应该选择平均数还是选择中位数来表示一组数据的一般水平，是让学生感到十分棘手的问题。为此。必须统整这两个概念，让学生在问题情境中，在现实素材中，在自主探究中，在讨论交流中，感悟中位数的统计意义，建构知识，主动发展。)
回顾中位数“三疑”、“三破”的教学历程，我颇有感触。之所以前后施教会产生这么大的反差，我认为主要在以下几个方面存在区别：
直面问题且及时跟踪诊治，用行为改进的方式去解决问题，是我们提高课堂教学效能的努力方向。中位数教学的“三疑”与“三破”给了我如下启示：
一、准确定位新知识教学的支点。中位数的教学必须以“平均数”为参照物，让学生在没有排斥、否定平均数的统计意义的认知冲突中。站在另一个层次分析数据，寻找到这个“合适”的数一中位数，从而体会中位数的合理性。
二、体验缺失影响学生自主建构。要提供适度的活动时间和空间，引领学生体验，让学生经历知识的形成过程。课堂上通过“意义数据”的演示和变换，让学生直观有关实例，在现实素材中自主探究。讨论交流，自己尝试找中位数，体验中位数的意义和求法，并在比较中感知平均数与中位数的联系和区别，让学生在问题情境中建构知识，主动发展。
三、夯实本体性知识防止误教。由于数学素养的缺乏，不能准确理解教材，对课堂上出现的“偏离预设”、学生的奇思妙想难以恰当把握，对学生自然生成的教学资源不能有效利用，就不能为学生创设更多的数学交流以及进行猜想、解释、推理和证明自己数学想法的机会。就本课教学而言，既要加强统计知识的学习，也要弥补逻辑知识的缺漏。
四、切实尊重学生的课堂权益。学生有自己的看法和意见，教师不要一味地否定学生，而要把关注的重心放在学生质疑、思考问题的过程，千万不要代替学生观察、思考和表达，更不可强加给学生固定的思维模式。
(点评者：王敏享受国务院特殊津贴专家，荣获“全国人民教师奖章”，广西优秀专家、特级教师。)
这是新增的知识点，没有可借鉴的教学经验，加上自身本体性知识的欠缺，我就只好“摸着石头过河”实施第一次教学。教学的基本程序是：复习平均数的求法一自学课本——提出问题——互动交流——学习新概念——平均数与中位数的比较——知识应用——解决问题。教学过程还算流畅。可学生脸上的表情以及自己的直觉告诉我，本课教学远没有达到“三维目标”的要求，而问题出在哪呢?
于是。我询问学生。果然不出所料，学生心存较多的疑惑(高年级学生对所学知识或老师讲解存在疑惑往往隐藏在心底里，不大愿意当众讲出来)，现整理如下：
疑惑一：平均数为什么“失灵”了?甚至怀疑过去学习“平均数”上当受骗了。)
疑惑二：中位数是干什么的?(有“平均数”，为什么还要引进“中位数”?)
疑惑三：到底什么时候使用“平均数”?什么时候该用“中位数”?
面对学生的疑惑，我陷入了痛苦的反思，开始自我诊治：难道文本(附后)设计出了问题，无法帮助学生形成新的建陶?还是学生的理解产生了偏差，导致认知障碍?或者是学生的惯性定势在作怪，阻碍了学生思维迁移?经反复琢磨，我悟出了一点道理：学生之所以认为平均数“失灵”了，可能是因为学生对“平均数”本身意义的理解就存在缺陷，也就是他们对怎样求平均数是“相当熟练的”，但对平均数到底是“干什么的”并不明白，或所习得的“平均数”被异化成“平均数的求法”。学生不接纳中位数是为什么呢?可能是因为平时生活中用得最广泛的是平均数，对平均数的感觉是一种耳熟能详的直觉，让学生舍弃平均数而选用中位数，在情感上需要一个过程。因此，学生对何时使用平均数何时使用中位数就摸不着门路。基于上述的分析。我拟采用创设认知冲突的策略，强化体验的方法，破解学生的三大疑惑，实现三位一体的教学目标：对平均数意义的重构、认识中位数的必要以及合理选择平均数与中位数做了新的尝试。
教学片段一：营造冲突，感知必要，破解“平均数失灵”
屏幕演示
某次数学考试，小芳得到78分。
全班的平均分为77分。
小芳告诉妈妈说，自己这次成绩
在班上处于“中上水平”。
师：阅读了以上信息。你认为小芳所言她的成绩处于班级的“中上水平”一定属实吗?
师：可以把你的想法与同伴交流，也可以对你的想法自行验证。
(学生活动，争论激烈。观点碰撞频发。)
生1：我认为，既然小芳的成绩78分比全班的平均分77分还多出1分，就说明她的成绩确实是班里的“中上水平”。
师：你们同意这位同学的意见吗?
(小部分学生表示同意，一部分学生表示不赞同，多数学生尚未思考清楚没有表态。)
师：看来大家意见不太一致。(在老师的预设之中)
生(齐)：是的。
师：我们就先来说说你们所理解的平均分(77分)在班里相当于什么水平。
生(众)：中等水平。
师：按你们的理解，高于平均分就应属于中上水平，低于平均分就应属于中下水平。
生：应该是这样。(学生认为“平均分”与“中等水平”是等值的，连持反对意见或保持沉默的学生也转变了态度。)
师：果真是这样吗?想不想知道小芳班里考试成绩的真实情况?
生：当然想!(急于验证自己的猜想是否正确)
师：那么，就请看吧!(屏幕演示)全班共30人，其他同学的成绩为：
1个100分，
4个90分，
22个80分。
1个lO分
1个2分。
师：有什么想法?小芳的成绩在班上实际排列第几?(营造的情景带给学生巨大的认知冲突。)
生：倒数第四。
师：以你们刚才的观点，就等于你们认可了一个倒数第四位的成绩处于班上的“中上水平”?
生：决不同意。
师：高于平均分却不算中上水平，这不矛盾吗?
生：是这样的，一般情况下，高于平均分就应属于中上水平，可是没想到这里出现了两个低到极端的分数，把班里的平均分一下子就拉下来了。(学生加重了带着重号词语的读音)
师：你所说的“一般情况”是指什么?
生：我帮他解释，“一般情况”就是指一组数据中不能出现特别大或特别小的数据，数与数之间差距不能太大。
生：小芳班有一个人只得2分，暂且不说他与最高分100分相差太大，就是与大多数人的80分也有不小的距离。这个2分，对全班的平均分影响太大了。
师：怎样影响?
生：把平均分拉低了很多很多。所以让小芳成绩高于平均分。这个平均分低于班上大多数同学的成绩，不能代表班上成绩的中等水平。
(同学们纷纷点头表示赞同。)
师：确实像你们分析的这样，平均数也有“失灵”的时候。当一组数据中的数值比较集中，差异不大时，平均数能较好地反映该组数据情况的中等水平。当一组数据中出现极端数据时，平均数往往就不能代表一组数据的“中等水平”(统计学称之为“一般水平”)。平均数“失灵”，我们用什么样的“数”衡量小芳的成绩在班上处于怎样的水平呢?
师：数学是一门工具学科。今天，我们就来学习一个新的数学概念“中位数”，以帮助我们解决这个问题。
(点评：中位数是表示数据组一般水平的数据。为了让学生在认识平均数的基础上进而认识中位数的内涵，教师没有直接呈现中位数概念，而是创设情境，让学生产生认知“冲突”，以“平均数”为参照物，引出“中位数”的概念，体会“中位数”的意义。体会到学习中位数的必要性。)
教学片段二：情景体验。动态生成。破解“何为中位数?”
师：从字面意义来理解，你认为“中位数”是怎样的数?
生：处在中间位置的数，叫做“中位数”。
师：从定义的角度来理解，你的说法是正确的；从统计学的角度来理解，你的说法还需要补充条件。
(屏幕演示：把一组数据按顺序排列后。处在最中间位置的数叫做中位数。)
师：为什么要添加“把数据按顺序排列”这个前提条件呢?
(没有学生回答)
师：这样吧，我们现场做一个演示，请五位同学协助完成。(教师选择5位同学到台前站成一排，用A4纸标明各自的 身高。)
师：请认为自己身高数是中位数的同学往前移一步。
(B和C都前移了一步)
师：C，你出来的理由是……?
C：因为我站在这五个人的最中间。所以我是“中位数”。
(教师没有表态，把C和D调换了一个位置，并让D向前移了一步，大声宣布D是中位数。)
师：看出问题了吗?
(学生没有表态，若有所思。教师又把A和c调换了一个位置，并让A前移了一步，大声宣布A是中位数。)
生：不对。这么说，谁(的身高数)都可以是中位数。
生：我明白了，把他们的身高按从高到低或者从低到高的顺序排列起来，最中间的数才是中位数。
师：你们真聪明!中位数是一组数据中间确定的、唯一的数。
(说着，老师站到五人队伍的一端。)
师：这时的中位数是谁?(学生谁也没有往前移动一步，面面相觑。)
生(自言自语)：6个人不好找中间数。
师：对照中位数的定义，谁最不可能是中位数?请退后一步。
(师、C、E和A在众学生的指挥下相继退后，剩下D和B。)
师：D和B你们为什么不退后呢?
生(抢着说)：他们两个是最靠近中间的数。谁退去都不能。
师：可是中位数只有一个。
生：那么就只好取他们两个的身高平均数了。
小结：当一组数据个数是单数时，正中间的数是中位数，当数据个数是双数时，正中间的两个数的平均数是中位数。
(点评：从字面上理解中位数的意义及求法并不困难，难的是如何帮助学生从本质上认识、理解中位数的产生、形成与发展变化。教师提供适度的活动时间和空间。让学生在具体的操作活动中体会中位数。)
教学片段三：整合挖掘，促进内化，破解“究竟该选谁?”
(教师请刚才的五位同学按顺序排好。)
师：这五位同学身高的中位数，我们刚才已经知道它是138厘米，能快速计算出他们身高的平均数吗?
生：平均身高是138.4厘米。
师：比较这组数据的平均数和中位数，你发现了什么?
生：它们非常接近，不分上下。
师：为什么两者能这么接近?你认为其中的原因是什么?
生：可能是因为这组数据中没有出现特别偏大或偏小的数据。
师：你们的猜想完全正确。在这种情况下，用平均数或者用中位数都能很好地反映一组数据的一般水平。
师：大家认识身高226厘米的篮球明星姚明吗?今天他来了。(把C的身高数换成226厘米，对C说：“你现在就是姚明了。”学生被逗乐了。)与刚才相比，这五个人身高的平均数变化了吗?变大了还是变小了?中位数呢?(如此演示两至三次)
小结：平均数与每个数据大小变化有关。与排列位置无关；中位数与数据的排列位置有关，与每个数据大小变化不一定有关。
(点评：学生的“痛苦”往往来源于比较，尤其是对相近概念的比较，如在具体情境下，到底应该选择平均数还是选择中位数来表示一组数据的一般水平，是让学生感到十分棘手的问题。为此。必须统整这两个概念，让学生在问题情境中，在现实素材中，在自主探究中，在讨论交流中，感悟中位数的统计意义，建构知识，主动发展。)
回顾中位数“三疑”、“三破”的教学历程，我颇有感触。之所以前后施教会产生这么大的反差，我认为主要在以下几个方面存在区别：
直面问题且及时跟踪诊治，用行为改进的方式去解决问题，是我们提高课堂教学效能的努力方向。中位数教学的“三疑”与“三破”给了我如下启示：
一、准确定位新知识教学的支点。中位数的教学必须以“平均数”为参照物，让学生在没有排斥、否定平均数的统计意义的认知冲突中。站在另一个层次分析数据，寻找到这个“合适”的数一中位数，从而体会中位数的合理性。
二、体验缺失影响学生自主建构。要提供适度的活动时间和空间，引领学生体验，让学生经历知识的形成过程。课堂上通过“意义数据”的演示和变换，让学生直观有关实例，在现实素材中自主探究。讨论交流，自己尝试找中位数，体验中位数的意义和求法，并在比较中感知平均数与中位数的联系和区别，让学生在问题情境中建构知识，主动发展。
三、夯实本体性知识防止误教。由于数学素养的缺乏，不能准确理解教材，对课堂上出现的“偏离预设”、学生的奇思妙想难以恰当把握，对学生自然生成的教学资源不能有效利用，就不能为学生创设更多的数学交流以及进行猜想、解释、推理和证明自己数学想法的机会。就本课教学而言，既要加强统计知识的学习，也要弥补逻辑知识的缺漏。
四、切实尊重学生的课堂权益。学生有自己的看法和意见，教师不要一味地否定学生，而要把关注的重心放在学生质疑、思考问题的过程，千万不要代替学生观察、思考和表达，更不可强加给学生固定的思维模式。
(点评者：王敏享受国务院特殊津贴专家，荣获“全国人民教师奖章”，广西优秀专家、特级教师。)