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在高等数学中，我们会遇到大量求多元函数的最值问题，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值有着密切的联系.同时，求多元函数的极值时，还会遇到对自变量有附加条件的极值问题，即条件极值.对自变量无附加条件约束的极值称为无条件极值.教学中，当讲到拉格朗日乘数法时，学生往往会对条件极值提出很多质疑，本文就条件极值的若干问题加以探讨.
一、极值是什么，怎样求极值
条件极值与极值有密切的关系，它们都刻画的是函数在局部范围的最值问题.同济大学数学系编的《高等数学》教材上关于二元函数极值的定义是：
定义 设函数z=f(x,y)的定义域为D，P0(x0,y0)为D的内点.若存在P0的某个邻域U(P0)D，使得对于该邻域内异于P0的任何点(x,y)，都有f(x,y)f(x0,y0)，则称函数f(x,y)在点(x0,y0)有极小值f(x0,y0)，点(x0,y0)称为函数z=f(x,y)的极小值点.极大值、极小值统称为极值，使得函数取得极值的点称为函数的极值点.
把二元函数推广到n元函数，即得多元函数极值的概念：设n元函数u=f(P)在点P0的某一邻域U(P0)内有定义，如果对于该邻域内异于P0的任何点P都有f(P)<f(P0)(或f(P)>f(P0))，则称函数u=f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0).
求z=f(x,y)的极值的一般步骤为：
第一步 解方程组fx(x,y)=0，fy(x,y)=0，求出f(x,y)的所有驻点.
第二步 求出函数f(x,y)的二阶偏导数，依次确定各驻点处A，B，C的值，并根据AC-B2的符号判定各个驻点是否为极值点.最后求出函数f(x,y)在极值点处的极值.
二、条件极值是什么，如何求
条件极值是高等数学多元函数极值理论中一类重要的问题，但是教材没有给出严格的定义，都以叙述的形式表达.如“求多元函数的极值时，对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以外，往往还受其他附加条件的限制，我们把这种对自变量有其他附加条件约束的极值称为条件极值”等等.关于怎样求条件极值，教材交代了两种方法.其一,求解约束条件比较简单的条件极值问题时，可以把条件极值化为无条件极值，然后加以解决.其二，直接寻求求条件极值的方法，也是教材花大篇幅介绍的方法，即拉格朗日乘数法.先引入Lagrange函数L,再求出此函数的驻点，然后做进一步的判断.用拉格朗日乘数法虽然很方便，但极值点的判定却比较麻烦.
三、求极值的方法和拉格朗日乘数法运用的异同是什么
二元函数的极值问题，一般是利用偏导数来解决.拉格朗日乘数法是通过引入Lagrange函数L，从而将有约束条件的极值问题化为普通的无条件的极值问题.从思想上看，两种方法均是缩小自变量的取值范围，先找出候选点（即可能的极值点），再试图缩小范围得到真的极值点.
四、能否先求驻点和偏导数不存在的点，再筛选
教材在条件极值的定义上存在着不严谨之处，导致的结果是在教学过程中，学生往往会产生这样的困惑：既然极值是在驻点和偏导数不存在的点中寻找，而条件极值只不过是对自变量附加了额外的条件，那求条件极值时完全可以采用先求函数的驻点和偏导数不存在的点，再根据附加条件对驻点加以筛选和排除，最终对剩余的驻点和偏导数不存在的点做进一步真伪判断即可，何苦要引入拉格朗日函数使得问题复杂化呢？
关于这个问题，有一种办法是通过某题按照不同的方法得出不同的结果加以反驳，但最好的办法是揭示二者的本质区别.事实上，以二元函数为例来说，设函数z=f(x,y)的定义域为D，若函极的极值点为P0(x0,y0)，极值为z0，表明在曲面z=f(x,y)上，点(x0,y0,z0)是它较小周围中最高的或者最低的一个点，也可以说点(x0,y0,z0)是它较小周围最凸的或者最凹的点，还可以说在点P0(x0,y0)的较小周围（即存在P0的某个邻域U(P0)D），P0(x0,y0)的函数值z0是最大的或者最小的.然而，对同样的函数z=f(x,y)，附加条件g(x,y)=0后，若条件极值为z1，对应的极值点为P1(x1,y1)，表明的是在曲面z=f(x,y)上，点(x1,y1,z1)不一定是它较小周围中最高的或者最低的一个点，而是沿着柱面g(x,y)=0与曲面z=f(x,y)的交线看，点(x1,y1,z1)是它附近最高的或者最低的一个点，也可以说沿着柱面g(x,y)=0与曲面z=f(x,y)的交线看，点(x1,y1,z1)是它附近最凸的或者最凹的点，还可以说在xOy平面上沿着g(x,y)=0看，在点P1(x1,y1)的附近，P1(x1,y1)的函数值z1是最大的或者最小的.因此，尽管极值和条件极值都是函数值互相比较大小的结果，是局部小范围的最值，但这两种情况下要考察的自变量的取值范围却有很大的区别：无条件极值互相比较函数值的考察范围是在点P0(x0,y0)的邻域U(P0)中，此领域是一个圆形区域，而条件极值互相比较函数值的考察范围是在g(x,y)=0这条曲线上点P1(x1,y1)的附近，此“附近”是一段曲线弧，当自变量在附加条件形成的区域中取值时，临靠近条件极值点时，以条件极值为最值.反映在函数图像上，前者是面上的考量，后者是线上的考量.显然，当无条件极值的极值点同时也满足条件极值附加条件g(x,y)=0的情况发生时，这样的无条件极值点一定也是条件极值点，另一方面，当满足g(x,y)=0的条件极值点确定后，这样的条件极值点不一定是无条件极值点.条件极值点和无条件极值点可以有非空交集，也可以交集为空.附加条件不是g(x,y)=0情形可做类似分析.
有了上述剖析，学生的困惑就迎刃而解.如若“先求函数的驻点和偏导数不存在的点，再根据附加条件对驻点加以筛选和排除”，这样就会漏掉一些可能的条件极值点，使得解题不全面.
五、结 语
在约束条件g(x,y)=0下讨论二元函数z=f(x,y)的极值问题时，如果由g(x,y)=0能求得x或y，此时把求二元函数的条件极值可转化为求一元函数的极值.但有时通过方程g(x,y)=0解得x或y并不是一件容易的事情，使用这种方法就困难了.在教授学生新知识、新概念时，教师对学生容易或者可能出现的错误要有足够的认识，对学生产生的疑难，要从本质上加以解决，给学生留下深刻的印象，防止日后重犯错误.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、极值是什么，怎样求极值
条件极值与极值有密切的关系，它们都刻画的是函数在局部范围的最值问题.同济大学数学系编的《高等数学》教材上关于二元函数极值的定义是：
定义 设函数z=f(x,y)的定义域为D，P0(x0,y0)为D的内点.若存在P0的某个邻域U(P0)D，使得对于该邻域内异于P0的任何点(x,y)，都有f(x,y)
把二元函数推广到n元函数，即得多元函数极值的概念：设n元函数u=f(P)在点P0的某一邻域U(P0)内有定义，如果对于该邻域内异于P0的任何点P都有f(P)<f(P0)(或f(P)>f(P0))，则称函数u=f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0).
求z=f(x,y)的极值的一般步骤为：
第一步 解方程组fx(x,y)=0，fy(x,y)=0，求出f(x,y)的所有驻点.
第二步 求出函数f(x,y)的二阶偏导数，依次确定各驻点处A，B，C的值，并根据AC-B2的符号判定各个驻点是否为极值点.最后求出函数f(x,y)在极值点处的极值.
二、条件极值是什么，如何求
条件极值是高等数学多元函数极值理论中一类重要的问题，但是教材没有给出严格的定义，都以叙述的形式表达.如“求多元函数的极值时，对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以外，往往还受其他附加条件的限制，我们把这种对自变量有其他附加条件约束的极值称为条件极值”等等.关于怎样求条件极值，教材交代了两种方法.其一,求解约束条件比较简单的条件极值问题时，可以把条件极值化为无条件极值，然后加以解决.其二，直接寻求求条件极值的方法，也是教材花大篇幅介绍的方法，即拉格朗日乘数法.先引入Lagrange函数L,再求出此函数的驻点，然后做进一步的判断.用拉格朗日乘数法虽然很方便，但极值点的判定却比较麻烦.
三、求极值的方法和拉格朗日乘数法运用的异同是什么
二元函数的极值问题，一般是利用偏导数来解决.拉格朗日乘数法是通过引入Lagrange函数L，从而将有约束条件的极值问题化为普通的无条件的极值问题.从思想上看，两种方法均是缩小自变量的取值范围，先找出候选点（即可能的极值点），再试图缩小范围得到真的极值点.
四、能否先求驻点和偏导数不存在的点，再筛选
教材在条件极值的定义上存在着不严谨之处，导致的结果是在教学过程中，学生往往会产生这样的困惑：既然极值是在驻点和偏导数不存在的点中寻找，而条件极值只不过是对自变量附加了额外的条件，那求条件极值时完全可以采用先求函数的驻点和偏导数不存在的点，再根据附加条件对驻点加以筛选和排除，最终对剩余的驻点和偏导数不存在的点做进一步真伪判断即可，何苦要引入拉格朗日函数使得问题复杂化呢？
关于这个问题，有一种办法是通过某题按照不同的方法得出不同的结果加以反驳，但最好的办法是揭示二者的本质区别.事实上，以二元函数为例来说，设函数z=f(x,y)的定义域为D，若函极的极值点为P0(x0,y0)，极值为z0，表明在曲面z=f(x,y)上，点(x0,y0,z0)是它较小周围中最高的或者最低的一个点，也可以说点(x0,y0,z0)是它较小周围最凸的或者最凹的点，还可以说在点P0(x0,y0)的较小周围（即存在P0的某个邻域U(P0)D），P0(x0,y0)的函数值z0是最大的或者最小的.然而，对同样的函数z=f(x,y)，附加条件g(x,y)=0后，若条件极值为z1，对应的极值点为P1(x1,y1)，表明的是在曲面z=f(x,y)上，点(x1,y1,z1)不一定是它较小周围中最高的或者最低的一个点，而是沿着柱面g(x,y)=0与曲面z=f(x,y)的交线看，点(x1,y1,z1)是它附近最高的或者最低的一个点，也可以说沿着柱面g(x,y)=0与曲面z=f(x,y)的交线看，点(x1,y1,z1)是它附近最凸的或者最凹的点，还可以说在xOy平面上沿着g(x,y)=0看，在点P1(x1,y1)的附近，P1(x1,y1)的函数值z1是最大的或者最小的.因此，尽管极值和条件极值都是函数值互相比较大小的结果，是局部小范围的最值，但这两种情况下要考察的自变量的取值范围却有很大的区别：无条件极值互相比较函数值的考察范围是在点P0(x0,y0)的邻域U(P0)中，此领域是一个圆形区域，而条件极值互相比较函数值的考察范围是在g(x,y)=0这条曲线上点P1(x1,y1)的附近，此“附近”是一段曲线弧，当自变量在附加条件形成的区域中取值时，临靠近条件极值点时，以条件极值为最值.反映在函数图像上，前者是面上的考量，后者是线上的考量.显然，当无条件极值的极值点同时也满足条件极值附加条件g(x,y)=0的情况发生时，这样的无条件极值点一定也是条件极值点，另一方面，当满足g(x,y)=0的条件极值点确定后，这样的条件极值点不一定是无条件极值点.条件极值点和无条件极值点可以有非空交集，也可以交集为空.附加条件不是g(x,y)=0情形可做类似分析.
有了上述剖析，学生的困惑就迎刃而解.如若“先求函数的驻点和偏导数不存在的点，再根据附加条件对驻点加以筛选和排除”，这样就会漏掉一些可能的条件极值点，使得解题不全面.
五、结 语
在约束条件g(x,y)=0下讨论二元函数z=f(x,y)的极值问题时，如果由g(x,y)=0能求得x或y，此时把求二元函数的条件极值可转化为求一元函数的极值.但有时通过方程g(x,y)=0解得x或y并不是一件容易的事情，使用这种方法就困难了.在教授学生新知识、新概念时，教师对学生容易或者可能出现的错误要有足够的认识，对学生产生的疑难，要从本质上加以解决，给学生留下深刻的印象，防止日后重犯错误.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文