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定积分的概念不仅明示了定积分的形成过程，而且明示了解决这一类问题的步骤与方法——分割、近似代替、求和、取极限．在局部范围内运用了 “以直代曲” “以不变代变”和“逼近”的思想．同时，概念还体现了几何意义和物理意义．定积分知识的运用，无疑会对数学和其它科学乃至实用技术的发展产生巨大的影响！
1. 定积分运算中的“四步曲”——分割、近似代替、求和、极限
例1 用定义计算[01(2x-x2)dx]，并从几何上解释这个值表示什么？
解 [01(2x-x2)dx][=201xdx-01x2dx]，下面先求[01xdx]的值．
第一步——分割：在区间[[0,1]]上等间隔地插入[n-1]个点，将区间[[0,1]]等分成[n]个小区间[[i-1n,in](i=1,2,⋯,n)]，每个小区间的长度为[Δx=in-i-1n=1n].
第二步——近似代替：取[ξi=in(i=1,2,⋯,n)]，第[i]小区间中对应小矩形面积为：[ξi⋅Δx=in⋅1n=in2].
第三步——求和：
[Sn=i=1nin⋅1n=1n2⋅n(n+1)2=n+12n].
第四步——取极限：
[01xdx=limn→∞Sn=limn→∞n+12n=12]．
同理可求得[01x2dx=13].
所以[01(2x-x2)dx=2×12-13=23]．
由定积分的几何意义可知，这个值表示由直线[y=2x,x=1]和曲线[y=x2]所围成的图形的面积．
2. 定积分运算中的“二步曲”——特定形式和、极限
例2 将代数式[limn→∞(1n+1+1n+2+⋯+12n)]改写成定积分形式．
解 第一步——改为特定形式的和：
[1n+1+1n+2+⋯+12n]
[=i=1n1n+i=i=1nnn+i⋅1n=i=1n11+in⋅1n]
[=i=1nf(in)⋅1n]，
取[f(x)=11+x,ξi=in]，[ξi]其中为区间[[0,1]]被等分后的第[i]个区间[[i-1n,in](i=1,2,⋯,n)]的右端点．
第二步——取极限：
[limn→∞i=1nf(in)⋅1n=0111+xdx]，
故[limn→∞(1n+1+1n+2+⋯+12n)=0111+xdx]．
例3 弹簧在拉伸的过程中，力[f(x)=kx]（[k]为常数，[x]为伸长量），用定积分表示将弹簧从平衡位置拉长1m所做的功．
解 因为力是变力，在弹簧拉伸过程中变力所做的功可以近似地写成特定形式的和：
[Wn=i=1nΔWi=i=1nk⋅i-1n⋅1n]，
于是，[W=limn→∞Wn=limn→∞i=1nk⋅i-1n⋅1n=01kxdx].
例4 将单位圆[x2+y2=1]绕[x]轴旋转一周得到球形容器，试将该容器的容积用定积分表示出来．
解 先考查单位圆位于[y]轴右侧的旋转问题，近似地写成特定形式的和：
[Vn=i=1nΔVi=i=1nπf2(ξi)⋅Δx=i=1nπy2⋅Δx=i=1nπ(1-x2)⋅Δx.]
于是，[V=2limn→∞Vn=2limn→∞i=1nπ(1-x2)⋅Δx]
[=201π(1-x2)dx]．
3. 定积分运算中的“一步曲”——牛顿-莱布尼茨公式
德国人莱布尼茨从“微分三角形”中认识到：求曲线的切线依赖于纵坐标之差与横坐标之差的比值；求曲边图形的面积则依赖于在横坐标的无限小区间上的纵坐标之和或无限薄的矩形之和，他认为求和与求差是可逆的！同样地，英国人牛顿从物理学的角度也发现了相似的可逆性．于是他们就都研究了微分与反微分之间的互逆关系，从而创立了微积分基本定理：如果[f(x)]是区间[[a,b]]上的连续函数，并且[F(x)=f(x)]，那么[abf(x)dx=F(b)-F(a)]．
因此，定积分运算就多了“一步曲”这种方法，上述四个例题中的定积分都可以用公式法求得相应的值：
[01(2x-x2)dx=(x2-13x3)10=F(1)-F(0)=23]（其中[F(x)=x2-13x3]）；
[0111+xdx=ln(1+x)10=F(1)-F(0)=ln2]（其中[F(x)=ln(1+x)]）；
[01kxdx=12kx210=F(1)-F(0)=12k]（其中[F(x)=12kx2]）；
[V=201π(1-x2)dx=2π(x-13x3)10]
[=F(1)-F(0)=43π]（其中[F(x)=2π(x-13x3)]）．
4. 定积分运算中的几何法——与曲边梯形的面积相关
例5 求[-43x+2dx]的值．
解 考查函数[f(x)=x+2]的图象. 定积分[-43x+2dx]的几何意义：表示为由直线[x=-4,x=3,y=0]及曲线[y=x+2]所围成的封闭图形的面积，于是，
[-43x+2dx][=SΔABC+SΔADE]
[=12AC⋅BC+12AD⋅DE]
[=12⋅2⋅2+12⋅5⋅5=292]．
例6 在曲线[y=x2(x≥0)]上的某点[A]处作切线，已知该切线、[x]轴和曲线所围成图形的面积为[112]，求切点的坐标及切线方程．
解 由题意可设切点[A]的坐标为[(x0,x20)]，则切线方程为[y=2x0x-x20]，可得切线与[x]轴的交点坐标为[(x02,0)]，如上图所示. 曲线[y=x2(x≥0)]与切线[y=2x0x-x20]、[x]轴所围成图形可分割成[S1]和[S2]两部分，即[S=S1+S2]．
故[S=0x02x2dx+[x02x0x2dx-x02x0(2x0x-x20)dx]]
[=13x3x020+13x3x0x02-(x0x2-x20x)x0x02]
[=x3012=112].
解得[x0=1].
所以切点坐标为[A(1,1)]，切线方程为[y=2x-1].
另解 该面积也可以用另一种方式的定积分表示．上述解法中由于选择的积分变量是[x]，导致要把阴影部分分割成两个部分，若选择[y]作为积分变量呢？
[S=0x20(y+x202x0-y)dy]
[=(12y2+x20y2x0-23y32)x200]
[=34x30-23x30=112x30=112].
解得[x0=1].
所以切点坐标为[A(1,1)]，切线方程为[y=2x-1].
综述 1．定积分的几何意义——与阴影部分的面积有关，定积分的物理意义很宽泛——位移、做功等．其实两个变量的求积运算很多都可以用它来思考！再比如上述例4中的求体积问题——与面积、高的“乘积”有关！这样说来，定积分知识的运用可以很广泛，不只是用在数学与物理领域中.
2．定积分式的计算方法：（1）利用定义求定积分（定义法），过程繁琐、受限较多，实际操作性不强；（2）利用微积分基本定理求定积分步骤如下： ①求被积函数[f(x)]的一个原函数[F(x)]，②计算[F(b)-F(a)]，（3）利用定积分的几何意义求定积分．
练习
1．求[-π2π2(sinx+cosx)dx]的值．
2．设[f(x)=x2,x∈[0,1]2-x,x∈[1,2]]，求[12f(x)dx]的值.
3．求抛物线[y2=2x]与直线[y=4-x]围成的平面图形的面积．
4．如图所示，抛物线[y=4-x2]与直线[y=3x]的两交点为[A、B]，点[P]在抛物线上从[A]向[B]运动．
（1）求使[△PAB]的面积最大的[P]点的坐标[(a,b)];
（2）证明：由抛物线与线段[AB]围成的图形，被直线[x=a]分为面积相等的两部分．
5．平地里有一条小沟，沟沿是两条长100m的平行线段，沟宽[AB=2m]，横截面与沟的交线是一段抛物线，顶点为[O]，沟深1.5m，沟中水深1m．
（1）求水面宽；
（2）求沟中有多少立方米水．
答案
1. 2 2. [56] 3. 18
4. （1）[(-32,74)] （2）用定积分做（略）
5. （1）[263m] （2）[40069m3]
1. 定积分运算中的“四步曲”——分割、近似代替、求和、极限
例1 用定义计算[01(2x-x2)dx]，并从几何上解释这个值表示什么？
解 [01(2x-x2)dx][=201xdx-01x2dx]，下面先求[01xdx]的值．
第一步——分割：在区间[[0,1]]上等间隔地插入[n-1]个点，将区间[[0,1]]等分成[n]个小区间[[i-1n,in](i=1,2,⋯,n)]，每个小区间的长度为[Δx=in-i-1n=1n].
第二步——近似代替：取[ξi=in(i=1,2,⋯,n)]，第[i]小区间中对应小矩形面积为：[ξi⋅Δx=in⋅1n=in2].
第三步——求和：
[Sn=i=1nin⋅1n=1n2⋅n(n+1)2=n+12n].
第四步——取极限：
[01xdx=limn→∞Sn=limn→∞n+12n=12]．
同理可求得[01x2dx=13].
所以[01(2x-x2)dx=2×12-13=23]．
由定积分的几何意义可知，这个值表示由直线[y=2x,x=1]和曲线[y=x2]所围成的图形的面积．
2. 定积分运算中的“二步曲”——特定形式和、极限
例2 将代数式[limn→∞(1n+1+1n+2+⋯+12n)]改写成定积分形式．
解 第一步——改为特定形式的和：
[1n+1+1n+2+⋯+12n]
[=i=1n1n+i=i=1nnn+i⋅1n=i=1n11+in⋅1n]
[=i=1nf(in)⋅1n]，
取[f(x)=11+x,ξi=in]，[ξi]其中为区间[[0,1]]被等分后的第[i]个区间[[i-1n,in](i=1,2,⋯,n)]的右端点．
第二步——取极限：
[limn→∞i=1nf(in)⋅1n=0111+xdx]，
故[limn→∞(1n+1+1n+2+⋯+12n)=0111+xdx]．
例3 弹簧在拉伸的过程中，力[f(x)=kx]（[k]为常数，[x]为伸长量），用定积分表示将弹簧从平衡位置拉长1m所做的功．
解 因为力是变力，在弹簧拉伸过程中变力所做的功可以近似地写成特定形式的和：
[Wn=i=1nΔWi=i=1nk⋅i-1n⋅1n]，
于是，[W=limn→∞Wn=limn→∞i=1nk⋅i-1n⋅1n=01kxdx].
例4 将单位圆[x2+y2=1]绕[x]轴旋转一周得到球形容器，试将该容器的容积用定积分表示出来．
解 先考查单位圆位于[y]轴右侧的旋转问题，近似地写成特定形式的和：
[Vn=i=1nΔVi=i=1nπf2(ξi)⋅Δx=i=1nπy2⋅Δx=i=1nπ(1-x2)⋅Δx.]
于是，[V=2limn→∞Vn=2limn→∞i=1nπ(1-x2)⋅Δx]
[=201π(1-x2)dx]．
3. 定积分运算中的“一步曲”——牛顿-莱布尼茨公式
德国人莱布尼茨从“微分三角形”中认识到：求曲线的切线依赖于纵坐标之差与横坐标之差的比值；求曲边图形的面积则依赖于在横坐标的无限小区间上的纵坐标之和或无限薄的矩形之和，他认为求和与求差是可逆的！同样地，英国人牛顿从物理学的角度也发现了相似的可逆性．于是他们就都研究了微分与反微分之间的互逆关系，从而创立了微积分基本定理：如果[f(x)]是区间[[a,b]]上的连续函数，并且[F(x)=f(x)]，那么[abf(x)dx=F(b)-F(a)]．
因此，定积分运算就多了“一步曲”这种方法，上述四个例题中的定积分都可以用公式法求得相应的值：
[01(2x-x2)dx=(x2-13x3)10=F(1)-F(0)=23]（其中[F(x)=x2-13x3]）；
[0111+xdx=ln(1+x)10=F(1)-F(0)=ln2]（其中[F(x)=ln(1+x)]）；
[01kxdx=12kx210=F(1)-F(0)=12k]（其中[F(x)=12kx2]）；
[V=201π(1-x2)dx=2π(x-13x3)10]
[=F(1)-F(0)=43π]（其中[F(x)=2π(x-13x3)]）．
4. 定积分运算中的几何法——与曲边梯形的面积相关
例5 求[-43x+2dx]的值．
解 考查函数[f(x)=x+2]的图象. 定积分[-43x+2dx]的几何意义：表示为由直线[x=-4,x=3,y=0]及曲线[y=x+2]所围成的封闭图形的面积，于是，
[-43x+2dx][=SΔABC+SΔADE]
[=12AC⋅BC+12AD⋅DE]
[=12⋅2⋅2+12⋅5⋅5=292]．
例6 在曲线[y=x2(x≥0)]上的某点[A]处作切线，已知该切线、[x]轴和曲线所围成图形的面积为[112]，求切点的坐标及切线方程．
解 由题意可设切点[A]的坐标为[(x0,x20)]，则切线方程为[y=2x0x-x20]，可得切线与[x]轴的交点坐标为[(x02,0)]，如上图所示. 曲线[y=x2(x≥0)]与切线[y=2x0x-x20]、[x]轴所围成图形可分割成[S1]和[S2]两部分，即[S=S1+S2]．
故[S=0x02x2dx+[x02x0x2dx-x02x0(2x0x-x20)dx]]
[=13x3x020+13x3x0x02-(x0x2-x20x)x0x02]
[=x3012=112].
解得[x0=1].
所以切点坐标为[A(1,1)]，切线方程为[y=2x-1].
另解 该面积也可以用另一种方式的定积分表示．上述解法中由于选择的积分变量是[x]，导致要把阴影部分分割成两个部分，若选择[y]作为积分变量呢？
[S=0x20(y+x202x0-y)dy]
[=(12y2+x20y2x0-23y32)x200]
[=34x30-23x30=112x30=112].
解得[x0=1].
所以切点坐标为[A(1,1)]，切线方程为[y=2x-1].
综述 1．定积分的几何意义——与阴影部分的面积有关，定积分的物理意义很宽泛——位移、做功等．其实两个变量的求积运算很多都可以用它来思考！再比如上述例4中的求体积问题——与面积、高的“乘积”有关！这样说来，定积分知识的运用可以很广泛，不只是用在数学与物理领域中.
2．定积分式的计算方法：（1）利用定义求定积分（定义法），过程繁琐、受限较多，实际操作性不强；（2）利用微积分基本定理求定积分步骤如下： ①求被积函数[f(x)]的一个原函数[F(x)]，②计算[F(b)-F(a)]，（3）利用定积分的几何意义求定积分．
练习
1．求[-π2π2(sinx+cosx)dx]的值．
2．设[f(x)=x2,x∈[0,1]2-x,x∈[1,2]]，求[12f(x)dx]的值.
3．求抛物线[y2=2x]与直线[y=4-x]围成的平面图形的面积．
4．如图所示，抛物线[y=4-x2]与直线[y=3x]的两交点为[A、B]，点[P]在抛物线上从[A]向[B]运动．
（1）求使[△PAB]的面积最大的[P]点的坐标[(a,b)];
（2）证明：由抛物线与线段[AB]围成的图形，被直线[x=a]分为面积相等的两部分．
5．平地里有一条小沟，沟沿是两条长100m的平行线段，沟宽[AB=2m]，横截面与沟的交线是一段抛物线，顶点为[O]，沟深1.5m，沟中水深1m．
（1）求水面宽；
（2）求沟中有多少立方米水．
答案
1. 2 2. [56] 3. 18
4. （1）[(-32,74)] （2）用定积分做（略）
5. （1）[263m] （2）[40069m3]