前言：代数学的鼻祖“丢番图（Diophantus）”给出了“勾股定理”的所有正整数解的猜想公式；但是“丢番图（Diophantus）”猜想，只是给出了已知直角三角形的直角边为定长时的“勾股数组”的构成公式的猜想【作者在《新天地》2011年11期和12期的论文《关于“丢番图（Diophantus）”猜想的论证》已完善地论证了“丢氏猜想”】。作者本人经过多年的研究，彻底解决了“在直角三角形中，当斜边为定长时，所能构成“勾股数组”充要条件，并形成了命题三。本文一并给出了该命题的证明与使用方法。这个命题的形成与证明填补了数学界在“勾股定理”的整数解（即“勾股数组”或“勾股三元数组”）这一领域的一个空白.
　　命题三：
　　若给定一个正整数 ，那么由 作为直角三角形的定长斜边所构成“勾股数组”的充要条件是：
　　在正整数 的所有的因数中，若存在大于或等于5的奇因数 ，并且满足： 的形式（其中 ＜ ； 为互质正整数）；那么就一定存在“勾股数组” ；其计算“勾股数组” 的公式为：
　　
　　 “勾股数组” 与“勾股数组” 所组成的“毕氏三角形”是全等三角形；所以当： 时，由斜边 所产生的两组“勾股数组”的构成结果完全相同.
　　综上所述可得如下最终结论：针对直角三角形的斜边为给定的正整数 的所有因数中，若存在因数 和 ，且满足： （其中 ≥1； ≥1； ≥1.且 、 、 均为正整数），则由 与 所确定的系列直角三角形都是全等的直角三角形。
　　所以我们在已知给定的直角三角形的斜边，计算“勾股数组”时，只需确定这些因数中成“等比数列”（公比为2）的第一项即可，否则在计算“勾股数组”将出现大量的重叠；并且由 可知： 的最小值显然一定是奇数。而2 是偶数，又 是2 的奇因数，所以 是正整数斜边 的奇因数. （14）
　　下面我们再就另一种重叠情况加以研究：