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数与式是初中数学的基础知识，主要包括数与式的有关概念和计算. 用数与式表示问题中的数量或数量关系，中考多以容易题或中档题出现，题型主要是填空题、选择题，偶尔出现计算题，但计算题的难度不大. 近几年来，对这部分的考查出现了“以数与式为载体考查数学思想和数学能力”的要求，现举例说明如下，供同学们参考.
一、 整式的求值
例1 （2011·湖北鄂州）已知a=2 009x+2 008，b=2 009x+2 009，c=2 009x+2 010. 则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值为（ ）.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
方法一 求代数式的值一般是将已知字母的值代入代数式求值，但本题a、b、c都是用x的代数式表示，且较为复杂，若直接代入可将待求的式子用x的代数式表示，化简后可消去x从而求值，但计算极为繁琐，可操作性不强. 若想计算简便，关键是将a、b、c的值化繁为简. 仔细观察不难发现，表示a、b、c值的三个代数式中，x前面的系数都相同，后面的常数依次递增1，故a、b、c值依次增加1，根据这个关系不妨将a、c分别用b-1和b+1表示，代入后待求式可用b的代数式表示，计算大为简化，化简后即可消去字母b，求得代数式的值.
解：由条件得：a=b-1，c=b+1.
原式=（b-1）2+b2+（b+1）2-（b-1）b-b（b+1）-（b+1）（b-1）=b2-2b+1+b2+b2+2b+1-b2+b-b2-b-b2+1=3.
【点评】消元法的关键是找出不同字母之间的关系，将不同字母用同一个字母的代数式表示，代入化简后求值.
方法二 若从待求式子的特征分析，可以发现其结构与完全平方式相似，再由条件很容易求出三个字母中任意两个字母的差，若能将待求式子进行适当的构造，转化为完全平方式，将其分解为两数差的平方，再将两个字母的差值代入即可求出待求式子的值.完全平方式是一个三项式且有一项是两数积的2倍，待求式子中是两数的积，故将待求式子乘2，构造出三个完全平方式，将其分解成两数差的平方，再将由条件求出的两个字母的差代入求值即可.
解：由a=2 009x+2 008，b=2 009x+2 009，c=2 009x+2 010，可求得a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1.
故a2+b2+c2-ab-bc-ac
=[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]
=[（-1）2+（-2）2+（-1）2]=3.
【点评】因式分解法的关键是将待求的代数式构造后分解成含有已知条件的代数式，或由已知条件变形能得到的代数式.
方法三 当x给定任意一个实数，待求式子的值都是相等的，为了计算方便可取x=-1，将x=-1代入a、b、c求出其值，再将求出的a、b、c的值代入待求式子. 此方法主要是运用从特殊到一般的思想. 对于某些数式结构的代数问题，通常令字母取特殊值或字母间取特殊的数量关系，但此法为特殊解法，在填空或选择题中可以运用.
解：由a=2 009x+2 008，b=2 009x+2 009，c=2 009x+2 010，不妨令x=-1. 则a=-1，b=0，c=1.
则a2+b2+c2-ab-bc-ac
=（-1）2+02+12-0-0-（-1）×1=3.
【点评】有些问题用常规方法直接求解比较困难，若根据条件，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式，这时常常会使题目变得十分简单.
二、 分式的求值
例2 （2012·四川内江）已知三个数x，y，z，满足=-2，=，=-，则=______.
方法一 要求分式的值，只需将其分母xy+yz+zx用xyz的代数式表示，分析发现对分式的分母xy+yz+zx任意两项提取公因式，可以将其化为一个字母与另外两个字母和的积的形式. 再由条件需找两个字母的积与这两个字母和的关系，由此xy+yz+zx中任意两项都可用xyz的代数式表示，但分母为三项，故可依据分式的性质将待求分式的分子与分母同乘2，分母变成6项，每两项提取公因式后将分母用xyz的代数式表示，约分后求得分式的值.
解：由=-2，=，=-，
得：x+y=-xy，y+z=yz，z+x=-zx.
∴=
=
=
=
==-4.
【点评】“构造法”作为一种重要的化归手段，在数学解题中有重要的作用.
方法二 求代数式的值关键是找出条件和待求代数式之间的关联，本题很难直接由条件构造出待求的分式或与其有关联的分式，但通过观察不难发现，三个已知分式的分子的最简公分母恰好是待求分式的分子xyz，而异分母分式加减须通分，故而先求三个已知分式的倒数和，通分后分母为xyz，而待求分式的分子为xyz，此时只需利用三个已知分式的倒数和与待求分式的关系，即可求解.
解：∵=-2，=，=-，
++=-+-=-，
即=-，
∴=-，即=-4.
【点评】对于一些形式比较特殊的式子，运用求倒数或相反数的方法往往能收到奇效.
（作者单位：江苏省建湖县高作中学）
一、 整式的求值
例1 （2011·湖北鄂州）已知a=2 009x+2 008，b=2 009x+2 009，c=2 009x+2 010. 则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值为（ ）.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
方法一 求代数式的值一般是将已知字母的值代入代数式求值，但本题a、b、c都是用x的代数式表示，且较为复杂，若直接代入可将待求的式子用x的代数式表示，化简后可消去x从而求值，但计算极为繁琐，可操作性不强. 若想计算简便，关键是将a、b、c的值化繁为简. 仔细观察不难发现，表示a、b、c值的三个代数式中，x前面的系数都相同，后面的常数依次递增1，故a、b、c值依次增加1，根据这个关系不妨将a、c分别用b-1和b+1表示，代入后待求式可用b的代数式表示，计算大为简化，化简后即可消去字母b，求得代数式的值.
解：由条件得：a=b-1，c=b+1.
原式=（b-1）2+b2+（b+1）2-（b-1）b-b（b+1）-（b+1）（b-1）=b2-2b+1+b2+b2+2b+1-b2+b-b2-b-b2+1=3.
【点评】消元法的关键是找出不同字母之间的关系，将不同字母用同一个字母的代数式表示，代入化简后求值.
方法二 若从待求式子的特征分析，可以发现其结构与完全平方式相似，再由条件很容易求出三个字母中任意两个字母的差，若能将待求式子进行适当的构造，转化为完全平方式，将其分解为两数差的平方，再将两个字母的差值代入即可求出待求式子的值.完全平方式是一个三项式且有一项是两数积的2倍，待求式子中是两数的积，故将待求式子乘2，构造出三个完全平方式，将其分解成两数差的平方，再将由条件求出的两个字母的差代入求值即可.
解：由a=2 009x+2 008，b=2 009x+2 009，c=2 009x+2 010，可求得a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1.
故a2+b2+c2-ab-bc-ac
=[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]
=[（-1）2+（-2）2+（-1）2]=3.
【点评】因式分解法的关键是将待求的代数式构造后分解成含有已知条件的代数式，或由已知条件变形能得到的代数式.
方法三 当x给定任意一个实数，待求式子的值都是相等的，为了计算方便可取x=-1，将x=-1代入a、b、c求出其值，再将求出的a、b、c的值代入待求式子. 此方法主要是运用从特殊到一般的思想. 对于某些数式结构的代数问题，通常令字母取特殊值或字母间取特殊的数量关系，但此法为特殊解法，在填空或选择题中可以运用.
解：由a=2 009x+2 008，b=2 009x+2 009，c=2 009x+2 010，不妨令x=-1. 则a=-1，b=0，c=1.
则a2+b2+c2-ab-bc-ac
=（-1）2+02+12-0-0-（-1）×1=3.
【点评】有些问题用常规方法直接求解比较困难，若根据条件，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式，这时常常会使题目变得十分简单.
二、 分式的求值
例2 （2012·四川内江）已知三个数x，y，z，满足=-2，=，=-，则=______.
方法一 要求分式的值，只需将其分母xy+yz+zx用xyz的代数式表示，分析发现对分式的分母xy+yz+zx任意两项提取公因式，可以将其化为一个字母与另外两个字母和的积的形式. 再由条件需找两个字母的积与这两个字母和的关系，由此xy+yz+zx中任意两项都可用xyz的代数式表示，但分母为三项，故可依据分式的性质将待求分式的分子与分母同乘2，分母变成6项，每两项提取公因式后将分母用xyz的代数式表示，约分后求得分式的值.
解：由=-2，=，=-，
得：x+y=-xy，y+z=yz，z+x=-zx.
∴=
=
=
=
==-4.
【点评】“构造法”作为一种重要的化归手段，在数学解题中有重要的作用.
方法二 求代数式的值关键是找出条件和待求代数式之间的关联，本题很难直接由条件构造出待求的分式或与其有关联的分式，但通过观察不难发现，三个已知分式的分子的最简公分母恰好是待求分式的分子xyz，而异分母分式加减须通分，故而先求三个已知分式的倒数和，通分后分母为xyz，而待求分式的分子为xyz，此时只需利用三个已知分式的倒数和与待求分式的关系，即可求解.
解：∵=-2，=，=-，
++=-+-=-，
即=-，
∴=-，即=-4.
【点评】对于一些形式比较特殊的式子，运用求倒数或相反数的方法往往能收到奇效.
（作者单位：江苏省建湖县高作中学）