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摘 要：问题是数学教学的灵魂，是激发学生思维的动力。有问题，学生才有思考的方向，才能唤醒学生勇于探究的愿望，才能有效地培养学生的创新意识。因此数学复习课中问题的设计策略显得尤为重要。
关键词：数学 复习课 问题 设计
问题是数学教学的灵魂，是激发学生思维的动力，因此，数学课堂教学以“问题教学”为中心。有问题，学生才有思考的方向，才能唤醒学生勇于探究的愿望，才能有效地培养学生的创新意识。在数学复习课中科学、合理、巧妙地设计问题是我们一线老师值得研究的课题，下面笔者结合自己的教学经验谈谈问题的设计方法。
一、层层递进，巧设问题
案例1：如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”。
（1）“抛物线三角形”一定是_____三角形。
（2）若抛物线y=-x2+bx（b>0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值。
（3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+b`x（b`>0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由。
解答：
（1）等腰。
（2）∵抛物线y=-x2+bx（b>0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
∴该抛物线的顶点（ ， ）满足 = （b>0）。
∴b=2。
（3）存在。
如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形。
当OA=OB时，平行四边形ABCD为矩形。
又∵AO=AB，
∴△OAB为等边三角形。
作AE⊥OB，垂足为E。
∴AE= 3OE。
∴ = 3· （b`>0）。
∴b`=2 3。
∴A（ 3，3），B（2 3，0）。
∴C（- 3，3），D（-2 3，0）。
设过点O、C、D三点的抛物线y=mx2+nx，则
12m-2 3n=0 m=1
3m- 3n=-3 n=2 3
∴所求抛物线的表达式为y=x2+2 3x。
二、并列推进，巧设问题
案例2：如图1，点A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°。点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒。
（1）求点C的坐标。
（2）当∠BCP=15°，求t的值。
（3）以点P为圆心、PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值。
解答：
（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，∴OC=OB=3。
又∵点C在y轴的正半轴上，∴点C的坐标为（0，3）。
（2）当点P在点B右侧时，如图2：
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，
故OP=OCtan30°= 3，此时t=4+ 3。
当点P在点B左侧时，如图3，由∠BCP=15°，
得∠PCO=60°，故PO=OCtan60°=3 3。
此时t=4+3 3。
∴t的值为4+ 3或4+3 3。
（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1。
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4。
③当⊙P与AD相切时，由题意，∠DAO=90°，∴点A为切点（如图4），PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2，于是（9-t）2=（t-4）2+32，解得t=5.6。
三、归纳渐进，巧设问题
案例3：已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动。
（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°。
（2）如图2，当b>2a时，点M在运动的过程中是否存在∠BMC=90°？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。
（3）如图3，当b<2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由。
（1）证明：∵b=2a，点M是AD的中点，∴AB=AM=MD=DC=a；又∵在矩形ABCD中∠A=∠D=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°，∴∠BMC=90°。
（2）解：存在。
理由：若∠BMC=90°，则∠AMB=∠DMC=90°；
又∵∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠DMC；
又∵∠A=∠D=90°，∴△ABM∽△DMC，
∴ = 。
设AM=x，则 = ，整理得：x2-bx+a2=0。
∵b>2a，a>0，b>0；
∴△=b2-4a2>0；
∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；
∴当b>2a时，存在∠BMC=90°。
（3）解：不成立。
理由：若∠BMC=90°，
由（2）可知x2-bx+a2=0，
∵b<2a，a>0，b>0，
∴△=b2-4a2<0，
∴方程没有实数根，
∴当b<2a时，不存在∠BMC=90 °，即（2）中的结论不成立。
四、开放迈进，巧设问题
案例4：在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=-2x+6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是_____（只写出符合条件的一个即可）。
解答：设这个反比例函数的表达式是y= （k≠0）。
y=
y=-2x+6
因为这个反比例函数与一次函数的图象没有交点，所以方程2x2-6x+k=0无解。
所以△=（-6）2-4×2k=36-8k<0，解得k> 。
答案：y= （只要y= 中的k满足k> 即可）。
关键词：数学 复习课 问题 设计
问题是数学教学的灵魂，是激发学生思维的动力，因此，数学课堂教学以“问题教学”为中心。有问题，学生才有思考的方向，才能唤醒学生勇于探究的愿望，才能有效地培养学生的创新意识。在数学复习课中科学、合理、巧妙地设计问题是我们一线老师值得研究的课题，下面笔者结合自己的教学经验谈谈问题的设计方法。
一、层层递进，巧设问题
案例1：如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”。
（1）“抛物线三角形”一定是_____三角形。
（2）若抛物线y=-x2+bx（b>0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值。
（3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+b`x（b`>0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由。
解答：
（1）等腰。
（2）∵抛物线y=-x2+bx（b>0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
∴该抛物线的顶点（ ， ）满足 = （b>0）。
∴b=2。
（3）存在。
如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形。
当OA=OB时，平行四边形ABCD为矩形。
又∵AO=AB，
∴△OAB为等边三角形。
作AE⊥OB，垂足为E。
∴AE= 3OE。
∴ = 3· （b`>0）。
∴b`=2 3。
∴A（ 3，3），B（2 3，0）。
∴C（- 3，3），D（-2 3，0）。
设过点O、C、D三点的抛物线y=mx2+nx，则
12m-2 3n=0 m=1
3m- 3n=-3 n=2 3
∴所求抛物线的表达式为y=x2+2 3x。
二、并列推进，巧设问题
案例2：如图1，点A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°。点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒。
（1）求点C的坐标。
（2）当∠BCP=15°，求t的值。
（3）以点P为圆心、PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值。
解答：
（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，∴OC=OB=3。
又∵点C在y轴的正半轴上，∴点C的坐标为（0，3）。
（2）当点P在点B右侧时，如图2：
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，
故OP=OCtan30°= 3，此时t=4+ 3。
当点P在点B左侧时，如图3，由∠BCP=15°，
得∠PCO=60°，故PO=OCtan60°=3 3。
此时t=4+3 3。
∴t的值为4+ 3或4+3 3。
（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1。
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4。
③当⊙P与AD相切时，由题意，∠DAO=90°，∴点A为切点（如图4），PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2，于是（9-t）2=（t-4）2+32，解得t=5.6。
三、归纳渐进，巧设问题
案例3：已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动。
（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°。
（2）如图2，当b>2a时，点M在运动的过程中是否存在∠BMC=90°？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。
（3）如图3，当b<2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由。
（1）证明：∵b=2a，点M是AD的中点，∴AB=AM=MD=DC=a；又∵在矩形ABCD中∠A=∠D=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°，∴∠BMC=90°。
（2）解：存在。
理由：若∠BMC=90°，则∠AMB=∠DMC=90°；
又∵∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠DMC；
又∵∠A=∠D=90°，∴△ABM∽△DMC，
∴ = 。
设AM=x，则 = ，整理得：x2-bx+a2=0。
∵b>2a，a>0，b>0；
∴△=b2-4a2>0；
∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；
∴当b>2a时，存在∠BMC=90°。
（3）解：不成立。
理由：若∠BMC=90°，
由（2）可知x2-bx+a2=0，
∵b<2a，a>0，b>0，
∴△=b2-4a2<0，
∴方程没有实数根，
∴当b<2a时，不存在∠BMC=90 °，即（2）中的结论不成立。
四、开放迈进，巧设问题
案例4：在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=-2x+6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是_____（只写出符合条件的一个即可）。
解答：设这个反比例函数的表达式是y= （k≠0）。
y=
y=-2x+6
因为这个反比例函数与一次函数的图象没有交点，所以方程2x2-6x+k=0无解。
所以△=（-6）2-4×2k=36-8k<0，解得k> 。
答案：y= （只要y= 中的k满足k> 即可）。