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苏科版《数学》九年级下册第121页第14题:
如图1,平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60 m,在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为30°,测得铁塔顶部的仰角为45°,求铁塔的高度.(精确到1 m)
【分析】若设过点A的水平线与CD交于点E,由建筑物AB与铁塔CD相距60 m,铁塔顶部的仰角为45°,可以构造出等腰直角三角形,即塔比建筑物高60 m,从建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为30°,从而利用正切求出建筑物的高度,进而得到铁塔高度.
解:设过点A的水平线与CD交于点E,
由题意,得∠AEC=∠AED=90°,
∠CAE=45°,∠DAE=30°,AE=BD=60(m),
∴CE=AE=60(m).
在Rt△AED中,
∴AB=DE=AE·tan30°
=60×=20(m).
∴CD=CE AB=60 20≈95(m).
答:铁塔CD的高度为95 m.
【评析】这是一道典型的锐角三角函数应用题,它的原题或模型出现在各个版本的教科书和资料中,不仅如此,它的原题或模型还频频出现在中考试卷中.为方便同学们的学习,现归纳几例,供参考.
一、 简单改变有关数据
例1 (2015·安徽)如图2,平台AB高为12米,在B处测得楼房CD的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度.(≈1.7)
【分析】过点B作BE⊥CD于点E,构造直角三角形,先求CE,DE,再求CD及近似值.
解:过点B作BE⊥CD于点E,
在Rt△EBC中,
∵tan30°=,CE=AB=12,
∴BE==12,
在Rt△BDE中,
∵tan45°=,
∴DE=BE=12,
∴CD=CE DE=12 12≈32.4(米).
答:楼房CD的高度约为32.4米.
【点评】此类问题容易出错的地方是:一是不能把实际问题转化为几何问题;二是特殊角三角函数值记忆错误.如果能联想到课本习题,我们将十分容易地找到解决问题的切入点.
二、 求两幢建筑物之间的距离
例2 (2015·昆明)如图3,两幢建筑物AB和CD,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=15 m,CD=20 m,AB和CD之间有一景观池,小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°,在C点测得E点的俯角为45°(点B、E、D在同一直线上),求两幢建筑物之间的距离BD.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)
【分析】分别在Rt△ABE和Rt△DEC中,利用∠AEB和∠DEC的正切求得BE和DE的长,再相加即可.
解:由题意,得∠AEB=42°,∠DEC=45°.
∵AB⊥BD,CD⊥BD,
∴在Rt△ABE中,∠ABE=90°.
∵tan∠AEB=,AB=15,∠AEB=42°,
∴BE=≈=.
在Rt△DEC中,∠CDE=90°,
∠DEC=∠DCE=45°,CD=20,
∴ED=CD=20,
∴BD=BE ED= 20≈36.7(m).
答:两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m.
【点评】由课本习题的求解策略,将实际问题转化成解直角三角形问题,理解仰角、俯角的定义,是解答此类题目的前提.另外,熟记特殊角的三角函数值,学会利用适当的三角函数关系式求解,是解答此类题目的必要条件.
三、 从其中的一幢建筑物中间观测另一幢建筑物
例3 (2015·临沂)小强从自己家的阳台上,看一栋楼顶的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,小强家与这栋楼的水平距离为42 m,这栋楼有多高.
【分析】如图4,在Rt△ABD和Rt△ACD中,AD、∠α和∠β已知,分别解直角三角形,求出BD、CD,它们的和就是楼高.
解:过点A作AD⊥BC,垂足为D,
∴△ABD和△ACD都是直角三角形.
在Rt△ABD中,
∵tanα=,∠α=30°,AD=42(m),
∴BD=42×=14(m).
在Rt△ACD中,
∵∠β=60°,tanβ=,
∴CD=42×tan60°=42(m).
即BC=BD CD
=14 42=56(m).
答:楼高为56 m.
【点评】在直角三角形中,知道了一个锐角和至少一条边,就可以利用锐角三角函数和勾股定理,将其余的角和边求出来,这就是解直角三角形的一般思路.
四、 一建筑物改换成悬在半空的气球
例4 (2015·呼和浩特)如图5,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°,看这栋高楼底部C的俯角为65°,热气球与高楼的水平距离AD为120 m,求这栋高楼的高度.(结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可)
【分析】根据题意,得AD⊥BC,分别在Rt△ABD、Rt△ACD中结合已知条件利用正切函数的定义求出BD、CD的长,然后相加即得这栋高楼的高度.
如图1,平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60 m,在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为30°,测得铁塔顶部的仰角为45°,求铁塔的高度.(精确到1 m)
【分析】若设过点A的水平线与CD交于点E,由建筑物AB与铁塔CD相距60 m,铁塔顶部的仰角为45°,可以构造出等腰直角三角形,即塔比建筑物高60 m,从建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为30°,从而利用正切求出建筑物的高度,进而得到铁塔高度.
解:设过点A的水平线与CD交于点E,
![](http://img1.qikan.com/qkimages/czs3/czs3201602/czs320160210-1-l.jpg)
由题意,得∠AEC=∠AED=90°,
∠CAE=45°,∠DAE=30°,AE=BD=60(m),
∴CE=AE=60(m).
在Rt△AED中,
∴AB=DE=AE·tan30°
=60×=20(m).
∴CD=CE AB=60 20≈95(m).
答:铁塔CD的高度为95 m.
【评析】这是一道典型的锐角三角函数应用题,它的原题或模型出现在各个版本的教科书和资料中,不仅如此,它的原题或模型还频频出现在中考试卷中.为方便同学们的学习,现归纳几例,供参考.
一、 简单改变有关数据
例1 (2015·安徽)如图2,平台AB高为12米,在B处测得楼房CD的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度.(≈1.7)
![](http://img1.qikan.com/qkimages/czs3/czs3201602/czs320160210-2-l.jpg)
【分析】过点B作BE⊥CD于点E,构造直角三角形,先求CE,DE,再求CD及近似值.
解:过点B作BE⊥CD于点E,
在Rt△EBC中,
∵tan30°=,CE=AB=12,
∴BE==12,
在Rt△BDE中,
∵tan45°=,
∴DE=BE=12,
∴CD=CE DE=12 12≈32.4(米).
答:楼房CD的高度约为32.4米.
【点评】此类问题容易出错的地方是:一是不能把实际问题转化为几何问题;二是特殊角三角函数值记忆错误.如果能联想到课本习题,我们将十分容易地找到解决问题的切入点.
二、 求两幢建筑物之间的距离
例2 (2015·昆明)如图3,两幢建筑物AB和CD,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=15 m,CD=20 m,AB和CD之间有一景观池,小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°,在C点测得E点的俯角为45°(点B、E、D在同一直线上),求两幢建筑物之间的距离BD.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)
【分析】分别在Rt△ABE和Rt△DEC中,利用∠AEB和∠DEC的正切求得BE和DE的长,再相加即可.
解:由题意,得∠AEB=42°,∠DEC=45°.
∵AB⊥BD,CD⊥BD,
∴在Rt△ABE中,∠ABE=90°.
∵tan∠AEB=,AB=15,∠AEB=42°,
∴BE=≈=.
在Rt△DEC中,∠CDE=90°,
∠DEC=∠DCE=45°,CD=20,
∴ED=CD=20,
∴BD=BE ED= 20≈36.7(m).
答:两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m.
【点评】由课本习题的求解策略,将实际问题转化成解直角三角形问题,理解仰角、俯角的定义,是解答此类题目的前提.另外,熟记特殊角的三角函数值,学会利用适当的三角函数关系式求解,是解答此类题目的必要条件.
三、 从其中的一幢建筑物中间观测另一幢建筑物
例3 (2015·临沂)小强从自己家的阳台上,看一栋楼顶的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,小强家与这栋楼的水平距离为42 m,这栋楼有多高.
【分析】如图4,在Rt△ABD和Rt△ACD中,AD、∠α和∠β已知,分别解直角三角形,求出BD、CD,它们的和就是楼高.
解:过点A作AD⊥BC,垂足为D,
∴△ABD和△ACD都是直角三角形.
在Rt△ABD中,
∵tanα=,∠α=30°,AD=42(m),
∴BD=42×=14(m).
在Rt△ACD中,
∵∠β=60°,tanβ=,
∴CD=42×tan60°=42(m).
即BC=BD CD
=14 42=56(m).
答:楼高为56 m.
【点评】在直角三角形中,知道了一个锐角和至少一条边,就可以利用锐角三角函数和勾股定理,将其余的角和边求出来,这就是解直角三角形的一般思路.
四、 一建筑物改换成悬在半空的气球
例4 (2015·呼和浩特)如图5,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°,看这栋高楼底部C的俯角为65°,热气球与高楼的水平距离AD为120 m,求这栋高楼的高度.(结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可)
【分析】根据题意,得AD⊥BC,分别在Rt△ABD、Rt△ACD中结合已知条件利用正切函数的定义求出BD、CD的长,然后相加即得这栋高楼的高度.