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苏科版《数学》九年级下册第121页第14题：
如图1，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60 m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为30°，测得铁塔顶部的仰角为45°，求铁塔的高度.（精确到1 m）
【分析】若设过点A的水平线与CD交于点E，由建筑物AB与铁塔CD相距60 m，铁塔顶部的仰角为45°，可以构造出等腰直角三角形，即塔比建筑物高60 m，从建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为30°，从而利用正切求出建筑物的高度，进而得到铁塔高度.
解：设过点A的水平线与CD交于点E，
由题意，得∠AEC=∠AED=90°，
∠CAE=45°，∠DAE=30°，AE=BD=60（m），
∴CE=AE=60（m）.
在Rt△AED中，
∴AB=DE=AE·tan30°
=60×=20（m）.
∴CD=CE AB=60 20≈95（m）.
答：铁塔CD的高度为95 m.
【评析】这是一道典型的锐角三角函数应用题，它的原题或模型出现在各个版本的教科书和资料中，不仅如此，它的原题或模型还频频出现在中考试卷中.为方便同学们的学习，现归纳几例，供参考.
一、 简单改变有关数据
例1 （2015·安徽）如图2，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度.（≈1.7）
【分析】过点B作BE⊥CD于点E，构造直角三角形，先求CE，DE，再求CD及近似值.
解：过点B作BE⊥CD于点E，
在Rt△EBC中，
∵tan30°=，CE=AB=12，
∴BE==12，
在Rt△BDE中，
∵tan45°=，
∴DE=BE=12，
∴CD=CE DE=12 12≈32.4（米）.
答：楼房CD的高度约为32.4米.
【点评】此类问题容易出错的地方是：一是不能把实际问题转化为几何问题；二是特殊角三角函数值记忆错误.如果能联想到课本习题，我们将十分容易地找到解决问题的切入点.
二、 求两幢建筑物之间的距离
例2 （2015·昆明）如图3，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=15 m，CD=20 m，AB和CD之间有一景观池，小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°（点B、E、D在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD.（结果精确到0.1 m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
【分析】分别在Rt△ABE和Rt△DEC中，利用∠AEB和∠DEC的正切求得BE和DE的长，再相加即可.
解：由题意，得∠AEB=42°，∠DEC=45°.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴在Rt△ABE中，∠ABE=90°.
∵tan∠AEB=，AB=15，∠AEB=42°，
∴BE=≈=.
在Rt△DEC中，∠CDE=90°，
∠DEC=∠DCE=45°，CD=20，
∴ED=CD=20，
∴BD=BE ED= 20≈36.7（m）.
答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m.
【点评】由课本习题的求解策略，将实际问题转化成解直角三角形问题，理解仰角、俯角的定义，是解答此类题目的前提.另外，熟记特殊角的三角函数值，学会利用适当的三角函数关系式求解，是解答此类题目的必要条件.
三、 从其中的一幢建筑物中间观测另一幢建筑物
例3 （2015·临沂）小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42 m，这栋楼有多高.
【分析】如图4，在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD、∠α和∠β已知，分别解直角三角形，求出BD、CD，它们的和就是楼高.
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∴△ABD和△ACD都是直角三角形.
在Rt△ABD中，
∵tanα=，∠α=30°，AD=42（m），
∴BD=42×=14（m）.
在Rt△ACD中，
∵∠β=60°，tanβ=，
∴CD=42×tan60°=42（m）.
即BC=BD CD
=14 42=56（m）.
答：楼高为56 m.
【点评】在直角三角形中，知道了一个锐角和至少一条边，就可以利用锐角三角函数和勾股定理，将其余的角和边求出来，这就是解直角三角形的一般思路.
四、 一建筑物改换成悬在半空的气球
例4 （2015·呼和浩特）如图5，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为65°，热气球与高楼的水平距离AD为120 m，求这栋高楼的高度.（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
【分析】根据题意，得AD⊥BC，分别在Rt△ABD、Rt△ACD中结合已知条件利用正切函数的定义求出BD、CD的长，然后相加即得这栋高楼的高度.
如图1，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60 m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为30°，测得铁塔顶部的仰角为45°，求铁塔的高度.（精确到1 m）
【分析】若设过点A的水平线与CD交于点E，由建筑物AB与铁塔CD相距60 m，铁塔顶部的仰角为45°，可以构造出等腰直角三角形，即塔比建筑物高60 m，从建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为30°，从而利用正切求出建筑物的高度，进而得到铁塔高度.
解：设过点A的水平线与CD交于点E，
由题意，得∠AEC=∠AED=90°，
∠CAE=45°，∠DAE=30°，AE=BD=60（m），
∴CE=AE=60（m）.
在Rt△AED中，
∴AB=DE=AE·tan30°
=60×=20（m）.
∴CD=CE AB=60 20≈95（m）.
答：铁塔CD的高度为95 m.
【评析】这是一道典型的锐角三角函数应用题，它的原题或模型出现在各个版本的教科书和资料中，不仅如此，它的原题或模型还频频出现在中考试卷中.为方便同学们的学习，现归纳几例，供参考.
一、 简单改变有关数据
例1 （2015·安徽）如图2，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度.（≈1.7）
【分析】过点B作BE⊥CD于点E，构造直角三角形，先求CE，DE，再求CD及近似值.
解：过点B作BE⊥CD于点E，
在Rt△EBC中，
∵tan30°=，CE=AB=12，
∴BE==12，
在Rt△BDE中，
∵tan45°=，
∴DE=BE=12，
∴CD=CE DE=12 12≈32.4（米）.
答：楼房CD的高度约为32.4米.
【点评】此类问题容易出错的地方是：一是不能把实际问题转化为几何问题；二是特殊角三角函数值记忆错误.如果能联想到课本习题，我们将十分容易地找到解决问题的切入点.
二、 求两幢建筑物之间的距离
例2 （2015·昆明）如图3，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=15 m，CD=20 m，AB和CD之间有一景观池，小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°（点B、E、D在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD.（结果精确到0.1 m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
【分析】分别在Rt△ABE和Rt△DEC中，利用∠AEB和∠DEC的正切求得BE和DE的长，再相加即可.
解：由题意，得∠AEB=42°，∠DEC=45°.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴在Rt△ABE中，∠ABE=90°.
∵tan∠AEB=，AB=15，∠AEB=42°，
∴BE=≈=.
在Rt△DEC中，∠CDE=90°，
∠DEC=∠DCE=45°，CD=20，
∴ED=CD=20，
∴BD=BE ED= 20≈36.7（m）.
答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m.
【点评】由课本习题的求解策略，将实际问题转化成解直角三角形问题，理解仰角、俯角的定义，是解答此类题目的前提.另外，熟记特殊角的三角函数值，学会利用适当的三角函数关系式求解，是解答此类题目的必要条件.
三、 从其中的一幢建筑物中间观测另一幢建筑物
例3 （2015·临沂）小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42 m，这栋楼有多高.
【分析】如图4，在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD、∠α和∠β已知，分别解直角三角形，求出BD、CD，它们的和就是楼高.
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∴△ABD和△ACD都是直角三角形.
在Rt△ABD中，
∵tanα=，∠α=30°，AD=42（m），
∴BD=42×=14（m）.
在Rt△ACD中，
∵∠β=60°，tanβ=，
∴CD=42×tan60°=42（m）.
即BC=BD CD
=14 42=56（m）.
答：楼高为56 m.
【点评】在直角三角形中，知道了一个锐角和至少一条边，就可以利用锐角三角函数和勾股定理，将其余的角和边求出来，这就是解直角三角形的一般思路.
四、 一建筑物改换成悬在半空的气球
例4 （2015·呼和浩特）如图5，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为65°，热气球与高楼的水平距离AD为120 m，求这栋高楼的高度.（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
【分析】根据题意，得AD⊥BC，分别在Rt△ABD、Rt△ACD中结合已知条件利用正切函数的定义求出BD、CD的长，然后相加即得这栋高楼的高度.