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摘 要：新课程教学需要加强课堂教学效率，这是教学第一位的变革，因此以根本为本的教学方式成为课堂教学的典型. 本文以一堂向量复习教学的根本为研究对象，从根本教学的实践和思考中获得收获.
关键词：高中数学；教学；自主学习
前年罗增儒教授在“中国数理化基础教育白皮书”发布会上作了一个“中国高考之我见”的发言，其间，提到一点看法是“高考改革，应该消灭‘一年复习’”. 作为一线教师，笔者虽不承认高三这一年是无效劳动，但也不得不承认，有些时候自己确实让学生做了很多不需要做的题，上了很多低产出的课. 罗教授提出了根本教学才是最核心和最简洁的教学方式，“根本教学法”的探索意在令教师树立“题根 生本”的课程意识，贯彻“授之以渔”的宗旨，提高课堂的教学质量，提升学生的学习能力，达到高质高效的目的，减轻学生负担. 笔者抱着学习先行者与反思自身的态度听取了相关的实践展示课，深有所感，提笔成文，难免寡陋，敬请谅解.
依照根本教学法“题根 生本”的核心理念，以及展示课的观感，笔者认为它的课堂教学是以教师整理的题根学案为依托、以学生思考为主体展开教学活动的教师引领下的学生探索与研学. 这样的形式，对教师这个角色是一种挑战，如果教师执著于带领学生的思考进入自己的设计而不关注学生思维发展的线索，将无异于满堂灌，又回到传统教学的老路上. 笔者认为教师在进行课堂教学进程设计时应注意以下两点：
1. “寻根问蒂”需自然生发、顺势而为
对 “题根”的追问，事实上就是对某类共性问题解题策略的探求，目的是为了提升学生的学习能力，促进思维的发展，但如果这样的追问不是自然生发的，那么学生也只能是囫囵吞枣，尝不出其中滋味.
以两节“向量恒等式”的学案课为例，课例1从上课伊始就“回归课本”，要学生证明已知向量a，b为非零向量时有a⊥b?
a b
=
a-b
，感觉有些突兀，为什么要证明此结论？目的是什么？让学生有些摸不着头脑. “回归”应当是从外显的问题回归到问题的本质，这一点从课例2中得到了体现：首先提出一个启动问题“在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则·=__________.”
然后学生思考后提出两种解法，一是根据问题结论的普适性，通过特例“正三角形”得出答案；二是利用平面向量基本定理将未知向量用已知向量进行分解的一般化处理方法.
教师在对这两种方法做出评价，肯定了学生的思考后，提问有没有更好的方法. 在学生思考不得其所时，给出“平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和”的证明过程，启发学生通过自主阅读，从该命题证明
a b
2
a-b
2的过程中来寻找启动问题的原型a·b的处理方式，由学生来推导得到a·b=[（a b）2-（a-b）2]，最终将其应用于启动问题，起到了最大限度简化的作用，使学生初步认识到了该恒等式的价值所在. 这个过程是指向问题解决的需要而引发的，是相对自然的.
这样的教学设计本身也是一种示范，示范如何思考、如何优化解题、如何从根本上提升思维能力，示范反思的重要性，久而久之，便能促使学生自然养成反思的习惯.
著名数学家华罗庚说过“善于‘退’，足够地‘退’，退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍”. 那么，笔者想说：“退要有方向地退，不能漫无目的，退在碰壁处，需迂回前进，退时有条不紊，自然胸有成竹.”
2. “枝舒叶展”需扎实根基、灌溉到位
高三复习课不应该是习题的简单堆砌，也不应该为了讲一个题组而将相近的题生拉硬拽成一个题组. 习题的讲评或练习应当为基本概念和基本规律的体现而服务，通过这组题，复习了哪些基础知识，利用了哪些基本规律，体现了哪些数学思想，应用了哪些数学方法，解题原型是什么，题根落在何处？只有这样，才能使课堂效果更好、效率更高、效益更大.
仍以两节“向量恒等式”的学案课为例，在 “寻根”结束后，应当首先夯实根基，再由题根展开应用. 由于“恒等式”应用的向量问题多以三角形为背景，而结论本身来源于平行四边形，因此需要在具体问题中将其进行等价变形.
课例1在无任何应用背景之下，直接让学生思考a·b=[（a b）2-（a-b）2]的几何意义，明显感觉到学生有些不知所措，“它本来就是平行四边形里推出的结论，怎么还有别的几何意义？”造成之后的“根”繁叶茂环节有生搬硬套之嫌.
课例2在此处未做停留，立即将问题带入下一题：P是棱长为2的正方体上一动点，AB是正方体内切球的任意一条直径，则·的取值范围是________. 其背景是立体几何，一下子拔高了难度，且教师画完图立即提问学生，学生基本没有思考的时间，当然无法做出反馈.
其实，课例2的启动问题背景就是三角形，教师可以在此稍做停顿，让学生利用题设条件“M是BC的中点”首先对“恒等式”进行简化，得到三角形中的等价形式：
·=[（ ）2-（-）2]=
-
=2-2（M为BC中点），并比较之前学生利用平面向量基本定理将未知向量用已知向量进行分解的解法二：
·=（ ）·（ ）=（ ）·（-）=2-2.
那么，学生对于这两种解法的本质联系就一目了然了.
接着给出一个相对简单、相近的例题，比如：在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D、E是线段BC上两点，且DE=BC，则·的取值范围是_______. 在学生思维的最近发展区进行巩固，即学即用，使学生进一步看到“恒等式”的应用价值，从而引出学生继续深入学习的热情.
然后给出两个变式：
变式1：在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值是________. 变式2：已知a·b=0，向量c满足（c-a）·（c-b）=0，
a-b
=5，
a-c
=3，则a·c的最大值为________.
难度逐次递进，但与启动问题同根同源. 通过习题的巧妙编排，使学生不断地思考，在思考中巩固、深化、提高. 其次，个人认为“根本教学法”必需的一个步骤是学生的自我总结，应当穿插在各个环节之后，每上一个台阶，就需要摁下暂停键，让学生有时间反思整理.
我们知道只有将碎片化的解题经验进行组织加工，使之处于有序状态，建立有序合理的结构，找到条件与结论的纽带，才能在解题中从整体上去把握，促进解题策略的形成和知识成分的系统化.
这点，课例2做了，但比较滞后，是在做完立体几何与解析几何中的拓展问题后才留时间给学生小结的，学生归纳了几点“恒等式”使用的适用条件：共起点的向量求数量积的值或范围，在已知三角形中有一边确定或其范围一定. 总结得很不错，但完全可以在变式训练结束，“开枝散叶”环节之前就进行，因为人脑对事物规律的概括总是逐步完成的. 及时的总结后，学生可以在后续问题中对此进一步巩固，达到当堂理解的效率最大化.
[?] 根本教学设计的建议
有句广告词叫“有舍才有得”.高三的解题教学，不是教师展示解题能力的舞台，应当是学生迸发思考的天地，没有学生呼应，再好的方法也只能是欣赏，有了学生的参与，课堂才能成为一股活泉.在“题根 生本”的核心理念下，教师首先要依照对题根的追问——理解——应用——拓展设计好每个课时的主线，明确教学的目标，适度地引导学生围绕这个主旨来展开交流，不要指望一节课能面面俱到. 其次，要确保课堂活动的主体是学生，听从学生思考的节奏来把握教学的进程，不能将教师的设计强加在学生思考之上. 唯有如此，学生才能在课后的自省中悟到教师教学设计的用心所在，而感到数学学习是有回味的.
近几年的数学高考，以能力立意命题，都强调宽角度、多视点地考查数学素质，考查数学思维能力的发展. 如何引导学生在高三数学复习的过程中抓住根本，合理利用时间，提高学习效率，除了我们平时一直谈论的不可忽视课本，不可忽视“双基”，不可忽视数学思想方法的渗透总结，不可忽视《考试大纲》，不可忽视对学生养成规范、准确、快速的解题习惯等等，更应充分利用习题这一载体，培养学生的思维能力进而提高他们分析、解决问题的能力. “根本教学法”的探索正是为了适应这样的教学发展需求应运而生的. 然而“题根 生本”核心理念对教师和学生在教学观念和数学素养上都提出了一个挑战：如何让教师放得下，让学生放得开.
首先，根本教学法希望打造的是“先学后教，以学定教，少教多学，师生互动”的课堂， 让学生从被动的听众变成课堂活动的主角，做到“题根分析学生讲、题根生长学生提、树状网络学生织、问题探讨师生议”，那么教师首先要转变观念，走下神坛，倾听学生，调整好角色，做好领路人，课例2中，教师的亲和力使教师在与学生的交流互动中建立了信任，呈现了一个活泼的生本课堂. 其次，在题根学案的教学设计上要明确：学案的作用是提纲挈领，指明教学线索，推进学生的思考，体现思维发展的过程性，这点，课例3“离心率”做得很好，重梯度、重关联、重过程，因此教学预期基本在课堂上都圆满完成了. 再次，教师更需提升自身的数学素养，积累教学智慧，善于捕捉不时出现的“阴错阳差、节外生枝、灵光一闪”的“意外风景”. 这些动态生成的资源虽不在我们预设的视线之内，却是学生智慧的火花，是一笔宝贵的财富，需要我们用自己的一双慧眼去给予更多关注，学生得到了更多的理解，才更愿意跟随教师，更愿意亲近数学.
关键词：高中数学；教学；自主学习
前年罗增儒教授在“中国数理化基础教育白皮书”发布会上作了一个“中国高考之我见”的发言，其间，提到一点看法是“高考改革，应该消灭‘一年复习’”. 作为一线教师，笔者虽不承认高三这一年是无效劳动，但也不得不承认，有些时候自己确实让学生做了很多不需要做的题，上了很多低产出的课. 罗教授提出了根本教学才是最核心和最简洁的教学方式，“根本教学法”的探索意在令教师树立“题根 生本”的课程意识，贯彻“授之以渔”的宗旨，提高课堂的教学质量，提升学生的学习能力，达到高质高效的目的，减轻学生负担. 笔者抱着学习先行者与反思自身的态度听取了相关的实践展示课，深有所感，提笔成文，难免寡陋，敬请谅解.
依照根本教学法“题根 生本”的核心理念，以及展示课的观感，笔者认为它的课堂教学是以教师整理的题根学案为依托、以学生思考为主体展开教学活动的教师引领下的学生探索与研学. 这样的形式，对教师这个角色是一种挑战，如果教师执著于带领学生的思考进入自己的设计而不关注学生思维发展的线索，将无异于满堂灌，又回到传统教学的老路上. 笔者认为教师在进行课堂教学进程设计时应注意以下两点：
1. “寻根问蒂”需自然生发、顺势而为
对 “题根”的追问，事实上就是对某类共性问题解题策略的探求，目的是为了提升学生的学习能力，促进思维的发展，但如果这样的追问不是自然生发的，那么学生也只能是囫囵吞枣，尝不出其中滋味.
以两节“向量恒等式”的学案课为例，课例1从上课伊始就“回归课本”，要学生证明已知向量a，b为非零向量时有a⊥b?
a b
=
a-b
，感觉有些突兀，为什么要证明此结论？目的是什么？让学生有些摸不着头脑. “回归”应当是从外显的问题回归到问题的本质，这一点从课例2中得到了体现：首先提出一个启动问题“在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则·=__________.”
然后学生思考后提出两种解法，一是根据问题结论的普适性，通过特例“正三角形”得出答案；二是利用平面向量基本定理将未知向量用已知向量进行分解的一般化处理方法.
教师在对这两种方法做出评价，肯定了学生的思考后，提问有没有更好的方法. 在学生思考不得其所时，给出“平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和”的证明过程，启发学生通过自主阅读，从该命题证明
a b
2
a-b
2的过程中来寻找启动问题的原型a·b的处理方式，由学生来推导得到a·b=[（a b）2-（a-b）2]，最终将其应用于启动问题，起到了最大限度简化的作用，使学生初步认识到了该恒等式的价值所在. 这个过程是指向问题解决的需要而引发的，是相对自然的.
这样的教学设计本身也是一种示范，示范如何思考、如何优化解题、如何从根本上提升思维能力，示范反思的重要性，久而久之，便能促使学生自然养成反思的习惯.
著名数学家华罗庚说过“善于‘退’，足够地‘退’，退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍”. 那么，笔者想说：“退要有方向地退，不能漫无目的，退在碰壁处，需迂回前进，退时有条不紊，自然胸有成竹.”
2. “枝舒叶展”需扎实根基、灌溉到位
高三复习课不应该是习题的简单堆砌，也不应该为了讲一个题组而将相近的题生拉硬拽成一个题组. 习题的讲评或练习应当为基本概念和基本规律的体现而服务，通过这组题，复习了哪些基础知识，利用了哪些基本规律，体现了哪些数学思想，应用了哪些数学方法，解题原型是什么，题根落在何处？只有这样，才能使课堂效果更好、效率更高、效益更大.
仍以两节“向量恒等式”的学案课为例，在 “寻根”结束后，应当首先夯实根基，再由题根展开应用. 由于“恒等式”应用的向量问题多以三角形为背景，而结论本身来源于平行四边形，因此需要在具体问题中将其进行等价变形.
课例1在无任何应用背景之下，直接让学生思考a·b=[（a b）2-（a-b）2]的几何意义，明显感觉到学生有些不知所措，“它本来就是平行四边形里推出的结论，怎么还有别的几何意义？”造成之后的“根”繁叶茂环节有生搬硬套之嫌.
课例2在此处未做停留，立即将问题带入下一题：P是棱长为2的正方体上一动点，AB是正方体内切球的任意一条直径，则·的取值范围是________. 其背景是立体几何，一下子拔高了难度，且教师画完图立即提问学生，学生基本没有思考的时间，当然无法做出反馈.
其实，课例2的启动问题背景就是三角形，教师可以在此稍做停顿，让学生利用题设条件“M是BC的中点”首先对“恒等式”进行简化，得到三角形中的等价形式：
·=[（ ）2-（-）2]=
-
=2-2（M为BC中点），并比较之前学生利用平面向量基本定理将未知向量用已知向量进行分解的解法二：
·=（ ）·（ ）=（ ）·（-）=2-2.
那么，学生对于这两种解法的本质联系就一目了然了.
接着给出一个相对简单、相近的例题，比如：在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D、E是线段BC上两点，且DE=BC，则·的取值范围是_______. 在学生思维的最近发展区进行巩固，即学即用，使学生进一步看到“恒等式”的应用价值，从而引出学生继续深入学习的热情.
然后给出两个变式：
变式1：在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值是________. 变式2：已知a·b=0，向量c满足（c-a）·（c-b）=0，
a-b
=5，
a-c
=3，则a·c的最大值为________.
难度逐次递进，但与启动问题同根同源. 通过习题的巧妙编排，使学生不断地思考，在思考中巩固、深化、提高. 其次，个人认为“根本教学法”必需的一个步骤是学生的自我总结，应当穿插在各个环节之后，每上一个台阶，就需要摁下暂停键，让学生有时间反思整理.
我们知道只有将碎片化的解题经验进行组织加工，使之处于有序状态，建立有序合理的结构，找到条件与结论的纽带，才能在解题中从整体上去把握，促进解题策略的形成和知识成分的系统化.
这点，课例2做了，但比较滞后，是在做完立体几何与解析几何中的拓展问题后才留时间给学生小结的，学生归纳了几点“恒等式”使用的适用条件：共起点的向量求数量积的值或范围，在已知三角形中有一边确定或其范围一定. 总结得很不错，但完全可以在变式训练结束，“开枝散叶”环节之前就进行，因为人脑对事物规律的概括总是逐步完成的. 及时的总结后，学生可以在后续问题中对此进一步巩固，达到当堂理解的效率最大化.
[?] 根本教学设计的建议
有句广告词叫“有舍才有得”.高三的解题教学，不是教师展示解题能力的舞台，应当是学生迸发思考的天地，没有学生呼应，再好的方法也只能是欣赏，有了学生的参与，课堂才能成为一股活泉.在“题根 生本”的核心理念下，教师首先要依照对题根的追问——理解——应用——拓展设计好每个课时的主线，明确教学的目标，适度地引导学生围绕这个主旨来展开交流，不要指望一节课能面面俱到. 其次，要确保课堂活动的主体是学生，听从学生思考的节奏来把握教学的进程，不能将教师的设计强加在学生思考之上. 唯有如此，学生才能在课后的自省中悟到教师教学设计的用心所在，而感到数学学习是有回味的.
近几年的数学高考，以能力立意命题，都强调宽角度、多视点地考查数学素质，考查数学思维能力的发展. 如何引导学生在高三数学复习的过程中抓住根本，合理利用时间，提高学习效率，除了我们平时一直谈论的不可忽视课本，不可忽视“双基”，不可忽视数学思想方法的渗透总结，不可忽视《考试大纲》，不可忽视对学生养成规范、准确、快速的解题习惯等等，更应充分利用习题这一载体，培养学生的思维能力进而提高他们分析、解决问题的能力. “根本教学法”的探索正是为了适应这样的教学发展需求应运而生的. 然而“题根 生本”核心理念对教师和学生在教学观念和数学素养上都提出了一个挑战：如何让教师放得下，让学生放得开.
首先，根本教学法希望打造的是“先学后教，以学定教，少教多学，师生互动”的课堂， 让学生从被动的听众变成课堂活动的主角，做到“题根分析学生讲、题根生长学生提、树状网络学生织、问题探讨师生议”，那么教师首先要转变观念，走下神坛，倾听学生，调整好角色，做好领路人，课例2中，教师的亲和力使教师在与学生的交流互动中建立了信任，呈现了一个活泼的生本课堂. 其次，在题根学案的教学设计上要明确：学案的作用是提纲挈领，指明教学线索，推进学生的思考，体现思维发展的过程性，这点，课例3“离心率”做得很好，重梯度、重关联、重过程，因此教学预期基本在课堂上都圆满完成了. 再次，教师更需提升自身的数学素养，积累教学智慧，善于捕捉不时出现的“阴错阳差、节外生枝、灵光一闪”的“意外风景”. 这些动态生成的资源虽不在我们预设的视线之内，却是学生智慧的火花，是一笔宝贵的财富，需要我们用自己的一双慧眼去给予更多关注，学生得到了更多的理解，才更愿意跟随教师，更愿意亲近数学.