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2008年的高考是广东实施高中数学新课程改革以来的第二年高考．笔者有幸负责广东卷理科21题的阅卷工作．下面就答卷中反映出的一些问题进行分析．
一、题目（压轴题）
设p，q为实数，，是方程x2-px+q=0的两个实根． 数列｛xn｝满足x1=p，x2=p2-q，xn=qxn-1-qxn-２（n=3，4…）.（1）证明：＋＝p，＝q；（2）求数列｛xn｝的通项公式；（3）若p＝１，q＝，求｛xn｝的前n项和Sn．
二、解法介绍
第（1）问是送分题，最好的方法是运用求根公式进行证明．第（3）问要用第（2）问的通项公式与错位相减法或求导法进行求和．事实上，第（3）问比第（2）问简单，考生可以绕过第（2）问直接求解，但较少考生能这样做，因为大家总是习惯性认为第（3）问比第（1）问难．
第（2）问的解法，笔者列出了八种形式，学生的解法完全在这八种解法之内．尽管解法多，但实际上可以分成三类．
第一类：两次递推法
解法1：由（1）知xn=pxn-1-qxn-２=（＋）xn-1-xn-２（n=3，4，…）.
∴xn-xn-1=（xn-1－xn-２）=…=
n-２（x2-x1）=n（n=3，4，…）．
故当n≥3时，xn=xn-1+n=（xn-２＋n－１）＋n＝２xn-２＋n-1＋n
…＝n-２x2＋n-３３＋n-４4＋…＋n-1＋n
＝n＋n-１１＋n-２２＋…＋n-1＋n.
∵x1=+，x2=2++２，
∴当n≥1时，xn=n＋n-１１＋n-２２＋…＋n-1＋n.
故当≠时，xn=；当=时，xn=（n+1）n．
解法2：当≠时，xn可由xn-xn-1=n与xn-xn-1=n解出；当=时，显然xn=（n+1）n．
解法3：当=时，显然xn=（n+1）n．当≠时，设xn+•n＝（xn－１+•n－１），其中为待定的常数．整理得xn－xn-1＝（－）•n－１．与解法2中的第二个递推式比较，可确定出，然后递推出xn．
解法4：同样得xn-xn-1=n．当=0时，xn=n；当≠时，-=（）n．然后就≠与＝两种情况分别递推出相应的结果．
第二类：猜想归纳法
解法5：由（1）得x１＝p= +，x２＝p２－q= （+）２ －＝２＋＋２，
x３＝px２－qx１= ３＋２＋２＋３．
猜想：xn＝n＋n－１１＋n－２２＋…+n－１＋n.……（*）
证明：１°当n=1,2时，前面已经证明(*)式成立．
2°假设n=k-1，k（或n≤k）时(*)式成立，则当n=k+1时
xk+1＝pxk－qxk-１= （+）xk-xk-１
=（+）（k＋k－１＋k－2２+…+k－１+k）
-（k－１＋k－ 2 ＋k－3２+…+k－2+k-1）
=k+１＋k ＋k－1２+…+k+k+1.
∴n=k＋1时，（*）式也成立．
综合１°和２°知，对一切自然数n，（*）式均成立．故当≠ 时，xn=；当=时，xn=（n+1）n．
解法6：是解法5的变形，即对=与≠ 两种情况，分别猜想，分别证明．
第三类：特征方程法
解法7：由已知，该数列是二阶齐次线性递归数列，，也是其特征方程2-p+q=0的两个实根．则根据二阶齐次线性递归数列的通项公式，有：
若≠ ，则xn=An-1+B n-1 ．由A+B=x=+，A+B=x=+ + 解得A=, B=.所以xn=An-1+B n-1=．
若=，则xn=（A+nB)n．由（A+1×B)=x=２，（A+2B）2=x=3 解得A=1，B=1．
所以，xn=（A+nB)n=(n+1)n.
解法8：本质上与解法7一样，此略．
三、学生解法之透视
全省284503名理科考生，本题得分在9分以上的人数如表1所示．
表1
1．“穿新鞋，走老路”者吃了亏
第（1）问实际上是要证明韦达定理，尽管新课程没有介绍韦达定理，但由于许多学校不是在初中补，就是在高中补，所以考生非常熟悉此定理．笔者统计了得9分和10分的考生，其中分别有27人和34人证明的理由是“由韦达定理得”． 也就是说，这258名优秀考生中有23．6%的考生因此而丢掉了2分． 这也表明这部分“优秀”学生理解问题的能力有待提高．
关于韦达定理，许多教师，尤其是高三的“把关”教师，之所以对其念念不忘，主要是因为其在解决直线与圆椎曲线相交问题和因式分解中的“重要性”． 没了韦达定理，就好像黑旋风李逵没了板斧一样无奈． 试问：面对持枪的劫匪，挥舞着板斧的李逵还只是无奈吗？事实上，韦达定理、因式分解这些古典数学在现代数学体系中的作用甚微．在代数运算已经机器化的今天，我们没必要再守着一堆原始的工具进行操练． 但考虑到一线教师的意见，全日制义务教育数学课程标准（修改稿）征求意见稿作出了让步：“了解一元二次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）．”这大概是一个令各方人士满意的结果．
2．“能力立意”任重道远
全省得10分以上的考生第（2）问的解法人数分布如表2所示．
表2
由表2知，得10分以上的347名优秀考生中，63．98%使用两次递推法；26．51%使用猜想归纳法；9．5%使用特征方程法．
通过对参加改卷的高三教师的访谈知道，在不等式难度降低的数学必修课程中，大家比较认同数列题作为压轴题的复习价值取向．许多学校，尤其是重点中学十分重视介绍各种递推数列通项公式的求法，这是两次递推法比例高的原因．当一种方法成了大家都追求、都熟悉的方法，那么这一方法的考查就失去了选拔的意义．
3．“傻瓜定理法”效果不佳
特征方程法属于“傻瓜”定理法．只要你死记公式，会解二元一次方程组即可．这是动脑最少的解法．尽管参加过数学竞赛培训的考生数量也不少，但使用此法的比例只有9．5%． 这多多少少说明了广大教师对新课程、新高考的价值取向的认同，也说明了参加数学竞赛培训者并不占多大便宜．笔者相信“能力立意”的命题价值取向会使“傻瓜定理法”越来越没有“市场”．
4．“数学探究，合情推理”开花结果
尽管许多高三教师觉得本题陈旧，但客观地说，对于实践数学新课程的主体——考生而言，它还是比较新的问题，从此角度说，本题的考查还是有效的．
数学新课程与旧课程的最大区别之一是对推理能力要求的变化．“既重视演绎推理又强调合情推理的重要性是数学新课程改革的出路，这是基于数学教育的最终目标——发展学生的科学创新意识和动手实践能力的需要而作的改革．”
“猜想归纳法”是通过试算、比较、归纳、猜想、证明的过程来完成的．这是数学探究、数学发明创造的基本方法．笔者欣喜地发现，有26．51%的考生掌握了这一方法．大家都知道，“猜想归纳法”中的证明需要用到第二数学归纳法．尽管高中没有第二数学归纳法，但令人惊喜的是，用此法的考生居然知道证明两个初值成立，会假设n=k-1，k时命题成立．这已表明这些学生真正理解把握住了数学归纳法的本质，已达到了触类旁通的境界．可以说，数学新课程的价值取向已经生根发芽，“数学探究，合情推理”已经开花结果．
考虑到广东实施新课程的背景，以及考生实际答题的得分情况，笔者认为本题还是达到了压轴题的效果．当然，如果第（1）问改为“试用α，β来表示x3”，第（2）问改为“求数列{xn}的通项公式（用α，β来表示），第（3）问再适当提高难度，此题的压轴效果会更好．
责任编辑罗峰
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
一、题目（压轴题）
设p，q为实数，，是方程x2-px+q=0的两个实根． 数列｛xn｝满足x1=p，x2=p2-q，xn=qxn-1-qxn-２（n=3，4…）.（1）证明：＋＝p，＝q；（2）求数列｛xn｝的通项公式；（3）若p＝１，q＝，求｛xn｝的前n项和Sn．
二、解法介绍
第（1）问是送分题，最好的方法是运用求根公式进行证明．第（3）问要用第（2）问的通项公式与错位相减法或求导法进行求和．事实上，第（3）问比第（2）问简单，考生可以绕过第（2）问直接求解，但较少考生能这样做，因为大家总是习惯性认为第（3）问比第（1）问难．
第（2）问的解法，笔者列出了八种形式，学生的解法完全在这八种解法之内．尽管解法多，但实际上可以分成三类．
第一类：两次递推法
解法1：由（1）知xn=pxn-1-qxn-２=（＋）xn-1-xn-２（n=3，4，…）.
∴xn-xn-1=（xn-1－xn-２）=…=
n-２（x2-x1）=n（n=3，4，…）．
故当n≥3时，xn=xn-1+n=（xn-２＋n－１）＋n＝２xn-２＋n-1＋n
…＝n-２x2＋n-３３＋n-４4＋…＋n-1＋n
＝n＋n-１１＋n-２２＋…＋n-1＋n.
∵x1=+，x2=2++２，
∴当n≥1时，xn=n＋n-１１＋n-２２＋…＋n-1＋n.
故当≠时，xn=；当=时，xn=（n+1）n．
解法2：当≠时，xn可由xn-xn-1=n与xn-xn-1=n解出；当=时，显然xn=（n+1）n．
解法3：当=时，显然xn=（n+1）n．当≠时，设xn+•n＝（xn－１+•n－１），其中为待定的常数．整理得xn－xn-1＝（－）•n－１．与解法2中的第二个递推式比较，可确定出，然后递推出xn．
解法4：同样得xn-xn-1=n．当=0时，xn=n；当≠时，-=（）n．然后就≠与＝两种情况分别递推出相应的结果．
第二类：猜想归纳法
解法5：由（1）得x１＝p= +，x２＝p２－q= （+）２ －＝２＋＋２，
x３＝px２－qx１= ３＋２＋２＋３．
猜想：xn＝n＋n－１１＋n－２２＋…+n－１＋n.……（*）
证明：１°当n=1,2时，前面已经证明(*)式成立．
2°假设n=k-1，k（或n≤k）时(*)式成立，则当n=k+1时
xk+1＝pxk－qxk-１= （+）xk-xk-１
=（+）（k＋k－１＋k－2２+…+k－１+k）
-（k－１＋k－ 2 ＋k－3２+…+k－2+k-1）
=k+１＋k ＋k－1２+…+k+k+1.
∴n=k＋1时，（*）式也成立．
综合１°和２°知，对一切自然数n，（*）式均成立．故当≠ 时，xn=；当=时，xn=（n+1）n．
解法6：是解法5的变形，即对=与≠ 两种情况，分别猜想，分别证明．
第三类：特征方程法
解法7：由已知，该数列是二阶齐次线性递归数列，，也是其特征方程2-p+q=0的两个实根．则根据二阶齐次线性递归数列的通项公式，有：
若≠ ，则xn=An-1+B n-1 ．由A+B=x=+，A+B=x=+ + 解得A=, B=.所以xn=An-1+B n-1=．
若=，则xn=（A+nB)n．由（A+1×B)=x=２，（A+2B）2=x=3 解得A=1，B=1．
所以，xn=（A+nB)n=(n+1)n.
解法8：本质上与解法7一样，此略．
三、学生解法之透视
全省284503名理科考生，本题得分在9分以上的人数如表1所示．
表1
1．“穿新鞋，走老路”者吃了亏
第（1）问实际上是要证明韦达定理，尽管新课程没有介绍韦达定理，但由于许多学校不是在初中补，就是在高中补，所以考生非常熟悉此定理．笔者统计了得9分和10分的考生，其中分别有27人和34人证明的理由是“由韦达定理得”． 也就是说，这258名优秀考生中有23．6%的考生因此而丢掉了2分． 这也表明这部分“优秀”学生理解问题的能力有待提高．
关于韦达定理，许多教师，尤其是高三的“把关”教师，之所以对其念念不忘，主要是因为其在解决直线与圆椎曲线相交问题和因式分解中的“重要性”． 没了韦达定理，就好像黑旋风李逵没了板斧一样无奈． 试问：面对持枪的劫匪，挥舞着板斧的李逵还只是无奈吗？事实上，韦达定理、因式分解这些古典数学在现代数学体系中的作用甚微．在代数运算已经机器化的今天，我们没必要再守着一堆原始的工具进行操练． 但考虑到一线教师的意见，全日制义务教育数学课程标准（修改稿）征求意见稿作出了让步：“了解一元二次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）．”这大概是一个令各方人士满意的结果．
2．“能力立意”任重道远
全省得10分以上的考生第（2）问的解法人数分布如表2所示．
表2
由表2知，得10分以上的347名优秀考生中，63．98%使用两次递推法；26．51%使用猜想归纳法；9．5%使用特征方程法．
通过对参加改卷的高三教师的访谈知道，在不等式难度降低的数学必修课程中，大家比较认同数列题作为压轴题的复习价值取向．许多学校，尤其是重点中学十分重视介绍各种递推数列通项公式的求法，这是两次递推法比例高的原因．当一种方法成了大家都追求、都熟悉的方法，那么这一方法的考查就失去了选拔的意义．
3．“傻瓜定理法”效果不佳
特征方程法属于“傻瓜”定理法．只要你死记公式，会解二元一次方程组即可．这是动脑最少的解法．尽管参加过数学竞赛培训的考生数量也不少，但使用此法的比例只有9．5%． 这多多少少说明了广大教师对新课程、新高考的价值取向的认同，也说明了参加数学竞赛培训者并不占多大便宜．笔者相信“能力立意”的命题价值取向会使“傻瓜定理法”越来越没有“市场”．
4．“数学探究，合情推理”开花结果
尽管许多高三教师觉得本题陈旧，但客观地说，对于实践数学新课程的主体——考生而言，它还是比较新的问题，从此角度说，本题的考查还是有效的．
数学新课程与旧课程的最大区别之一是对推理能力要求的变化．“既重视演绎推理又强调合情推理的重要性是数学新课程改革的出路，这是基于数学教育的最终目标——发展学生的科学创新意识和动手实践能力的需要而作的改革．”
“猜想归纳法”是通过试算、比较、归纳、猜想、证明的过程来完成的．这是数学探究、数学发明创造的基本方法．笔者欣喜地发现，有26．51%的考生掌握了这一方法．大家都知道，“猜想归纳法”中的证明需要用到第二数学归纳法．尽管高中没有第二数学归纳法，但令人惊喜的是，用此法的考生居然知道证明两个初值成立，会假设n=k-1，k时命题成立．这已表明这些学生真正理解把握住了数学归纳法的本质，已达到了触类旁通的境界．可以说，数学新课程的价值取向已经生根发芽，“数学探究，合情推理”已经开花结果．
考虑到广东实施新课程的背景，以及考生实际答题的得分情况，笔者认为本题还是达到了压轴题的效果．当然，如果第（1）问改为“试用α，β来表示x3”，第（2）问改为“求数列{xn}的通项公式（用α，β来表示），第（3）问再适当提高难度，此题的压轴效果会更好．
责任编辑罗峰
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。