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【摘要】数学核心素养体现了学生的综合能力，对课程教学起着引导的作用，基于核心素养下的解题评价可以正确把握学生对知识的掌握程度、内化水平，有利于教师的课程教学。首先，笔者结合2017年新课标所提出的学科核心素养构建解题评价框架。其次，选取一道数学题，利用波利亚思想对解题的四个阶段进行具体的分析，深入探讨核心素养与数学解题之间的关系。最后，提出解题教学建议，为更好的在解题过程中培养学生的数学核心素养做准备。
【关键词】核心素养 解题评价 波利亚解题
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）13-0128-02
1.引言
近年来“问题解决的热潮”久经不衰，学习的最终目是提高学生的应用能力，而这种能力的培养绝大部分源于“问题解决”。2017年《普通高中数学课程标准》提出了学科核心素养，素养的体现离不开具体的情境，即问题解决。蒋志学（2017）认为当下研究的数学核心素养，就是培养学生解题能力的本质途径。同时李尚志（2018）指出新课标提出的核心素养并不是强加于课程之外的负担，而应是渗透在具体知识内容的教学中。由于核心素养是一个抽象的概念，需要依附在具体内容上才能体现出来，宁锐（2019）在中把六大数学核心素养两两归类为数学思维素养、数学方法素养、数学工具素养三大素养，在三大素养模型上深入探讨了学生在问题解决中所表现出的思维品质、关键能力、数学情意。对于解题评价的研究，2010年黄茜君在文献论述了一个新的学习方式，尝试把评价引入解题，为拓展学生解题思维设计解题过程评价表引导学生对题目的理解与解决。史宁中教授（2018）提到新课程标准修订中的关键问题之一是基于核心素养的教学和评价，给出了基于核心素养的考试评价，从评价方式和命题形式两个方面展开讨论。
目前国内外关于解题的研究主要表现为对解题方法、习题汇编、竞赛解题技巧、解题规律探究等方面，基于核心素养理论下对解题能力评价的研究并不多。由于学生解题能力参差不齐，如果能够对学生的解题作出素养上的正确评价，那么教师对学生知识点掌握程度的把握就较准确。鉴于此，为深刻探究核心素养与解题之间的关系，笔者构建一个评价指标框架，从平面解析几何解题上来研究数学核心素养的体现，并提出基于核心素养的解题策略。
2.数学核心素养下解题框架分析
2.1核心素养解题评价框架
数学核心素养们既是教学核心又是素养体现，教学的各个方面都能够体现出核心素养。本文所研究的方向主要是聚焦在解题过程，著名数学家波利亚在《怎样解题》一书中将解题过程分为四个阶段：理解题目、拟定方案、执行方案、回顾。笔者初步把拟定方案和执行方案合为一个过程，于是得到解题过程三个大阶段即题目理解、策略实施、反思回顾。具体见图一：
評价的水平划分就要从解题的角度着手，参照喻平老师在知识层面下的数学核心素养评价框架，提出在数学解题下的核心素养的三种水平。见表一：
本文把解题过程分为题目理解、策略实施、反思回顾，每个阶段分别与核心素养三水平所对应，以此基于数学核心素养对解题评价提供一个理论框架（见表二），该表直观地显示出了解题过程中具体所体现的六大核心素养。
2.2核心素养要素解题体现
（1）运用数学抽象获得有效信息
抽象是数学的特性之一，把题目中隐含的数量关系抽象出来，用数学符号来表示。面对一道题重要的是读懂题目即通过给出的条件抽象出对自己有用的信息。
（2）运用直观想象理解问题
直观想象理解问题的关键，很多题目如果能够借助图形，通过建立数与形的关系，利用几何图形描述问题，建立几何直观模型，往往能够使题目的解决变得更加简便，通过图形能够挖掘出题目中的隐含条件，更能理解问题所在。
（3）运用数据分析整理数据
题中呈现的数据有可能是图表或数字，在解题的过程中需要我们及时判读哪些数据是有用的哪些是多余的，通过对数据的分析整理便于我们对问题的快速解决。
（4）运用逻辑推理明确思路
逻辑推理能力在解题中发挥着重要的作用，首先要保证大脑清晰，在看似互不相联系的条件中一步步推出要证明或要求得的问题。把逻辑弄清的同时就是把思路理清的过程。
（5）运用数学建模设计框架
数学建模锻炼了学生的思维，推理等各方面能力，通过数学建模把生活中的问题抽象化，用数学的知识构建模型。在拟定思路的基础上需要设计一个完整的解题方案和框架。这是解题最重要的环节也是必不可少的。
（6）运用数学运算得出结果
由于计算机的存在，学生的运算能力往往会被忽视，但是我们必须承认数学运算在整个解题过程中都有存在，扮演着举足轻重的地位，解题的最终呈现方式是结果，恰当的运算策略和巧妙的运算途径相结合可提升学生的解题能力。
3.解题分析
笔者以求定值和面积取值范围的解析几何题目为例，分析探讨数学核心素养在解题各阶段是如何发挥解题作用，基于数学核心素养进行解题评价。
3.1例题剖析
圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E。
①证明|EA|+|EB|为定值，求出E的轨迹方程。②设E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M和N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交P，Q点，求四边形MPNQ面积的取值范围。（16年高考理科数学全国卷）
（1）理解题目（一级水平）
理解题目是第一步，通过数学抽象素养，将题中信息进行检索整理作图，运用直观想象素养对图形进行分析提取题目中的有用信息。 分析：从圆的一般方程可得圆的标准方程，得圆心坐标和半径。由已知条件“过B作AC的平行线交AD于点E”作出图形抽象出点线角的关系。
第②问，通过观察图形，运用直观想象素养引导得到若要求四边形MPNQ的面积则求得|PQ|和|MN|两线段的长。
（2）拟定解题方案
该阶段需要将题目中的信息正确获取，重新编排，这时就要求我们运用逻辑推理素养，数学建模素养，直观想象素养拟定解题方案。
（3）执行方案（二级水平）
在对题目进行完整梳理则对题目的解答过程有了一个清晰的框架，而后就是方案的实施，在进行具体的解答过程中对数学运算的要求是很高的，同时也需要逻辑推理的辅助。
（4）回顾（三级水平）
整个解题过程利用直观想象和逻辑推理素养对题进行整体把握，梳理大致解题思路，通过数学抽象素养对该题中的隐含条件进行分析，运用数学运算素养对第2问面积进行求解与检验。
3.2分析总结
可以发现解题的不同阶段体现了不同核心素养，它们彼此相联系，共同完成了整个题目的解答。该题核心素养的体现如下表三：
表三 各级水平核心素养要素的体现
4.基于核心素养解题评价教学建议
核心素养存在于解题的各个阶段，笔者在此提出三条解题教学的建议，希望能够帮助到大家。
（1）创设情境-问题模式
在解题中如果能够有具体的生活实例不仅可以吸引学生解题的求知欲，更能有意识地去培养学生数学建模素养，让学生主动地进行建构，进行问题的解决，问题情境的创设不是简单地把生活中的问题搬到课堂上，而是需要一定的策略和艺术，教师应本着贴近学生生活深度挖掘情境与问题之间存在的联系，如在平面解析几何解题中穿插生活实例如聚光灯，行星轨迹等以情景问题为主导线。
（2）渗透解题思想
数学是一个有着思想灵魂的学科，数学思想是指实际生活中的空间形式和数量关系反映到我们大脑的意识之中，通过一定的思维活动所产生的结果。其中常见的数学思想有数形结合、化归、转化、分类、类比、方程、函数等。这些数学思想往往体现在数学解题中，若在解题中教师能够有意识地把相应的数学思想渗透给学生，那么就能很好地培养学生的数学建模素养、直观素养、运算素养。
（3）善于反思
解一道题的目的是掌握一类题的解法，由一道题展开复习全部相关内容，进行比较，归纳。能够在解题中总结反思是核心素养三级水平的体现，也是对知识的提炼、探索深化的有效途径。这里要求学生能够运用逻辑推理素养对整个思路进行复述，运算数学运算素养对整个过程进行验算。
参考文献：
[1]李尚志.核心素养渗透数学课程教学[J].数学通报，2018（1）：1-6.
[2]蒋志学.基于高中学科核心素养的解题能力培养——以高中数学为例[J].数学教学通讯，2017.
[3]宁锐，李昌勇，罗宗绪.数学学科核心素养的结构及其教学意义[J].数学教育学报，2019（2）：24-29.
[4]黄茜君.在解题中尝试评价初探[J].中学教研，2010（1）：31-33.
[5]史宁中.高中数学课程标准修订中的关键问题[J].数学教育学报，2018（1）：8-10.
[6]波利亚.怎样解题[M].阎育苏.译.北京：科学出版社.1982.
[7]朱立明，胡洪強，马云鹏.数学核心素养的理解与生成路径——以高中数学课程为例[J].数学教育学报，2018（1）：42-46.
[8]喻平.数学学科核心素养评价的一个框架[J].数学教育学报，2017（2）：19-23.
[9]常磊，鲍建生.情境视角下的数学与核心素养[J].数学教育学报，2017（2）：24-28.
[10]陈玉娟.例谈高中数学核心素养的培养——从课堂教学中数学运算的维度[J].数学通报，2016（8）：34-36.
【关键词】核心素养 解题评价 波利亚解题
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）13-0128-02
1.引言
近年来“问题解决的热潮”久经不衰，学习的最终目是提高学生的应用能力，而这种能力的培养绝大部分源于“问题解决”。2017年《普通高中数学课程标准》提出了学科核心素养，素养的体现离不开具体的情境，即问题解决。蒋志学（2017）认为当下研究的数学核心素养，就是培养学生解题能力的本质途径。同时李尚志（2018）指出新课标提出的核心素养并不是强加于课程之外的负担，而应是渗透在具体知识内容的教学中。由于核心素养是一个抽象的概念，需要依附在具体内容上才能体现出来，宁锐（2019）在中把六大数学核心素养两两归类为数学思维素养、数学方法素养、数学工具素养三大素养，在三大素养模型上深入探讨了学生在问题解决中所表现出的思维品质、关键能力、数学情意。对于解题评价的研究，2010年黄茜君在文献论述了一个新的学习方式，尝试把评价引入解题，为拓展学生解题思维设计解题过程评价表引导学生对题目的理解与解决。史宁中教授（2018）提到新课程标准修订中的关键问题之一是基于核心素养的教学和评价，给出了基于核心素养的考试评价，从评价方式和命题形式两个方面展开讨论。
目前国内外关于解题的研究主要表现为对解题方法、习题汇编、竞赛解题技巧、解题规律探究等方面，基于核心素养理论下对解题能力评价的研究并不多。由于学生解题能力参差不齐，如果能够对学生的解题作出素养上的正确评价，那么教师对学生知识点掌握程度的把握就较准确。鉴于此，为深刻探究核心素养与解题之间的关系，笔者构建一个评价指标框架，从平面解析几何解题上来研究数学核心素养的体现，并提出基于核心素养的解题策略。
2.数学核心素养下解题框架分析
2.1核心素养解题评价框架
数学核心素养们既是教学核心又是素养体现，教学的各个方面都能够体现出核心素养。本文所研究的方向主要是聚焦在解题过程，著名数学家波利亚在《怎样解题》一书中将解题过程分为四个阶段：理解题目、拟定方案、执行方案、回顾。笔者初步把拟定方案和执行方案合为一个过程，于是得到解题过程三个大阶段即题目理解、策略实施、反思回顾。具体见图一：
評价的水平划分就要从解题的角度着手，参照喻平老师在知识层面下的数学核心素养评价框架，提出在数学解题下的核心素养的三种水平。见表一：
本文把解题过程分为题目理解、策略实施、反思回顾，每个阶段分别与核心素养三水平所对应，以此基于数学核心素养对解题评价提供一个理论框架（见表二），该表直观地显示出了解题过程中具体所体现的六大核心素养。
2.2核心素养要素解题体现
（1）运用数学抽象获得有效信息
抽象是数学的特性之一，把题目中隐含的数量关系抽象出来，用数学符号来表示。面对一道题重要的是读懂题目即通过给出的条件抽象出对自己有用的信息。
（2）运用直观想象理解问题
直观想象理解问题的关键，很多题目如果能够借助图形，通过建立数与形的关系，利用几何图形描述问题，建立几何直观模型，往往能够使题目的解决变得更加简便，通过图形能够挖掘出题目中的隐含条件，更能理解问题所在。
（3）运用数据分析整理数据
题中呈现的数据有可能是图表或数字，在解题的过程中需要我们及时判读哪些数据是有用的哪些是多余的，通过对数据的分析整理便于我们对问题的快速解决。
（4）运用逻辑推理明确思路
逻辑推理能力在解题中发挥着重要的作用，首先要保证大脑清晰，在看似互不相联系的条件中一步步推出要证明或要求得的问题。把逻辑弄清的同时就是把思路理清的过程。
（5）运用数学建模设计框架
数学建模锻炼了学生的思维，推理等各方面能力，通过数学建模把生活中的问题抽象化，用数学的知识构建模型。在拟定思路的基础上需要设计一个完整的解题方案和框架。这是解题最重要的环节也是必不可少的。
（6）运用数学运算得出结果
由于计算机的存在，学生的运算能力往往会被忽视，但是我们必须承认数学运算在整个解题过程中都有存在，扮演着举足轻重的地位，解题的最终呈现方式是结果，恰当的运算策略和巧妙的运算途径相结合可提升学生的解题能力。
3.解题分析
笔者以求定值和面积取值范围的解析几何题目为例，分析探讨数学核心素养在解题各阶段是如何发挥解题作用，基于数学核心素养进行解题评价。
3.1例题剖析
圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E。
①证明|EA|+|EB|为定值，求出E的轨迹方程。②设E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M和N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交P，Q点，求四边形MPNQ面积的取值范围。（16年高考理科数学全国卷）
（1）理解题目（一级水平）
理解题目是第一步，通过数学抽象素养，将题中信息进行检索整理作图，运用直观想象素养对图形进行分析提取题目中的有用信息。 分析：从圆的一般方程可得圆的标准方程，得圆心坐标和半径。由已知条件“过B作AC的平行线交AD于点E”作出图形抽象出点线角的关系。
第②问，通过观察图形，运用直观想象素养引导得到若要求四边形MPNQ的面积则求得|PQ|和|MN|两线段的长。
（2）拟定解题方案
该阶段需要将题目中的信息正确获取，重新编排，这时就要求我们运用逻辑推理素养，数学建模素养，直观想象素养拟定解题方案。
（3）执行方案（二级水平）
在对题目进行完整梳理则对题目的解答过程有了一个清晰的框架，而后就是方案的实施，在进行具体的解答过程中对数学运算的要求是很高的，同时也需要逻辑推理的辅助。
（4）回顾（三级水平）
整个解题过程利用直观想象和逻辑推理素养对题进行整体把握，梳理大致解题思路，通过数学抽象素养对该题中的隐含条件进行分析，运用数学运算素养对第2问面积进行求解与检验。
3.2分析总结
可以发现解题的不同阶段体现了不同核心素养，它们彼此相联系，共同完成了整个题目的解答。该题核心素养的体现如下表三：
表三 各级水平核心素养要素的体现
4.基于核心素养解题评价教学建议
核心素养存在于解题的各个阶段，笔者在此提出三条解题教学的建议，希望能够帮助到大家。
（1）创设情境-问题模式
在解题中如果能够有具体的生活实例不仅可以吸引学生解题的求知欲，更能有意识地去培养学生数学建模素养，让学生主动地进行建构，进行问题的解决，问题情境的创设不是简单地把生活中的问题搬到课堂上，而是需要一定的策略和艺术，教师应本着贴近学生生活深度挖掘情境与问题之间存在的联系，如在平面解析几何解题中穿插生活实例如聚光灯，行星轨迹等以情景问题为主导线。
（2）渗透解题思想
数学是一个有着思想灵魂的学科，数学思想是指实际生活中的空间形式和数量关系反映到我们大脑的意识之中，通过一定的思维活动所产生的结果。其中常见的数学思想有数形结合、化归、转化、分类、类比、方程、函数等。这些数学思想往往体现在数学解题中，若在解题中教师能够有意识地把相应的数学思想渗透给学生，那么就能很好地培养学生的数学建模素养、直观素养、运算素养。
（3）善于反思
解一道题的目的是掌握一类题的解法，由一道题展开复习全部相关内容，进行比较，归纳。能够在解题中总结反思是核心素养三级水平的体现，也是对知识的提炼、探索深化的有效途径。这里要求学生能够运用逻辑推理素养对整个思路进行复述，运算数学运算素养对整个过程进行验算。
参考文献：
[1]李尚志.核心素养渗透数学课程教学[J].数学通报，2018（1）：1-6.
[2]蒋志学.基于高中学科核心素养的解题能力培养——以高中数学为例[J].数学教学通讯，2017.
[3]宁锐，李昌勇，罗宗绪.数学学科核心素养的结构及其教学意义[J].数学教育学报，2019（2）：24-29.
[4]黄茜君.在解题中尝试评价初探[J].中学教研，2010（1）：31-33.
[5]史宁中.高中数学课程标准修订中的关键问题[J].数学教育学报，2018（1）：8-10.
[6]波利亚.怎样解题[M].阎育苏.译.北京：科学出版社.1982.
[7]朱立明，胡洪強，马云鹏.数学核心素养的理解与生成路径——以高中数学课程为例[J].数学教育学报，2018（1）：42-46.
[8]喻平.数学学科核心素养评价的一个框架[J].数学教育学报，2017（2）：19-23.
[9]常磊，鲍建生.情境视角下的数学与核心素养[J].数学教育学报，2017（2）：24-28.
[10]陈玉娟.例谈高中数学核心素养的培养——从课堂教学中数学运算的维度[J].数学通报，2016（8）：34-36.