【摘要】导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学
　　问题提供了新的视野，是研究函数问题的有力工具，也是今后学习高等数学的基础.
　　本文拟对学生在学习导数中常见的错误进行归类和做简单的剖析，以便广大教师在
　　教学过程中有的放矢，激发学生学习数学的兴趣和提高教学质量.
　　【关键词】定义式;切线方程;极值;单调性
　　导数是近几年江苏高考命题的热点内容.导数在求函数的单调性、极值、最值以及求曲线的切线斜率等方面，有着广泛的应用，但学生在实际应用时常会陷入误区.本文从例题入手，对导数应用常见的错解进行分类剖析，以期抛砖引玉.
　　易错点1 对导数定义式的理解不到位
　　例1 函数f（x）在点x0处的导数是f′（x0）=a，则limΔx→0f（x0-Δx）-f（x0）Δx=.
　　错解 由导数的定义知：
　　f′（x0）=limΔx→0f（x0-Δx）-f（x0）Δx=a.
　　剖析 防错的关键是认清导数定义中Δx的形式是多样的.
　　正解 limΔx→0f（x0 Δx）-f（x0）Δx=f′（x0）
　　=limΔx→0f（x0-Δx）-f（x0）-Δx=-a，
　　从而答案是-a.
　　点评 在导数的定义中，增量Δx的形式是多样化的，但无论如何变化，其实质是分子中x的增量与分母中x的增量必须是一致的，否则必须经过一些适当的变形使之一致.
　　小试牛刀 已知函数f（x）在点x0处的导数是f′（x0）=a，
　　则limΔx→0f（x0 Δx）-f（x0-Δx）Δx=.（参考答案：2a）
　　易错点2 混淆导函数与函数在某点处的导数
　　例2 已知函数f（x）=-13x3 x2-2f′（1）x，求f′（x）.
　　错解 f′（x）=-x2 2x-2f′（1）.
　　剖析 本错误解法忽视了f′（1）是一个可以求得的定值.
　　正解 ∵f′（x）=-x2 2x-2f′（1），∴f′（1）=-1 2-2f′（1），∴f′（1）=13.
　　点评 f′（1）=y′|x=1是一个定值，故[f′（1）·x]′=f′（1）.再给导函数中的x赋值，即可求出f′（1）的值.
　　小试牛刀 已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2 2xf′（2），
　　则f′（5）=.（参考答案：6）
　　易错点3 求曲线过某点的切线方程时不注意区分点是否在曲线上
　　例3 已知曲线f（x）=x3-3x，过点A（0，16）作它的切线，求此切线方程.
　　错解 根据导数的几何意义可知，曲线的切线斜率k=f′（0）=-3，所以曲线的切线方程为y=-3x 16.
　　剖析 本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k应是在切点处的导数，而点A（0，16）不在曲线上.故本题应先设切点，再求斜率，最后写出直线的方程.
　　正解 设切点坐标M（x0，x30-3x0），则切线的斜率k=f′（x0）=3x20-3，切线方程为y=（3x20-3）x-16，又因为点M在切线上，所以x30-3x0=3（x20-3）x0 16，解得x0=-2，∴切线方程为y=9x 16.
　　点评 一般地，应用导数的几何意义求过一点的切线，无论已知点是不是切点均可以设出切点坐标，结合方程组求解.
　　小试牛刀 已知函数f（x）=x3 f′23x2-x，则函数f（x）的图像在点23，f23处的切线方程是.（参考答案：27x 27y 4=0）
　　易错点4 忽视函数有极值时的条件
　　例4 已知函数f（x）=x3 ax2 bx a2在x=1处有极值10，求a b的值.
　　错解 由导数的极值知f′（1）=0
　　f（1）=10得a=4
　　b=-11或a=-3
　　b=3，所以a b的值为-7
　　或者0.
　　剖析 错解是没有注意到f′（x0）=0是函数在这点处有极值的必要不充分条件.
　　正解 由导数的极值知f′（1）=0
　　f（1）=10得a=4
　　b=-11或a=-3
　　b=3.当a=-3
　　b=3时，f′（x）=3（x-1）2≥0恒成立，故x=1不是函数的极值点，此解舍去，所以a b的值是-7.
　　点评 函数极值点的定义是：在这点的左右两侧函数的导数符号相反，而不仅仅是f′（x0）=0，所以，由极值算参数范围或者参数值时，要注意检验导数在这点左右两侧的符号是否相反.
　　小试牛刀 已知函数f（x）=ax3 bx2-3x（a，b∈R）在点x=-1处取得极大值为2，求函数f（x）的解析式.（参考答案：f（x）=x3-3x）
　　易错点5 忽略函数单调性的充要条件
　　例5 已知函数f（x）=ax3 3x2-x 1在
　　R上是减函数，求a的取值范围.
　　错解 ∵f′（x）=3ax2 6x-1，∴f（x）在R上是减函数.
　　∴f′（x）