摘要：在基于非均匀有理B样条（NURBS）方法的计算机辅助设计系统中，经常采用有理Bézier曲线表示圆弧。文中给出了运用幂指数型权因子的有理Bézier曲线表示圆弧的方法。采用Bernstein基函数及其系数来选取权因子，使得生成的曲线可以更加接近控制多边形，结合几何作图的方法计算出构造圆弧的个控制顶点的权因子中 αi 的值，求解方法方便简单并且具有几何直观性，实用，符合CAGD的要求。
　　关键词：有理Bézier曲线；圆弧；权因子；局部形状参数
　　中图分类号：TP391文献标识码：A文章编号：1009-3044(2008)35-2207-03
　　Methods for Calculating the Weights of Rational Bézier Curve Representing Circular Arcs
　　ZHANG Lin-zhong, ZHU Xiao-lin
　　(Hefei University of Technology Department of Mathematics, Hefei 230009,China)
　　Abstract: Based on the non-uniform rational B-spline (NURBS) method of computer-aided design systems, often used, said arc rational Bézier curve. In this paper, the use of the power-index weights of rational Bézier curves that arc. Bernstein-use factor and its function to select the right factor, making the curve can be generated closer control polygons, combined with the geometric method of mapping out the circular structure of a vertex of the right to control αi factor in the value of simple and convenient method Geometry has an intuitive, practical, with the CAGD.
　　Key words: rational Bézier curve;arc;weight;Local shape parameters
　　
　　圆弧在CAD/CAM中有着广泛的应用，有理Bézier曲线能准确的表示圆锥曲线，克服了Bézier曲线和B样条曲线只能近似的表示圆弧的缺点，因而广泛应用于CAD/CAM中。在有理Bézier曲线中，如何有效的对曲线的形状进行控制是CAGD的主要问题，目前对曲线的形状控制主要通过两种途径：基于控制顶点的形状修改和基于形状参数的形状修改。但如何有效的选取权因子一直没有得到较好的解决，文献[1]中给出两种有效的权因子选取方法：权系数极大化方法和幂指数型权因子方法，其中幂指数型权因子方法中以作为权因子，文献指出使用 ai 的效果比使用 wi 的效果更为突出，并且采用这种权因子后，更能突出Bernstein基函数的作用，表示形式上和Bézier曲线更为接近。文献[2]中给出了三次NURBS曲线表示圆弧的充要条件；文献[3-4]中给出了三次NURBS曲线表示圆弧的方法，文献[5]中给出了四次有理Bézier曲线表示圆弧的方法。但这些文献中用到的权因子不是采用幂指数型权因子方法，本文为了体现幂指数型权因子方法的优越性，采用作为权因子表示圆弧，使得生成的曲线可以更加接近控制多边形。
　　
　　1 有理Bézier曲线的表示
　　
　　给定控制顶点Pi,i=0,1,2...n 及相应的权因子 按这种方式选取权因子，就只需要控制局部形状参数 αi 的取值，就可以控制曲线的形状，而且通过这种方法既保持了一般有理权因子的局部可调性(如图1)，又能使形状调整的效果更加明显(如图2)。
　　
　　图1局部形状参数的局部控制图2 局部形状参数 αi 对曲线的影响图
　　N次有理Bézier曲线为：
　　
　　
　　2 圆弧的四次有理Bézier曲线表示
　　
　　给定控制顶点Pi,i=0,1,2...n 及相应的权因子，则四次有理Bézier曲线为：
　　 (1)
　　合理的选取局部形状参数αi 的取值和控制顶点 Pi 使得：
　　
　　（2）、（3）代入（1）得：
　　 (4)
　　显然（4）式的曲线具有如下性质：
　　
　　由于圆弧具有对称性，令α1=α3 ，则（4）式可表示为：
　　 (5)
　　由（2）、（3）得：
　　
　　由（5）知圆弧的中点M为：(8)
　　从而可以判定M位于线段 P1P3 的中点上，有（2）（7）（8）进一步得到：
　　 (9)
　　所以M位于线段 P0P4 的中点N与顶点 P2 的连线上，并且
　　 (10)
　　通过上面的分析，可以按照文献5中几何作图法构造出圆弧的控制顶点Pi(i=0,1,2,3,4) （如图3）。
　　图3中满足：
　　
　　代入（6）得： (11)
　　由（11）、（7）得： (12)
　　结果和（10）相吻合，说明构造方法可行。
　　
　　按照文献5中的方法可以分别求出各个顶点的局部控制因子αi 的值能构造出圆弧曲线，但不能反映出幂指数权因子方法中的保形性好的优越性。如果令有理Bézier曲线中各个顶点的局部控制因子αi≡1 ，即为Bézier曲线，若需要得到图3中的圆弧曲线，只需要将顶点P2 移至P2' 处（如图4，*线表示αi≡1 时得到的圆弧曲线，实线表示图3中的圆弧曲线），这样圆弧与控制多边形更加接近，更能体现幂指数权因子方法中的保形性好的优越性。
　　
　　3 结论
　　
　　根据Bernstein基函数及其系数来选取有理Bézier曲线的权因子可使有理Bézier曲线更好保持控制多边形的形状，能更有效的调整曲线的形状，文中采用幂指数型权因子方法继承了Bernstein多项式的良好几何逼近性质，通过控制局部形状参数αi 来控制曲线，这种方法比一般的权因子的作用更加突出，保形性更好。文中采用幂指数型权因子方法实现圆弧的构造（圆心角的范围是[-π，π] ），控制局部形状参数αi 的大小仅与圆心角的大小有关，一旦圆弧确定，控制局部形状参数αi 也就可以唯一确定。求解方法方便简单、稳定，便于实际应用。
　　
　　参考文献:
　　[1] 韩旭里,肖鸣宇.有理Bézier曲线权因子的有效形式[J].工程图学学报,2005(1):57-60.
　　[2] 泰开怀,关右江.圆弧曲线的三次NURBS表示[J].计算机学报,1995,18(2):146-152.
　　[3] Piegl,Tiller W. A Menagerie of Rational B-splines.IEEE CG&A,1989,9(5):48-56.
　　[4] 范劲松,安军,徐宗俊.用三次NURBS表示圆弧与整圆的算法的研究[J].计算机辅助设计与图形学学报,1997,9(5):391-395.
　　[5] 王伟成,姚云.用四次有理Bézier曲线表示圆弧与圆[J].北京服装学院学报,2000,20(2):61-64.