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摘 要：教师在教学中有意识地渗透、强化教学思想和教学方法，通过例子说明理解基本的数学概念、数学结论的本质，才能使学生深入思考问题，最终提升学生的认知能力。
关键词：本质 数学 探究 函数 应用 意义
普通高中《数学课程标准》明确指出：“获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中蕴含的数学思想方法，以及它们在后续学习中的作用。”这对数学教师提出了更高的教学要求，我们根据实际教学经验，浅谈以下三点教学体会。
一、中考、高考命题是《数学课程标准》的具体体现
学生对数学本质的理解及对数学本质的追求，是需要教师逐步培养的。随着课改的深入，中考、高考的数学题目在难度上有所降低，但题目更为灵活，要求学生理解数学的本质，而不是简单地做题。今年北京中考数学第16题就很好地体现了这一点。
阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
（1）尺规作图：作一条线段的垂直平分线，已知：线段AB（见图1）。
小芸的作法如下：
（1）如图2，分别以点A和点B
为圆心，以大于■AB的长为半径作弧，
两弧相交于C、D两点；
（2）作直线CD，则直线CD就
是所求作的垂直平分线。
老师说：“小芸的作法正确。”
请回答：小芸的作图依据是 。
我与一些教师进行了交流，有的教师问：“依据为什么不是三角形全等的判定？实际上可以从后面倒着进行分析：先有C、D两点，再有直线CD（两点确定一条直线）。C、D两点很特殊，它们是等圆的交点，根据圆的特征得到C、D两点到A、B两点的距离分别相等（线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等）。这些都提醒教师在平时的教学中要注意数学本质的教学。
二、上有教育价值的数学课，教给学生真正的数学
课堂是教学的主阵地，教师要把定义、公式、定理的内涵挖掘出来，讲清楚解题方法所应用的原理、思考方法等，让学生真正地掌握数学基础知识和基本技能。在一堂高中数学课上，教师精心设计了如下题目，并引导学生去探究，取得了很好的教学效果。
例：如图3，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D。设CP=x，△CPD的面积为f（x）。则f（x）的最大值为 。
教师先让学生观察、思考例题中△CPD中边长的数量关系：CD+CP+DP=8且CD是定长。在此条件下，什么时候△CPD的面积最大呢？学生主动探究：等周长并且有一边长为定值的三角形中，什么样的三角形的面积最大？
学生用课前准备好的细绳和直尺动手操作：假设三角形的一边已经固定，另外两边长度和也确定，通过研究动点的轨迹得出，当三点构成等腰三角形时，△ABC的面积最大。
学生探究得出结论后，问题自然就解决了。通过探究学习，学生能很好地理解题目的本质，对知识点的理解也更为深刻。
三、以重要概念为载体，逐步提升学生对数学本质的理解
新课标强调对于数学概念的理解要以螺旋上升的方式教学，这就要求教师清楚学生的认知规律、知识现状，只有知道学生的提升点在哪儿，才能依据新课标要求培养学生的认知能力。“自然这一巨著是用数学符号写成的。”（伽利略）数学知识的抽象性决定了其应用的广泛性。所以学生对于每次引入的符号都要清楚地理解。对于“函数”这一数学核心概念，从小学到初中的教材中已做了很多的铺垫。首先，任何数字都是抽象的，它舍弃了观察对象的其他一切属性，而只关注其数量。数字“1”既可以代表一只笔，也可以代表一个苹果或一本书。数字“1”就是忽略了笔、苹果、书等事物的差异，而只从数量上加以抽象。其次，当遇到用数字难以表示的三种数：未知的数、任意的数、变化的数，就用字母来表示，进而出现了表示数的式子，这是进一步的抽象。虽然字母表示数也使数学变得抽象、难懂，但这极大地丰富了数学的内容，考查代数式之间的关系时就出现了方程、不等式；当一字母表示另外一个代数式的值时，就出现了一个数的变化引起另外一个数的变化，也就有了函数的影子，甚至有人认为代数式就是函数。至于函数y=f（x），则是更进一步的抽象。
除了讲函数的章节，在其他章节的教学中，教师要抓住时机深化对函数思想的理解。在双曲线的渐近线的教学中，怎样更好地引入双曲线的渐近线就是一个例证。在一次听课的讨论中，发现有些教师对渐近线的引入存在疑惑与误区。下面摘录几位教师的发言：
师1：令■-■=0可以解出渐近线方程，感觉很突兀，有没有好的解释？
师2：令■-■=1，■，■…当1→0时，双曲线就退化为渐近线。
师3：为什么会出现渐近线？怎么合适地提出渐近线？
师4：有的教师用电脑先画出直线y=±■x，再让学生看双曲线与直线无限接近。
师5： x2-y2=0 x-y
2 1
3 2
100 99
x2，y2越大，x-y就越小。
平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题。现在根据双曲线方程研究曲线的性质，若用电脑先画出直线y=±■x，再让学生看双曲线与直线无限接近，这样就背离了解析几何的本质特征。从上面的例子也可以看出，问题集中在怎样使渐近线的引入更合理、更自然。若按课本上写的“双曲线向外无限延伸时，总局限于直线y=■x和直线y=-■x相交而分平面所成的、含双曲线焦点的两个角域内，并与两直线无限接近……”这样又像变魔术一样变出一个渐近线，学生也不易理解。为了使渐近线的引入更加合理、自然，我们可以做两方面的铺垫：
首先，给出学生比较熟悉的几类函数且其图象有渐近线。如y=■，y=ax，y=logxa，这些函数的图象都有渐近线，有了这些内容作为基础，可以考查函数y=x-■的图象，但为了准确地画出它的图象，我们需要把它的另外一条渐近线y=x画出来（如图5）。
其次，利用双曲线的对称性，把双曲线的作图问题转化为某一范围内函数的作图问题。可以先画双曲线■-■=1的图象，将双曲线的方程变形为y=±■■=±■x■，利用双曲线的对称性，可以只考查双曲线在第一象限的部分，即函数y=■■=■x■（x≥4）（如图6）。现阶段虽然没有极限的内容，但是学生已经有了极限的思想，所以当值越来越大时，y的值趋近于■x是不难理解的，然后再推广到一般情形。总之，函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型，要结合具体问题，让学生不断加深对函数概念本质的认识和理解，这样有利于学生对这一特定的、重要的变量之间关系的认识，有利于学生对数学与现实世界之间联系的认识。教师只有挖掘数学知识的本质、揭示数学思维的特征，才有可能让学生受益终身，才能使我们的教学更有意义。
参考文献：
[1]数学课程标准研制组.数学课程标准解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.
[2]杨世明，王雪琴.数学发现的艺术[M].青岛：青岛海洋大学出版社，1998.
[3]张鹤.张鹤——分享数学智慧的人[M].北京：中国大百科全书出版社，2012.
关键词：本质 数学 探究 函数 应用 意义
普通高中《数学课程标准》明确指出：“获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中蕴含的数学思想方法，以及它们在后续学习中的作用。”这对数学教师提出了更高的教学要求，我们根据实际教学经验，浅谈以下三点教学体会。
一、中考、高考命题是《数学课程标准》的具体体现
学生对数学本质的理解及对数学本质的追求，是需要教师逐步培养的。随着课改的深入，中考、高考的数学题目在难度上有所降低，但题目更为灵活，要求学生理解数学的本质，而不是简单地做题。今年北京中考数学第16题就很好地体现了这一点。
阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
（1）尺规作图：作一条线段的垂直平分线，已知：线段AB（见图1）。
小芸的作法如下：
（1）如图2，分别以点A和点B
为圆心，以大于■AB的长为半径作弧，
两弧相交于C、D两点；
（2）作直线CD，则直线CD就
是所求作的垂直平分线。
老师说：“小芸的作法正确。”
请回答：小芸的作图依据是 。
我与一些教师进行了交流，有的教师问：“依据为什么不是三角形全等的判定？实际上可以从后面倒着进行分析：先有C、D两点，再有直线CD（两点确定一条直线）。C、D两点很特殊，它们是等圆的交点，根据圆的特征得到C、D两点到A、B两点的距离分别相等（线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等）。这些都提醒教师在平时的教学中要注意数学本质的教学。
二、上有教育价值的数学课，教给学生真正的数学
课堂是教学的主阵地，教师要把定义、公式、定理的内涵挖掘出来，讲清楚解题方法所应用的原理、思考方法等，让学生真正地掌握数学基础知识和基本技能。在一堂高中数学课上，教师精心设计了如下题目，并引导学生去探究，取得了很好的教学效果。
例：如图3，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D。设CP=x，△CPD的面积为f（x）。则f（x）的最大值为 。
教师先让学生观察、思考例题中△CPD中边长的数量关系：CD+CP+DP=8且CD是定长。在此条件下，什么时候△CPD的面积最大呢？学生主动探究：等周长并且有一边长为定值的三角形中，什么样的三角形的面积最大？
学生用课前准备好的细绳和直尺动手操作：假设三角形的一边已经固定，另外两边长度和也确定，通过研究动点的轨迹得出，当三点构成等腰三角形时，△ABC的面积最大。
学生探究得出结论后，问题自然就解决了。通过探究学习，学生能很好地理解题目的本质，对知识点的理解也更为深刻。
三、以重要概念为载体，逐步提升学生对数学本质的理解
新课标强调对于数学概念的理解要以螺旋上升的方式教学，这就要求教师清楚学生的认知规律、知识现状，只有知道学生的提升点在哪儿，才能依据新课标要求培养学生的认知能力。“自然这一巨著是用数学符号写成的。”（伽利略）数学知识的抽象性决定了其应用的广泛性。所以学生对于每次引入的符号都要清楚地理解。对于“函数”这一数学核心概念，从小学到初中的教材中已做了很多的铺垫。首先，任何数字都是抽象的，它舍弃了观察对象的其他一切属性，而只关注其数量。数字“1”既可以代表一只笔，也可以代表一个苹果或一本书。数字“1”就是忽略了笔、苹果、书等事物的差异，而只从数量上加以抽象。其次，当遇到用数字难以表示的三种数：未知的数、任意的数、变化的数，就用字母来表示，进而出现了表示数的式子，这是进一步的抽象。虽然字母表示数也使数学变得抽象、难懂，但这极大地丰富了数学的内容，考查代数式之间的关系时就出现了方程、不等式；当一字母表示另外一个代数式的值时，就出现了一个数的变化引起另外一个数的变化，也就有了函数的影子，甚至有人认为代数式就是函数。至于函数y=f（x），则是更进一步的抽象。
除了讲函数的章节，在其他章节的教学中，教师要抓住时机深化对函数思想的理解。在双曲线的渐近线的教学中，怎样更好地引入双曲线的渐近线就是一个例证。在一次听课的讨论中，发现有些教师对渐近线的引入存在疑惑与误区。下面摘录几位教师的发言：
师1：令■-■=0可以解出渐近线方程，感觉很突兀，有没有好的解释？
师2：令■-■=1，■，■…当1→0时，双曲线就退化为渐近线。
师3：为什么会出现渐近线？怎么合适地提出渐近线？
师4：有的教师用电脑先画出直线y=±■x，再让学生看双曲线与直线无限接近。
师5： x2-y2=0 x-y
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x2，y2越大，x-y就越小。
平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题。现在根据双曲线方程研究曲线的性质，若用电脑先画出直线y=±■x，再让学生看双曲线与直线无限接近，这样就背离了解析几何的本质特征。从上面的例子也可以看出，问题集中在怎样使渐近线的引入更合理、更自然。若按课本上写的“双曲线向外无限延伸时，总局限于直线y=■x和直线y=-■x相交而分平面所成的、含双曲线焦点的两个角域内，并与两直线无限接近……”这样又像变魔术一样变出一个渐近线，学生也不易理解。为了使渐近线的引入更加合理、自然，我们可以做两方面的铺垫：
首先，给出学生比较熟悉的几类函数且其图象有渐近线。如y=■，y=ax，y=logxa，这些函数的图象都有渐近线，有了这些内容作为基础，可以考查函数y=x-■的图象，但为了准确地画出它的图象，我们需要把它的另外一条渐近线y=x画出来（如图5）。
其次，利用双曲线的对称性，把双曲线的作图问题转化为某一范围内函数的作图问题。可以先画双曲线■-■=1的图象，将双曲线的方程变形为y=±■■=±■x■，利用双曲线的对称性，可以只考查双曲线在第一象限的部分，即函数y=■■=■x■（x≥4）（如图6）。现阶段虽然没有极限的内容，但是学生已经有了极限的思想，所以当值越来越大时，y的值趋近于■x是不难理解的，然后再推广到一般情形。总之，函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型，要结合具体问题，让学生不断加深对函数概念本质的认识和理解，这样有利于学生对这一特定的、重要的变量之间关系的认识，有利于学生对数学与现实世界之间联系的认识。教师只有挖掘数学知识的本质、揭示数学思维的特征，才有可能让学生受益终身，才能使我们的教学更有意义。
参考文献：
[1]数学课程标准研制组.数学课程标准解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.
[2]杨世明，王雪琴.数学发现的艺术[M].青岛：青岛海洋大学出版社，1998.
[3]张鹤.张鹤——分享数学智慧的人[M].北京：中国大百科全书出版社，2012.