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在多年的教学中我发现学生有一个容易忽视的的问题,那就是解题后的反思,未能形成良好的解题习惯,所以未能在解题能力和思维品质的更深和更高层次上得到有效提升.为了提高学生的解题能力,教师应重视加强训练学生进行有效的解题反思.
一、反思解题过程,探究思想方法
解题后,引导学生领悟并反思解题过程,把离散的经验和结构化程度低的数学思想方法概括出来,以便迁移到不同情境中去.
例1已知函数 f(x)是奇函数,而且在(0,+∞)上是增函数.试问 f(x)在(-∞,0)是增函数还是减函数?
解:设x1<0,x2<0,且x1 因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2) (1)
由假设可知-x1>0,-x2>0,且-x1>-x2.
又 f(x)在(0,+∞)上是增函数,于是有 f(-x1)> f(-x2) (2)
把(1)代入(2)得:-f(x1) >-f(x2).
所以 f(x1)< f(x2),故函数 f(x)在(-∞,0)在上是增函数.
解题后,我让学生反思解题过程,剖析解题步骤,思考解决这个问题的切入点或突破口在何处,然后组织学生讨论,最后引导学生得出解决的突破口在于两个“转化”:一是通过将考虑的两个自变量x1、x2转化为考虑其相反数-x1、-x2,把问题转化到区间(0,+∞)上,从而可以利用已知条件入手;二是借助奇函数的特征式 f(-x)=-f(x),把问题重新转化回到区间(-∞,0)上来,完成解答.这样的一番探究,让学生明白转化是解决问题的关键,转化思想自然就“显山露水”了.
二、反思一题多解,拓展思维空间
一题多解可以将学生的单向思维转变为多向思维,拓宽视野.对于同一道题,从不同的角度去分析,可能会得到不同的启示,从而引出多种不同的解法;或者通过不同侧面的观察,让学生的思维触角伸向不同的方向,摆脱固定的思维方式,发现思维过程中的不足,以完善思维过程.
例2设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=()
A. B.C.D.
学生首先想到的是用等差数列的通项公式和求和公式来求解,容易得出以下两种解法:
解法一:设{an}的首项为a1,公差为d,则由==,所以a1=2d,所以===,选A.
解法二:因为S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,设公差为d,由=得S6=3S3,所以d=S3,再由S9-S6=S3+2d,得S9=6S3.同理可得S12=10S3,所以==,选A.
当学生感到满足时,我便不失时机地启发学生,让他们观察等差数列通项公式和求和公式的结构特点.学生通过讨论,发现这两个公式其实就是以n为自变量的一次函数和二次函数,于是便顺理成章地引出下面两解.
解法三:设Sn=an2+bn,由==得b=3a,则===,选A.
解法四:由{an}为等差数列知f(n)=表示的点在一条直线上,三点(3,),(6,),(12,)共线,即=,而S3=,故=,整理得=,选A.
这样由易到难、由浅入深的启发诱导,不仅符合认识规律,而且沟通了数列与函数之间的关系.通过比较,优化和发展了学生的思维.
三、反思错解原因,提高辨错能力
有的题目解题条件隐蔽,有的题目故意设置迷惑条件,解题时需要在大量题设信息中捕捉相关的学科信息,归纳成学科中的问题,再通过对相关知识点的串联、并联、迁移、转换、分析、综合等加以解决.但在解题过程中,可能会出现这样或那样的错误.
例3已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.
错解一:∵1=+≥2=,∴≥6. ∴ x+y≥2≥2×6=12.
错解二:x+y=(+)•(x+y)≥2×2=12.
分析:运用基本不等式:a>0,b>≥(当且仅当a=b时,等号成立)解决最值问题时必须做到“一正、二定、三相等”,而上面两种解法没有满足“定”的条件.
正解:∵ x>0,y>0,+=1.
∴ x+y=(+)•(x+y)=10++≥10+2=16.
当且仅当=+,即x=4,y=12时,x+y取最小值16.
四、反思一题多变,提高应变能力
解答完一些典型的题目后,对原题可作适当的引申或结构的改变,如多角度提问,增加、减少或改变一些条件及逆向命题等,增加知识的覆盖面和串联性,将题目进行更高层次的纵向挖掘,横向延伸.
例4如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上任意一点.求证:平面PAC⊥平面PBC.
证明:∵ PA⊥⊙O所在平面,BC在⊙O所在平面
∴ PA⊥BC
又BC⊥AC
∴ BC⊥平面PAC
∵ BC平面PBC
∴ 平面PAC⊥平面PBC.
这是一个非常典型的习题,我们可对它进行挖掘、探索、拓广.
1. 保留题设,改变结论
变题1:若令∠PBA=1,∠ABC=2,∠PBC=θ,求证cosθ=cosθ1cosθ2,这是立体几何中很重要的一个公式,简称三角余弦公式.
分析:在Rt△ACB中,cosθ=
在Rt△PAB中,cosθ1=
在Rt△PCB中,cosθ=
∴ cosθ=cosθ1cosθ2.
还可得出一个结论:设PB与平面PAC和平面ABC所成的角分别为θ和,则θ+<90°.
变题2:在三棱锥P-ABC中存在外接球且PB是外接球的直径.
变题3:在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,侧面PAC和侧面PCB成直二角,若∠BPC=45°,PC=a,求这个三棱柱外接球的体积.
2. 增设条件、衍化结论
变题1:在原题重要条件下,若DE垂直平分PB,且分别交AB、PB于D、E,又PA=AC,PC=BC,求二面角B-CD-E的大小.
在此题设条件还可以得出如下结论:①求二面角A-PB-C的大小(即∠CED=arccos);②求截面CDE把三棱锥P-ABC分成的二部分的体积之比(1∶2).
变题2:在原题条件下,设∠BAC=θ(0°<θ<90°),PA=AB=2,①求异面直线PB与AC所成角;②求异面直线PB和AC的距离.
责任编辑罗峰
一、反思解题过程,探究思想方法
解题后,引导学生领悟并反思解题过程,把离散的经验和结构化程度低的数学思想方法概括出来,以便迁移到不同情境中去.
例1已知函数 f(x)是奇函数,而且在(0,+∞)上是增函数.试问 f(x)在(-∞,0)是增函数还是减函数?
解:设x1<0,x2<0,且x1
由假设可知-x1>0,-x2>0,且-x1>-x2.
又 f(x)在(0,+∞)上是增函数,于是有 f(-x1)> f(-x2) (2)
把(1)代入(2)得:-f(x1) >-f(x2).
所以 f(x1)< f(x2),故函数 f(x)在(-∞,0)在上是增函数.
解题后,我让学生反思解题过程,剖析解题步骤,思考解决这个问题的切入点或突破口在何处,然后组织学生讨论,最后引导学生得出解决的突破口在于两个“转化”:一是通过将考虑的两个自变量x1、x2转化为考虑其相反数-x1、-x2,把问题转化到区间(0,+∞)上,从而可以利用已知条件入手;二是借助奇函数的特征式 f(-x)=-f(x),把问题重新转化回到区间(-∞,0)上来,完成解答.这样的一番探究,让学生明白转化是解决问题的关键,转化思想自然就“显山露水”了.
二、反思一题多解,拓展思维空间
一题多解可以将学生的单向思维转变为多向思维,拓宽视野.对于同一道题,从不同的角度去分析,可能会得到不同的启示,从而引出多种不同的解法;或者通过不同侧面的观察,让学生的思维触角伸向不同的方向,摆脱固定的思维方式,发现思维过程中的不足,以完善思维过程.
例2设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=()
A. B.C.D.
学生首先想到的是用等差数列的通项公式和求和公式来求解,容易得出以下两种解法:
解法一:设{an}的首项为a1,公差为d,则由==,所以a1=2d,所以===,选A.
解法二:因为S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,设公差为d,由=得S6=3S3,所以d=S3,再由S9-S6=S3+2d,得S9=6S3.同理可得S12=10S3,所以==,选A.
当学生感到满足时,我便不失时机地启发学生,让他们观察等差数列通项公式和求和公式的结构特点.学生通过讨论,发现这两个公式其实就是以n为自变量的一次函数和二次函数,于是便顺理成章地引出下面两解.
解法三:设Sn=an2+bn,由==得b=3a,则===,选A.
解法四:由{an}为等差数列知f(n)=表示的点在一条直线上,三点(3,),(6,),(12,)共线,即=,而S3=,故=,整理得=,选A.
这样由易到难、由浅入深的启发诱导,不仅符合认识规律,而且沟通了数列与函数之间的关系.通过比较,优化和发展了学生的思维.
三、反思错解原因,提高辨错能力
有的题目解题条件隐蔽,有的题目故意设置迷惑条件,解题时需要在大量题设信息中捕捉相关的学科信息,归纳成学科中的问题,再通过对相关知识点的串联、并联、迁移、转换、分析、综合等加以解决.但在解题过程中,可能会出现这样或那样的错误.
例3已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.
错解一:∵1=+≥2=,∴≥6. ∴ x+y≥2≥2×6=12.
错解二:x+y=(+)•(x+y)≥2×2=12.
分析:运用基本不等式:a>0,b>≥(当且仅当a=b时,等号成立)解决最值问题时必须做到“一正、二定、三相等”,而上面两种解法没有满足“定”的条件.
正解:∵ x>0,y>0,+=1.
∴ x+y=(+)•(x+y)=10++≥10+2=16.
当且仅当=+,即x=4,y=12时,x+y取最小值16.
四、反思一题多变,提高应变能力
解答完一些典型的题目后,对原题可作适当的引申或结构的改变,如多角度提问,增加、减少或改变一些条件及逆向命题等,增加知识的覆盖面和串联性,将题目进行更高层次的纵向挖掘,横向延伸.
例4如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上任意一点.求证:平面PAC⊥平面PBC.
证明:∵ PA⊥⊙O所在平面,BC在⊙O所在平面
∴ PA⊥BC
又BC⊥AC
∴ BC⊥平面PAC
∵ BC平面PBC
∴ 平面PAC⊥平面PBC.
这是一个非常典型的习题,我们可对它进行挖掘、探索、拓广.
1. 保留题设,改变结论
变题1:若令∠PBA=1,∠ABC=2,∠PBC=θ,求证cosθ=cosθ1cosθ2,这是立体几何中很重要的一个公式,简称三角余弦公式.
分析:在Rt△ACB中,cosθ=
在Rt△PAB中,cosθ1=
在Rt△PCB中,cosθ=
∴ cosθ=cosθ1cosθ2.
还可得出一个结论:设PB与平面PAC和平面ABC所成的角分别为θ和,则θ+<90°.
变题2:在三棱锥P-ABC中存在外接球且PB是外接球的直径.
变题3:在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,侧面PAC和侧面PCB成直二角,若∠BPC=45°,PC=a,求这个三棱柱外接球的体积.
2. 增设条件、衍化结论
变题1:在原题重要条件下,若DE垂直平分PB,且分别交AB、PB于D、E,又PA=AC,PC=BC,求二面角B-CD-E的大小.
在此题设条件还可以得出如下结论:①求二面角A-PB-C的大小(即∠CED=arccos);②求截面CDE把三棱锥P-ABC分成的二部分的体积之比(1∶2).
变题2:在原题条件下,设∠BAC=θ(0°<θ<90°),PA=AB=2,①求异面直线PB与AC所成角;②求异面直线PB和AC的距离.
责任编辑罗峰