问题的提出 已知函数 32 1()3f x x ax bx =++ ,且 (1) 0 f ′ −= . (Ⅰ)试用含a的代数式表示b ,并求 () f x 的单调区间; (Ⅱ)令 1 a =− ,设函数 () f x 在 1 x , 2 x( 12 x x < )处取得极值,记点 11 (()) M xfx , , 22 (()) Nx f x , ,(()) Pm f m , , 12 x mx << ,请仔细观察曲线 () f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势, 并解答以下问题: (ⅰ)若对任意的 2 () mtx ∈ , ,线段MP 与曲线() fx 均有异于M ,P 的公共点,试确定t 的最小值,并证明你的结论; (ⅱ)若存在点 (()) Qn f n , , 1 x nm ≤< ,使得线段PQ 与曲线 () fx 有异于P 、Q 的公共点,请直接写出m的取值范围(不必给出求解过程) .
　　本题为 2009 年高考福建理科卷第 20 题,试题函数、导数等基础知识为载体,考查数学能力和识,注意一题多解,考生可根据自己的思维习惯,不同的思考角度探索解决问题的方法.