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摘要:笔者利用初等数学方法证明了安振平教师提出的第1、2和15个优美不等式问题的证明.
关键词:优美不等式;初等数学方法
安振平教师在《二十六个优美不等式》中提出了二十六个优美的不等式问题,吸引了大家的兴趣,其中第10个和第14个优美不等式已经分别由尚生陈和邹生书解决了. 本文将给出第1、2和15个优美不等式问题的证明.
第1个优美不等式问题
设a,b,c为正实数,且a≥b≥c,求证:
++≥a+b+c.?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇 (1)
证明不等式(1)等价于证明-a+-b≥c-,
等价于证明+≥=+.
因为a≥b≥c,所以≥,≥,
从而≥,≥,因此+≥+=.
于是不等式(1)成立.
第2个优美不等式问题
设a,b,c为正实数,求证:
++≥a+b+c.?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇(2)
证明不妨设a≥b≥c,不等式(2)等价于++≥a+b+c,等价于证明++≥a+b+c,
等价于证明-a+-b+-c≥0,
等价于证明++≥0,
等价于证明ab(a2-b2)-+ac(a2-c2)-+bc(b2-c2)-≥0,
即ab+ac+bc≥0.
因为a≥b≥c,,所以上式成立,因此不等式(2)成立.
第15个优美不等式问题
设a,b为正数,n为正整数,求证:
a+b≤a+b≤a+b. (3)
证明不妨设a≤b,等式(3)等价于证明两个不等式:
a+b≤a+b,(4)
且a+b≤a+b. (5)
不等式(4)等价于证明a≤b.
又a≤b,所以=≤=,从而易得不等式(4)成立.
同理,不等式(5)整理得
a≤b
因为a≤b,所以≤,从而易得不等式(5)成立.
综上,不等式(3)成立.
关键词:优美不等式;初等数学方法
安振平教师在《二十六个优美不等式》中提出了二十六个优美的不等式问题,吸引了大家的兴趣,其中第10个和第14个优美不等式已经分别由尚生陈和邹生书解决了. 本文将给出第1、2和15个优美不等式问题的证明.
第1个优美不等式问题
设a,b,c为正实数,且a≥b≥c,求证:
++≥a+b+c.?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇 (1)
证明不等式(1)等价于证明-a+-b≥c-,
等价于证明+≥=+.
因为a≥b≥c,所以≥,≥,
从而≥,≥,因此+≥+=.
于是不等式(1)成立.
第2个优美不等式问题
设a,b,c为正实数,求证:
++≥a+b+c.?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇(2)
证明不妨设a≥b≥c,不等式(2)等价于++≥a+b+c,等价于证明++≥a+b+c,
等价于证明-a+-b+-c≥0,
等价于证明++≥0,
等价于证明ab(a2-b2)-+ac(a2-c2)-+bc(b2-c2)-≥0,
即ab+ac+bc≥0.
因为a≥b≥c,,所以上式成立,因此不等式(2)成立.
第15个优美不等式问题
设a,b为正数,n为正整数,求证:
a+b≤a+b≤a+b. (3)
证明不妨设a≤b,等式(3)等价于证明两个不等式:
a+b≤a+b,(4)
且a+b≤a+b. (5)
不等式(4)等价于证明a≤b.
又a≤b,所以=≤=,从而易得不等式(4)成立.
同理,不等式(5)整理得
a≤b
因为a≤b,所以≤,从而易得不等式(5)成立.
综上,不等式(3)成立.