一、合情推理
　　合情推理是合乎情理的推理，是根据已有的知识、经验在某种情境和过程中推出可能性结论的推理. 主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、自觉、顿悟、灵感等思维过程或形式．合情推理包含归纳推理和类比推理两类：归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理．运用这两种推理所得的结论颇具偶然性，结论的可靠性有待进一步研究与证明．比如，已知[f(n)=-n2+5n-3]，可以[f(1)=1>0]，[f(2)=3>0]，[f(3)=3>0]，[f(4)=1>0]，若推出“对于任意的[n∈N*]，都有[f(n)>0]”，则这个结论是错误的，显然有当[n=5]时，[f(5)=-3<0]．但若推出“当[n∈N*,n4]，则有[f(n)>0]，当[n∈N*,n5]时，[f(n)<0]”，这一结论就是对的！又如，“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”，若类比为“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行”，则此结论是错误的，而若类比为“在空间与同一条直线垂直的两个平面平行”，此结论显然是正确的．
　　例1 半径为[r]的圆的面积[S(r)=π⋅r2]，周长[C(r)=2π⋅r]①，若将[r]看作[(0,+∞)]上的变量，则[(π⋅r2)=2π⋅r]，该式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为[R]的球，若将[R]看作[(0,+∞)]上的变量，请你写出类似于①的式子： ，该式用语言叙述为 .
　　例2 在等差数列[{an}]中，若[a10=0]，则有等式[a1＋a2＋…＋an=a1＋a2＋…＋a19－n][(n＜19，n∈N*)]成立. 类比上述性质，在等比数列[{bn}]中，若[b9=1]，则有等式 成立.
　　例3 在平面几何里，有勾股定理：“设[△ABC]的两边[AB、AC]互相垂直，则[AB2＋AC2=BC2].”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥[A-BCD]的三个侧面[ABC]、[ACD]、[ADB]两两相互垂直，则 .”
　　答案 1.①[(43πR3)=4πR2]，②球的体积函数的导数等于球的表面积函数 2.[b1b2⋯bn=b1b2⋯b17-n][(n＜17，n∈N*)] 3.[S2ΔABC+S2ΔACD+S2ΔADB=S2△BCD]
　　
　　二、演绎推理
　　演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理又称为逻辑推理．演绎推理是一般到特殊的模式即“三段论”：（ⅰ）大前提：已知的一般原理（[M]是[P]）；（ⅱ）小前提：所研究的特殊情况（[S]是[M]）；（ⅲ）结论：由一般原理对特殊情况作出判断（+S是[P]）. 在使用演绎推理时，常常有以下三种形式的三段论表达方式.
　　1. 显性三段论
　　可以较清楚地看出“大前提”“小前提”“结论”.
　　例4 若定义在区间[D]上的函数[f(x)]对于[D]上的[n]个值[x1,x2,⋯,xn]，总满足[1n[f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)]][f(x1+x2+⋯+xnn)]，称函数[f(x)]为D上的凸函数.现已知[f(x)=sinx]在[(0,π)]上是凸函数，则[△ABC]中，[sinA+sinB+sinC]的最大值是 ．
　　解析 所有凸函数[f(x)]满足：[1n[f(x1)+f(x2)+][⋯+f(xn)]][f(x1+x2+⋯+xnn)]，（大前提）
　　而函数[f(x)=sinx]在[(0,π)]上是凸函数，（小前提）
　　所以[f(A)+f(B)+F(C)3f(A+B+C3)].（结论）
　　即[sinA+sinB+sinC3sinπ3=332].
　　因此，[sinA+sinB+sinC]的最大值是[332]．
　　2. 隐性三段论
　　三段论在证明或推理过程中，不一定都是清晰的. 特别是大前提，很多是早已熟悉的定理、性质、定义，在证明和推理的过程中可以直接利用，省去表述．
　　例5 证明：函数[f(x)=-x2+2x]在[(-∞,1)]内是增函数．
　　证明 [f(x)=-2x+2]，
　　因为当[x∈(-∞,1)]时，有[1-x>0]，
　　所以[f(x)=-2x+2=2(1-x)>0].
　　故函数[f(x)=-x2+2x]在[(-∞,1)]内是增函数．
　　点拨 本例好像没有用到演绎推理的三段论，其实大前提“在某个区间[(a,b)]内，如果[f(x)>0]，那么函数[y=f(x)]在这个区间内单调递增”是大家熟悉的定义，在推理过程中省略了．
　　3. 复式三段论
　　一个复杂问题的证明或推理，往往不是一次三段论就可以解决的，可能需要多次使用三段论. 先从一个熟悉的大前提出发，产生一个结论，而这个新得出的结论又是下一步的大前提，依次递推下去，最终得出结论．
　　例6 已知[a,b,m∈R+]，且[b　　证明 [∵b0,]
　　[∴mb　　[∴mb+ab　　[∴ba　　点拨 本题的论证共使用了三次演绎推理：第一层，大前提“不等式两边乘以同一个正数，不等号不变”；小前提“[b0]”；结论“[mb0]”；结论“[ba　　
　　三、合情推理与演绎推理的有机结合
　　合情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；合情推理是演绎推理的前提，演绎推理论证合情推理的可靠性.
　　例7 已知函数[y=x+ax(a>0)]在[(0,a]]上是减函数，在[[a,+∞)]上是增函数.
　　（1）如果函数[y=x+2bx(x>0)]的值域为[[6,+∞)]，求[b]的值；
　　（2）研究函数[y=x2+cx2(c>0)]在定义域内的单调性，并说明理由；
　　（3）对函数[y=x+ax(a>0)]和[y=x2+cx2(c>0)]作出推广，使它们都是你所推广函数的特例，研究并证明推广后的函数的单调性.
　　解析 （1）[b=2log23].
　　（2）令[t=x2]，显然函数[y=t+ct]在[(0,c]]上是减函数，在[[c,+∞)]上是增函数. 由[x2c]得[-c4xc4]；由[x2c]得[x-c4]或[xc4]. 又因为[t=x2]在[(-∞,0]]上是减函数，在[[0,+∞)]上是增函数，于是利用复合函数的单调性知，函数[y=x2+cx2(c>0)]在[(-∞,-c4]]和[(0,c4]]上单调递减，在[[-c4,0)]和[[c4,+∞)]上单调递增.
　　（3）推广结论：对函数[y=xn+axn(a>0)]，当[n]为正奇数时，函数在[(-∞,-a2n]]和[[a2n,+∞)]上是增函数，在[[-a2n,0)]和[(0,a2n]]上是减函数. 当[n]为正偶数时，函数在[(-∞,-a2n]]和[(0,a2n]]上是减函数，在[[-a2n,0)]和[[a2n,+∞)]上是增函数.
　　证明： [y=nxn-1-nax-n-1].
　　当[n]为正奇数时，由[y>0]得，[x>a2n或x<-a2n]，所以函数在[(-∞,-a2n)]和[[a2n,+∞)]上是增函数. 又由[y<0]得，[-a2n　　当[n]为正偶数时，由[y>0]得，[x>a2n或-a2n　　（说明：也可以先考查函数在[(0,+∞)]内的单调性后，再利用函数的奇偶性加以完善.）