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一、合情推理
合情推理是合乎情理的推理,是根据已有的知识、经验在某种情境和过程中推出可能性结论的推理. 主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、自觉、顿悟、灵感等思维过程或形式.合情推理包含归纳推理和类比推理两类:归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理;而类比推理是由特殊到特殊的推理.运用这两种推理所得的结论颇具偶然性,结论的可靠性有待进一步研究与证明.比如,已知[f(n)=-n2+5n-3],可以[f(1)=1>0],[f(2)=3>0],[f(3)=3>0],[f(4)=1>0],若推出“对于任意的[n∈N*],都有[f(n)>0]”,则这个结论是错误的,显然有当[n=5]时,[f(5)=-3<0].但若推出“当[n∈N*,n4],则有[f(n)>0],当[n∈N*,n5]时,[f(n)<0]”,这一结论就是对的!又如,“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”,若类比为“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行”,则此结论是错误的,而若类比为“在空间与同一条直线垂直的两个平面平行”,此结论显然是正确的.
例1 半径为[r]的圆的面积[S(r)=π⋅r2],周长[C(r)=2π⋅r]①,若将[r]看作[(0,+∞)]上的变量,则[(π⋅r2)=2π⋅r],该式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为[R]的球,若将[R]看作[(0,+∞)]上的变量,请你写出类似于①的式子: ,该式用语言叙述为 .
例2 在等差数列[{an}]中,若[a10=0],则有等式[a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n][(n<19,n∈N*)]成立. 类比上述性质,在等比数列[{bn}]中,若[b9=1],则有等式 成立.
例3 在平面几何里,有勾股定理:“设[△ABC]的两边[AB、AC]互相垂直,则[AB2+AC2=BC2].”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得到的正确结论是:“设三棱锥[A-BCD]的三个侧面[ABC]、[ACD]、[ADB]两两相互垂直,则 .”
答案 1.①[(43πR3)=4πR2],②球的体积函数的导数等于球的表面积函数 2.[b1b2⋯bn=b1b2⋯b17-n][(n<17,n∈N*)] 3.[S2ΔABC+S2ΔACD+S2ΔADB=S2△BCD]
二、演绎推理
演绎推理是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理又称为逻辑推理.演绎推理是一般到特殊的模式即“三段论”:(ⅰ)大前提:已知的一般原理([M]是[P]);(ⅱ)小前提:所研究的特殊情况([S]是[M]);(ⅲ)结论:由一般原理对特殊情况作出判断(+S是[P]). 在使用演绎推理时,常常有以下三种形式的三段论表达方式.
1. 显性三段论
可以较清楚地看出“大前提”“小前提”“结论”.
例4 若定义在区间[D]上的函数[f(x)]对于[D]上的[n]个值[x1,x2,⋯,xn],总满足[1n[f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)]][f(x1+x2+⋯+xnn)],称函数[f(x)]为D上的凸函数.现已知[f(x)=sinx]在[(0,π)]上是凸函数,则[△ABC]中,[sinA+sinB+sinC]的最大值是 .
解析 所有凸函数[f(x)]满足:[1n[f(x1)+f(x2)+][⋯+f(xn)]][f(x1+x2+⋯+xnn)],(大前提)
而函数[f(x)=sinx]在[(0,π)]上是凸函数,(小前提)
所以[f(A)+f(B)+F(C)3f(A+B+C3)].(结论)
即[sinA+sinB+sinC3sinπ3=332].
因此,[sinA+sinB+sinC]的最大值是[332].
2. 隐性三段论
三段论在证明或推理过程中,不一定都是清晰的. 特别是大前提,很多是早已熟悉的定理、性质、定义,在证明和推理的过程中可以直接利用,省去表述.
例5 证明:函数[f(x)=-x2+2x]在[(-∞,1)]内是增函数.
证明 [f(x)=-2x+2],
因为当[x∈(-∞,1)]时,有[1-x>0],
所以[f(x)=-2x+2=2(1-x)>0].
故函数[f(x)=-x2+2x]在[(-∞,1)]内是增函数.
点拨 本例好像没有用到演绎推理的三段论,其实大前提“在某个区间[(a,b)]内,如果[f(x)>0],那么函数[y=f(x)]在这个区间内单调递增”是大家熟悉的定义,在推理过程中省略了.
3. 复式三段论
一个复杂问题的证明或推理,往往不是一次三段论就可以解决的,可能需要多次使用三段论. 先从一个熟悉的大前提出发,产生一个结论,而这个新得出的结论又是下一步的大前提,依次递推下去,最终得出结论.
例6 已知[a,b,m∈R+],且[b 证明 [∵b0,]
[∴mb [∴mb+ab [∴ba 点拨 本题的论证共使用了三次演绎推理:第一层,大前提“不等式两边乘以同一个正数,不等号不变”;小前提“[b0]”;结论“[mb0]”;结论“[ba
三、合情推理与演绎推理的有机结合
合情推理是由特殊到一般的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理;合情推理是演绎推理的前提,演绎推理论证合情推理的可靠性.
例7 已知函数[y=x+ax(a>0)]在[(0,a]]上是减函数,在[[a,+∞)]上是增函数.
(1)如果函数[y=x+2bx(x>0)]的值域为[[6,+∞)],求[b]的值;
(2)研究函数[y=x2+cx2(c>0)]在定义域内的单调性,并说明理由;
(3)对函数[y=x+ax(a>0)]和[y=x2+cx2(c>0)]作出推广,使它们都是你所推广函数的特例,研究并证明推广后的函数的单调性.
解析 (1)[b=2log23].
(2)令[t=x2],显然函数[y=t+ct]在[(0,c]]上是减函数,在[[c,+∞)]上是增函数. 由[x2c]得[-c4xc4];由[x2c]得[x-c4]或[xc4]. 又因为[t=x2]在[(-∞,0]]上是减函数,在[[0,+∞)]上是增函数,于是利用复合函数的单调性知,函数[y=x2+cx2(c>0)]在[(-∞,-c4]]和[(0,c4]]上单调递减,在[[-c4,0)]和[[c4,+∞)]上单调递增.
(3)推广结论:对函数[y=xn+axn(a>0)],当[n]为正奇数时,函数在[(-∞,-a2n]]和[[a2n,+∞)]上是增函数,在[[-a2n,0)]和[(0,a2n]]上是减函数. 当[n]为正偶数时,函数在[(-∞,-a2n]]和[(0,a2n]]上是减函数,在[[-a2n,0)]和[[a2n,+∞)]上是增函数.
证明: [y=nxn-1-nax-n-1].
当[n]为正奇数时,由[y>0]得,[x>a2n或x<-a2n],所以函数在[(-∞,-a2n)]和[[a2n,+∞)]上是增函数. 又由[y<0]得,[-a2n 当[n]为正偶数时,由[y>0]得,[x>a2n或-a2n (说明:也可以先考查函数在[(0,+∞)]内的单调性后,再利用函数的奇偶性加以完善.)
合情推理是合乎情理的推理,是根据已有的知识、经验在某种情境和过程中推出可能性结论的推理. 主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、自觉、顿悟、灵感等思维过程或形式.合情推理包含归纳推理和类比推理两类:归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理;而类比推理是由特殊到特殊的推理.运用这两种推理所得的结论颇具偶然性,结论的可靠性有待进一步研究与证明.比如,已知[f(n)=-n2+5n-3],可以[f(1)=1>0],[f(2)=3>0],[f(3)=3>0],[f(4)=1>0],若推出“对于任意的[n∈N*],都有[f(n)>0]”,则这个结论是错误的,显然有当[n=5]时,[f(5)=-3<0].但若推出“当[n∈N*,n4],则有[f(n)>0],当[n∈N*,n5]时,[f(n)<0]”,这一结论就是对的!又如,“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”,若类比为“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行”,则此结论是错误的,而若类比为“在空间与同一条直线垂直的两个平面平行”,此结论显然是正确的.
例1 半径为[r]的圆的面积[S(r)=π⋅r2],周长[C(r)=2π⋅r]①,若将[r]看作[(0,+∞)]上的变量,则[(π⋅r2)=2π⋅r],该式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为[R]的球,若将[R]看作[(0,+∞)]上的变量,请你写出类似于①的式子: ,该式用语言叙述为 .
例2 在等差数列[{an}]中,若[a10=0],则有等式[a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n][(n<19,n∈N*)]成立. 类比上述性质,在等比数列[{bn}]中,若[b9=1],则有等式 成立.
例3 在平面几何里,有勾股定理:“设[△ABC]的两边[AB、AC]互相垂直,则[AB2+AC2=BC2].”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得到的正确结论是:“设三棱锥[A-BCD]的三个侧面[ABC]、[ACD]、[ADB]两两相互垂直,则 .”
答案 1.①[(43πR3)=4πR2],②球的体积函数的导数等于球的表面积函数 2.[b1b2⋯bn=b1b2⋯b17-n][(n<17,n∈N*)] 3.[S2ΔABC+S2ΔACD+S2ΔADB=S2△BCD]
二、演绎推理
演绎推理是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理又称为逻辑推理.演绎推理是一般到特殊的模式即“三段论”:(ⅰ)大前提:已知的一般原理([M]是[P]);(ⅱ)小前提:所研究的特殊情况([S]是[M]);(ⅲ)结论:由一般原理对特殊情况作出判断(+S是[P]). 在使用演绎推理时,常常有以下三种形式的三段论表达方式.
1. 显性三段论
可以较清楚地看出“大前提”“小前提”“结论”.
例4 若定义在区间[D]上的函数[f(x)]对于[D]上的[n]个值[x1,x2,⋯,xn],总满足[1n[f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)]][f(x1+x2+⋯+xnn)],称函数[f(x)]为D上的凸函数.现已知[f(x)=sinx]在[(0,π)]上是凸函数,则[△ABC]中,[sinA+sinB+sinC]的最大值是 .
解析 所有凸函数[f(x)]满足:[1n[f(x1)+f(x2)+][⋯+f(xn)]][f(x1+x2+⋯+xnn)],(大前提)
而函数[f(x)=sinx]在[(0,π)]上是凸函数,(小前提)
所以[f(A)+f(B)+F(C)3f(A+B+C3)].(结论)
即[sinA+sinB+sinC3sinπ3=332].
因此,[sinA+sinB+sinC]的最大值是[332].
2. 隐性三段论
三段论在证明或推理过程中,不一定都是清晰的. 特别是大前提,很多是早已熟悉的定理、性质、定义,在证明和推理的过程中可以直接利用,省去表述.
例5 证明:函数[f(x)=-x2+2x]在[(-∞,1)]内是增函数.
证明 [f(x)=-2x+2],
因为当[x∈(-∞,1)]时,有[1-x>0],
所以[f(x)=-2x+2=2(1-x)>0].
故函数[f(x)=-x2+2x]在[(-∞,1)]内是增函数.
点拨 本例好像没有用到演绎推理的三段论,其实大前提“在某个区间[(a,b)]内,如果[f(x)>0],那么函数[y=f(x)]在这个区间内单调递增”是大家熟悉的定义,在推理过程中省略了.
3. 复式三段论
一个复杂问题的证明或推理,往往不是一次三段论就可以解决的,可能需要多次使用三段论. 先从一个熟悉的大前提出发,产生一个结论,而这个新得出的结论又是下一步的大前提,依次递推下去,最终得出结论.
例6 已知[a,b,m∈R+],且[b 证明 [∵b0,]
[∴mb
三、合情推理与演绎推理的有机结合
合情推理是由特殊到一般的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理;合情推理是演绎推理的前提,演绎推理论证合情推理的可靠性.
例7 已知函数[y=x+ax(a>0)]在[(0,a]]上是减函数,在[[a,+∞)]上是增函数.
(1)如果函数[y=x+2bx(x>0)]的值域为[[6,+∞)],求[b]的值;
(2)研究函数[y=x2+cx2(c>0)]在定义域内的单调性,并说明理由;
(3)对函数[y=x+ax(a>0)]和[y=x2+cx2(c>0)]作出推广,使它们都是你所推广函数的特例,研究并证明推广后的函数的单调性.
解析 (1)[b=2log23].
(2)令[t=x2],显然函数[y=t+ct]在[(0,c]]上是减函数,在[[c,+∞)]上是增函数. 由[x2c]得[-c4xc4];由[x2c]得[x-c4]或[xc4]. 又因为[t=x2]在[(-∞,0]]上是减函数,在[[0,+∞)]上是增函数,于是利用复合函数的单调性知,函数[y=x2+cx2(c>0)]在[(-∞,-c4]]和[(0,c4]]上单调递减,在[[-c4,0)]和[[c4,+∞)]上单调递增.
(3)推广结论:对函数[y=xn+axn(a>0)],当[n]为正奇数时,函数在[(-∞,-a2n]]和[[a2n,+∞)]上是增函数,在[[-a2n,0)]和[(0,a2n]]上是减函数. 当[n]为正偶数时,函数在[(-∞,-a2n]]和[(0,a2n]]上是减函数,在[[-a2n,0)]和[[a2n,+∞)]上是增函数.
证明: [y=nxn-1-nax-n-1].
当[n]为正奇数时,由[y>0]得,[x>a2n或x<-a2n],所以函数在[(-∞,-a2n)]和[[a2n,+∞)]上是增函数. 又由[y<0]得,[-a2n