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摘要:本文通过采用多元线性回归的方法,得到相对最优的回归预测模型。再通过利用GM(1,1)模型,预测出规划年每个变量的值,代入多元回归模型,这样充分利用了两种模型的优点,从而合理预测城市用水量,达到预测精度高,结果更为合理可靠。
关键词:多元线性回归;GM(1,1)模型;预测;城市用水量
城市用水量的大小关系着城市的发展。如何比较准确地预测城市用水量,是政府在城市发展过程中必须解决的极为重要的问题。由于影响城市用水量的因素比较多,而诸多因子间又存在着相关关系,因此,能够尽可能使它们全面反映问题的信息量。所以,城市用水量的预测可以采用综合指标法、平均增长率法等进行经验类推可以取得较好的研究结果。但是,在城市发展进程中,由于受到一些变化因素的影响,其市场数据存在不规则的变化,采用历史数据类推则达不到理想的效果。本文采用多元线性回归法与GM(1,1)模型耦合进行城市用水量预测,充分利用两种模型的优点,从而达到较好的预测结果。
1 多元线性回归模型(MLR)
设有 组观测数据,分别为:
假设这 组数据满足以下关系式:
(1)
(2)
其中, 是( )个有待估计的参数,称为总体回归参数;是 个相互独立的随机变量,其均值都为0,方差为 ,即遵从同一正态分布 ,这就是多元线性回归的数学模型。
2GM(1,1)模型
灰色预测模型(GM)通过对原始数据进行生成处理,使其呈指数趋势变化,建立指数微分方程,最终得到预测模型。而灰色预测主要是对原始数据的处理和灰色模型的建立、发现、掌握系统发展规律,对系统的未来状态作出科学的定量预测。
设 为非负序列, 为 的1-AGO序列, 为 的紧邻均值生成序列, ,则称
(5)
为灰色微分方程
(6)
的白化方程,则
1.白化方程 的解为
(7)
2. 的时间响应序列为
(8)
3.取 ,则
(9)
4.还原值
(10)
3 试验数据统计
影响城市用水量的因素很多,例如人口、经济、工业、供水能力、人均日生活用水量、固定资产值等等。因此根据某城市1999~2005的統计资料,从中选取8个影响因子,见表1。其中 为GDP(万元), 为人均GDP(万元), 为固定资产投资(万元), 为工业个数, 城市人口(万人), 供水总量( ), 为人均日生活用水量(l), 为水资源量( ),建立数学模型,从而对该城市城市的用水量进行预测。
表1城市用水量及其影响因子的基本资料
3.1 运用线性模型
首先,以 为全部自变量,利用1990-2004年的序列资料,采用最小二乘法拟合一个多元回归模型,得
复测定系数
对模型进行 检验: 。查自由度为(6,1)的 分布表,有 , ,,说明线性回归方程显著。
对各参数进行 检验,结果见表2。
表2 自变量模型的 检验结果
查表 , , 。从这个模型可以看出, 检验通过,但在 检验中有个别自变量对 的解释作用不显著,比如 。因此,可以考虑对自变量集合进行调整。
因此,计算水资源量与7个潜在自变量之间的简单相关关系,见表3。选取相关系数最大的自变量首先进入模型。
表3与 的简单相关系数表
首先进入模型:
复测定系数 , 检验值:
检验值: ,
除 外,还有6个潜在自变量在模型外。以 与 为减模型,以 与 再和 中任意一个作为全模型,依次进行偏 检验。在通过 检验的变量中,选择 最大的进入模型。依此类推。得到最终模型为
(4)
对该模型, , 检验值: 。
以2005年的数据进行检验,得到 ,与实测值10351相比,其误差为2.47%,模型的精度还是比较高的。
3.2建立城市用水量的灰色系统GM(1,1)模型
用GM(1,1)模型进行预测,建立GM(1,1)模型至少要有四个数据,这里,以2001-2004的数据,分别建立自变量的灰色GM(1,1)模型,并将2005年实测数据与预测的数据进行对照比较:
根据上述模型2005年的预测值与实测值比较见表4。
表4 2005年各变量预测值与实测值比较
4 MLR与GM(1,1)模型耦合预测
首先,对光滑离散数列的自变量样本采用GM(1,1)模型进行预测,然后将预测结果代入MLR回归模型,即将灰色模型的输出结果作为MLR回归预测方程的输入,从而在较全面考虑各影响因素的基础上,实现GM(1,1)预测模型与MLR回归方程的有机结合,最终取得较高精度的预测结果。
4.1预测结果验证
根据上述预测模型的预测值,代入MLR模型,并与实际状况作比较,结果见表5。
表5 组合方法用水量预测比较
由表5可知,预测结果平均相对误差为0.738%,可以满足城市需水量预测要求。
4.2规划年城市需水量规划年预测
根据各自变量的预测模型,计算出各自变量规划年的预测值,计算结果见表6。
表6 规划年自变量预测
将所预测影响因素规划年的预测数据代入MLR回归模型(4)中,即可得到规划年城市规划年用水量的预测值,见表7。
表7 规划年需水量预测
年份 预测值
2010 11486
2015 12406
5 结论
5.1 首先应用数理统计中的多元线性回归原理,选择影响城市用水量的7个因子,采用向前选择变量法,筛选出影响城市用水量的显著自变量并建立数学模型,这样剔除了多余变量的影响,使得建立的数学模型更具合理性。
5.2 再利用灰色GM(1,1)模型预测出规划年每个变量的值,代入MLR模型,预测精度高,结果更为合理可靠。
参考文献:
[1] 阿克苏地区统计局编.阿克苏统计年鉴1990-2002[M].
[2] 阿克苏地区统计局编.阿克苏统计年鉴2003-2005[M].
[3] 张杰明.试论用多元线性回归法预测城市用水量[J].城市公用事业,2004,18(4):23-25. [4] 刘严.多元线性回归的数学模型[J].沈阳工程学院学报,2005,1(2):128-129.
[5] 邓聚龙.灰理论基础[M].武汉:华中科技大学出版社,2002.
注:文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。
关键词:多元线性回归;GM(1,1)模型;预测;城市用水量
城市用水量的大小关系着城市的发展。如何比较准确地预测城市用水量,是政府在城市发展过程中必须解决的极为重要的问题。由于影响城市用水量的因素比较多,而诸多因子间又存在着相关关系,因此,能够尽可能使它们全面反映问题的信息量。所以,城市用水量的预测可以采用综合指标法、平均增长率法等进行经验类推可以取得较好的研究结果。但是,在城市发展进程中,由于受到一些变化因素的影响,其市场数据存在不规则的变化,采用历史数据类推则达不到理想的效果。本文采用多元线性回归法与GM(1,1)模型耦合进行城市用水量预测,充分利用两种模型的优点,从而达到较好的预测结果。
1 多元线性回归模型(MLR)
设有 组观测数据,分别为:
假设这 组数据满足以下关系式:
(1)
(2)
其中, 是( )个有待估计的参数,称为总体回归参数;是 个相互独立的随机变量,其均值都为0,方差为 ,即遵从同一正态分布 ,这就是多元线性回归的数学模型。
2GM(1,1)模型
灰色预测模型(GM)通过对原始数据进行生成处理,使其呈指数趋势变化,建立指数微分方程,最终得到预测模型。而灰色预测主要是对原始数据的处理和灰色模型的建立、发现、掌握系统发展规律,对系统的未来状态作出科学的定量预测。
设 为非负序列, 为 的1-AGO序列, 为 的紧邻均值生成序列, ,则称
(5)
为灰色微分方程
(6)
的白化方程,则
1.白化方程 的解为
(7)
2. 的时间响应序列为
(8)
3.取 ,则
(9)
4.还原值
(10)
3 试验数据统计
影响城市用水量的因素很多,例如人口、经济、工业、供水能力、人均日生活用水量、固定资产值等等。因此根据某城市1999~2005的統计资料,从中选取8个影响因子,见表1。其中 为GDP(万元), 为人均GDP(万元), 为固定资产投资(万元), 为工业个数, 城市人口(万人), 供水总量( ), 为人均日生活用水量(l), 为水资源量( ),建立数学模型,从而对该城市城市的用水量进行预测。
表1城市用水量及其影响因子的基本资料
3.1 运用线性模型
首先,以 为全部自变量,利用1990-2004年的序列资料,采用最小二乘法拟合一个多元回归模型,得
复测定系数
对模型进行 检验: 。查自由度为(6,1)的 分布表,有 , ,,说明线性回归方程显著。
对各参数进行 检验,结果见表2。
表2 自变量模型的 检验结果
查表 , , 。从这个模型可以看出, 检验通过,但在 检验中有个别自变量对 的解释作用不显著,比如 。因此,可以考虑对自变量集合进行调整。
因此,计算水资源量与7个潜在自变量之间的简单相关关系,见表3。选取相关系数最大的自变量首先进入模型。
表3与 的简单相关系数表
首先进入模型:
复测定系数 , 检验值:
检验值: ,
除 外,还有6个潜在自变量在模型外。以 与 为减模型,以 与 再和 中任意一个作为全模型,依次进行偏 检验。在通过 检验的变量中,选择 最大的进入模型。依此类推。得到最终模型为
(4)
对该模型, , 检验值: 。
以2005年的数据进行检验,得到 ,与实测值10351相比,其误差为2.47%,模型的精度还是比较高的。
3.2建立城市用水量的灰色系统GM(1,1)模型
用GM(1,1)模型进行预测,建立GM(1,1)模型至少要有四个数据,这里,以2001-2004的数据,分别建立自变量的灰色GM(1,1)模型,并将2005年实测数据与预测的数据进行对照比较:
根据上述模型2005年的预测值与实测值比较见表4。
表4 2005年各变量预测值与实测值比较
4 MLR与GM(1,1)模型耦合预测
首先,对光滑离散数列的自变量样本采用GM(1,1)模型进行预测,然后将预测结果代入MLR回归模型,即将灰色模型的输出结果作为MLR回归预测方程的输入,从而在较全面考虑各影响因素的基础上,实现GM(1,1)预测模型与MLR回归方程的有机结合,最终取得较高精度的预测结果。
4.1预测结果验证
根据上述预测模型的预测值,代入MLR模型,并与实际状况作比较,结果见表5。
表5 组合方法用水量预测比较
由表5可知,预测结果平均相对误差为0.738%,可以满足城市需水量预测要求。
4.2规划年城市需水量规划年预测
根据各自变量的预测模型,计算出各自变量规划年的预测值,计算结果见表6。
表6 规划年自变量预测
将所预测影响因素规划年的预测数据代入MLR回归模型(4)中,即可得到规划年城市规划年用水量的预测值,见表7。
表7 规划年需水量预测
年份 预测值
2010 11486
2015 12406
5 结论
5.1 首先应用数理统计中的多元线性回归原理,选择影响城市用水量的7个因子,采用向前选择变量法,筛选出影响城市用水量的显著自变量并建立数学模型,这样剔除了多余变量的影响,使得建立的数学模型更具合理性。
5.2 再利用灰色GM(1,1)模型预测出规划年每个变量的值,代入MLR模型,预测精度高,结果更为合理可靠。
参考文献:
[1] 阿克苏地区统计局编.阿克苏统计年鉴1990-2002[M].
[2] 阿克苏地区统计局编.阿克苏统计年鉴2003-2005[M].
[3] 张杰明.试论用多元线性回归法预测城市用水量[J].城市公用事业,2004,18(4):23-25. [4] 刘严.多元线性回归的数学模型[J].沈阳工程学院学报,2005,1(2):128-129.
[5] 邓聚龙.灰理论基础[M].武汉:华中科技大学出版社,2002.
注:文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。