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摘 要：课题型问题来源于课堂研究性学习的方案，其价值取向又引领课堂互动、交流合作的架构设计． 教学中，教师要充分预设好课题，使学生在课题学习中，掌握好学习的方法和要领，享受幸福的数学课堂生活．
关键词：课题型；归纳；迁移；概念；误区；猜想．
新课标指出：“课题学习”的基本目标是让学生经历数学学习的完整过程；体验知识之间的内在联系并形成对数学整体性的认识；获得一些研究问题的方法和经验，并发展思维能力；通过克服困难和获得成功的体验增强应用数学的信心． 因此，“课题学习”类的中考试题，应突出体现三个方面的特征：一是与学生的生活现实或数学学习现实紧密联系；二是有一定的挑战性；三是有更多的知识内涵或更为丰富的方法性、思考策略性的价值． 从这一点出发，现就2011年各地中考试卷中“课题学习”的考法进行扼要分析．
课题学习问题的构造注重着眼学生数学思考的过程及不同认知阶段特征的表现． 其问题模型可以表示为：结果=f（，B，C，D），其中为课题材料，B为研究对象，C为给出的条件，D为任务． 由特例探究规律、巧妙运用方法、注重学习策略等则是设计“课题学习”类问题隐形存在的“魂”． 这种题型的考法虽然在构造方式上没有固定的规律，但是经过整理也能发现“课题学习”类试题有以下几种常见的类型．
归纳类“课题”
这类问题在设计课题时是将规律隐藏在几个特例中，要求考生通过对有限个特例的阅读、观察、分析、探索、猜想，发现其规律，然后将这个规律从特殊推广到一般，并加以应用． “归纳”是最常见的一种合情推理及思考方式，它的发现功能是众所周知的． 构制“归纳”类型的“课题”考查考生的发现能力，在中考试题中已经较为普遍．
对于命题者来说设计该类问题的情境主要以阅读课题为主，任务为领会所呈现规律的特征．其模型为：结果=f（，B，C）． 其中为课题材料，B为分析思考，C为任务． 这类问题若以“填空题”或“选择题”的方式呈现，能凸显对归纳思维的考查；若以解答题题型呈现，还能突出对规律形成过程的考查．其解题程序是：先学习课题，后归纳总结．
例1 （2011广西贵港）若记y=f（x）=，其中f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）==；f表示当x＝时y的值，即f==；…；则f（1）+f（2）+f+f（3）+f+…+f（2011）+f=________．
试题评析：成功构造“归纳”型课题的关键在于对所提供的若干“特殊”属性的关联程度及对“一般”属性的显现程度的掌控和运用． 例1所示的问题情境给出了阅读的课题材料，它将算式作为问题关注的对象，以呈现的一系列运算作为问题提供的条件． 整个问题需要在阅读给定材料的基础上，通过观察与思考，理解算式中蕴涵的规律． 这样的问题可考查运算过程及其规律的理解能力和归纳推理能力．
迁移类“课题”
这类问题在设计课题时先引入一个“示范性”的解答过程或思考问题的方法． 让考生去学习，去理解，去琢磨解答过程，从而获取“类比”所需的要素． “类比”既是一种思考方法，又是一种知识拓展的策略，以“类比”为主旨来构制中考试题不仅是对知识的一种考查方法，而且是对创造意识和创造能力一种有效的考法，对于引导和促进“课题学习”具有积极的意义．
对于命题者而言，该课题在设计过程中所给情境描述要巧妙预埋解答新课题所需要的“工具”或“手段”，让考生去有效挖掘． 这类问题的模型是：结果=f（，B，C），其中为表示含有思想方法、技巧的课题材料，B为抽象出所需要素，C为任务． 其解题程序是：先学习课题，后模仿解答．
例2 （2011广东珠海）阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设+b=（m+n）2（其中，b，m，n均为正整数），则有+b=m2+2n2+2mn，所以=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把部分+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当，b，m，n均为正整数时，若+b=（m+n）2，用含m，n的式子分别表示，b，得=______，b=______；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数，b，m，n填空：_____+_____=（_____＋_____）；
（3）若+4=（m+n）2，且，m，n均为正整数，求的值．
试题评析：真正的具有“类比”特征试题的构制，本身就体现着一种创造意识和创造能力． 例2所示的问题情景为问题的解答提供了方法． 学生在有效阅读后，试题要求考生通过对方法的提炼、分析后用类似的方法与技巧解答同样的问题，从而实现了对考生的模仿能力的考查． 这种类似一题多解的问题形式可谓匠心独运，为模仿类“课题”注入了新的内涵，避免了简单的机械模仿．
概念类“课题”
这类问题在设计课题时先引入一个新概念或新规则，紧接着要求考生用它来解决新问题． 这类试题的挑战性决定于新规则的“新”的程度，以及新问题与新概念或新规则关联的“显性”程度． 这类问题要求考生在研究课题的基础上解答问题． 解答这类问题时，要善于挖掘定义的内涵和本质，并能够用旧知识对新定义进行合理的理解，进而将陌生的定义转化为熟悉的知识去解答． 这种形式的试题可以较好地考查学生的数学运用能力.
对于命题者而言，设计该类问题在构造上往往取决于高中内容相衔接的数学知识或命题者自行设计某种新定义、新运算、新规则或解题新方法等，命题时应非常注意在问题情境中呈现新的概念． 因为新的数学概念是整个问题的着眼点，整个问题紧紧围绕这个题眼展开． 其问题的模型是：结果=f（，B，C），其中为含有新概念的课题材料，B为条件，C为理解后的应用． 其解题程序是：先学习课题，后理解运用．
例3 （2011甘肃兰州）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化． 类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系． 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sd）． 如图1，在△BC中，B=C，顶角的正对记作sd，这时sd==． 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sd60°=________．
（2）对于0°<<180°，∠的正对值sd的取值范围是________．
（3）如图2，已知sin=，其中∠为锐角，试求sd的值．
试题评析：从“新知识的新”和“新问题与新知识的转化距离”两个维度调控试题的挑战性的程度，对于有效地考查“课题学习”是一种有意义的探索．例3呈现了新概念——“顶角的正对（sd）”．“顶角的正对（sd）”为问题的基本对象，整个问题尝试借助“顶角的正对（sd）”的性质与判断来考查对“顶角的正对（sd）”概念的学习与运用，体现了对考生学习能力的考查．运用解答题型设计本例使得问题解决过程能得到充分体现，同时也有利于用层阶式的设问方式对问题解决中学习能力的不同层次进行区分．
误区类“课题”
这类问题在设计课题时是将考生平时学习中的一些“易错点”“易混淆点”以及一些“负迁移”个案隐藏在所提供的解题过程中，通过解题过程以及思想方法的呈现，去考查考生批评性思维的能力，并在纠错的过程中，提升对所学知识的再认识、再思考． 这种形式的试题可以较好地考查学生的数学辨别能力．
对于命题者而言，设计该类问题选取的背景材料应来源于平时的教学中，不可闭门造车，给予考生的是活生生的实例，让考生通过有效的思考去推敲，去琢磨，从而作出成功的判断．其问题的模型是：结果=f（、B、C），其中为有答题错误的课题材料，B为有效手段，C为任务．其解题程序为：先学习课题，后判断纠错．
例4 （黄冈调考）
阅读下列题目的解题过程：
已知，b，c为△BC的三边，且满足2c2-b2c2=4-b4，试判断△BC的形状．
解：因为2c2-b2c2=4-b4， ①
所以c2（2-b2）=（2+b2）（2-b2）， ②
所以c2=2+b2，?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇 ③
所以△BC是直角三角形．
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：________；
（2）错误的原因为：________；
（3）本题正确的结论是：________．
试题评析：美与丑、善与恶、对与错的正确辨别是每一个考生应该具备的基本素质，因此批判性思维的培养是不可忽视的． 例4所示的问题情景言简意赅，推进的层次是：错处、错因、结论．答案比较隐秘，而考查的重点刚好是学生平时作业中易忽略的点（在等式两边同除以同一个数或式子时，必须保证这个数或式的值是非零才行）．
猜想类“课题”
这类问题在设计课题时是将课堂中动手操作、合作交流的场景引入中考试题，通过设置由浅入深，由直观到抽象的问题，让学生跳一跳就能摘到“桃子”，并从实验中体会到所希望得到的结论． 动手操作、动脑思考、合作交流是当今课改的主流，这种形式的试题可以较好地考查学生的动手能手，同时对课堂教改也有积极的影响力．
对于命题者而言，设计这类问题在给出情境上应力求展现从特殊到一般情况下针对问题解决的途径逐步探索的过程，问题的呈现为问题的解决提供一个实验过程． 该类问题模型的一般形式是：结果=f（，B，C），其中为数学实验的课题材料，B为对象和条件，C为任务． 数学实验的整个过程整体上能体现出对学生学习数学中探索能力的考查．其解题程序是：先学习操作，后探索推广．
例5 （2011辽宁本溪）在四边形BCD中，对角线C，BD相交于点O，设锐角∠DOC＝α． 将△DOC绕点O逆时针方向旋转得到△D′O′C′（0°＜旋转角＜90°）． 连结C′，BD′，C′与BD′相交于点M．
（1）当四边形BCD是矩形时，如图3，请猜想C′与BD′的数量关系以及∠MB与α的大小关系，并证明你的猜想．
（2）当四边形BCD是平行四边形时，如图4，已知C＝kBD，请猜想C′与BD′的数量关系以及∠MB与α的大小关系，并证明你的猜想．
（3）当四边形BCD是等腰梯形时，如图5，D∥BC，此时（1）中C′与BD′的数量关系是否成立？∠MB与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．
试题评析：图形的变换和运动，是近年来构制探究性试题所借助的重要形式与工具． 例5所涉及的知识属于核心内容，问题的构制是探究“图形旋转”变换中的一种“变中的不变性”．运用解答题题型设计试题使探索该问题解决途径的过程逐步得以呈现，并顺应问题中图形从特殊到一般的条件变化，能凸显问题解决中认知要求和能力的层次性，有利于从整体上加强整卷探索能力的考查．
?摇?摇总之，如何有效、合理、科学地运用课题将课题型问题设计为满足中考数学考试需要的试题，目前没有任何理论或操作标准可以作为一般性的评价依据．作为一个实践中正在探索的领域，需要我们不断就相应的运用方式展开讨论，为将来建立标准及操作规范奠定经验和基础．
关键词：课题型；归纳；迁移；概念；误区；猜想．
新课标指出：“课题学习”的基本目标是让学生经历数学学习的完整过程；体验知识之间的内在联系并形成对数学整体性的认识；获得一些研究问题的方法和经验，并发展思维能力；通过克服困难和获得成功的体验增强应用数学的信心． 因此，“课题学习”类的中考试题，应突出体现三个方面的特征：一是与学生的生活现实或数学学习现实紧密联系；二是有一定的挑战性；三是有更多的知识内涵或更为丰富的方法性、思考策略性的价值． 从这一点出发，现就2011年各地中考试卷中“课题学习”的考法进行扼要分析．
课题学习问题的构造注重着眼学生数学思考的过程及不同认知阶段特征的表现． 其问题模型可以表示为：结果=f（，B，C，D），其中为课题材料，B为研究对象，C为给出的条件，D为任务． 由特例探究规律、巧妙运用方法、注重学习策略等则是设计“课题学习”类问题隐形存在的“魂”． 这种题型的考法虽然在构造方式上没有固定的规律，但是经过整理也能发现“课题学习”类试题有以下几种常见的类型．
归纳类“课题”
这类问题在设计课题时是将规律隐藏在几个特例中，要求考生通过对有限个特例的阅读、观察、分析、探索、猜想，发现其规律，然后将这个规律从特殊推广到一般，并加以应用． “归纳”是最常见的一种合情推理及思考方式，它的发现功能是众所周知的． 构制“归纳”类型的“课题”考查考生的发现能力，在中考试题中已经较为普遍．
对于命题者来说设计该类问题的情境主要以阅读课题为主，任务为领会所呈现规律的特征．其模型为：结果=f（，B，C）． 其中为课题材料，B为分析思考，C为任务． 这类问题若以“填空题”或“选择题”的方式呈现，能凸显对归纳思维的考查；若以解答题题型呈现，还能突出对规律形成过程的考查．其解题程序是：先学习课题，后归纳总结．
例1 （2011广西贵港）若记y=f（x）=，其中f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）==；f表示当x＝时y的值，即f==；…；则f（1）+f（2）+f+f（3）+f+…+f（2011）+f=________．
试题评析：成功构造“归纳”型课题的关键在于对所提供的若干“特殊”属性的关联程度及对“一般”属性的显现程度的掌控和运用． 例1所示的问题情境给出了阅读的课题材料，它将算式作为问题关注的对象，以呈现的一系列运算作为问题提供的条件． 整个问题需要在阅读给定材料的基础上，通过观察与思考，理解算式中蕴涵的规律． 这样的问题可考查运算过程及其规律的理解能力和归纳推理能力．
迁移类“课题”
这类问题在设计课题时先引入一个“示范性”的解答过程或思考问题的方法． 让考生去学习，去理解，去琢磨解答过程，从而获取“类比”所需的要素． “类比”既是一种思考方法，又是一种知识拓展的策略，以“类比”为主旨来构制中考试题不仅是对知识的一种考查方法，而且是对创造意识和创造能力一种有效的考法，对于引导和促进“课题学习”具有积极的意义．
对于命题者而言，该课题在设计过程中所给情境描述要巧妙预埋解答新课题所需要的“工具”或“手段”，让考生去有效挖掘． 这类问题的模型是：结果=f（，B，C），其中为表示含有思想方法、技巧的课题材料，B为抽象出所需要素，C为任务． 其解题程序是：先学习课题，后模仿解答．
例2 （2011广东珠海）阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设+b=（m+n）2（其中，b，m，n均为正整数），则有+b=m2+2n2+2mn，所以=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把部分+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当，b，m，n均为正整数时，若+b=（m+n）2，用含m，n的式子分别表示，b，得=______，b=______；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数，b，m，n填空：_____+_____=（_____＋_____）；
（3）若+4=（m+n）2，且，m，n均为正整数，求的值．
试题评析：真正的具有“类比”特征试题的构制，本身就体现着一种创造意识和创造能力． 例2所示的问题情景为问题的解答提供了方法． 学生在有效阅读后，试题要求考生通过对方法的提炼、分析后用类似的方法与技巧解答同样的问题，从而实现了对考生的模仿能力的考查． 这种类似一题多解的问题形式可谓匠心独运，为模仿类“课题”注入了新的内涵，避免了简单的机械模仿．
概念类“课题”
这类问题在设计课题时先引入一个新概念或新规则，紧接着要求考生用它来解决新问题． 这类试题的挑战性决定于新规则的“新”的程度，以及新问题与新概念或新规则关联的“显性”程度． 这类问题要求考生在研究课题的基础上解答问题． 解答这类问题时，要善于挖掘定义的内涵和本质，并能够用旧知识对新定义进行合理的理解，进而将陌生的定义转化为熟悉的知识去解答． 这种形式的试题可以较好地考查学生的数学运用能力.
对于命题者而言，设计该类问题在构造上往往取决于高中内容相衔接的数学知识或命题者自行设计某种新定义、新运算、新规则或解题新方法等，命题时应非常注意在问题情境中呈现新的概念． 因为新的数学概念是整个问题的着眼点，整个问题紧紧围绕这个题眼展开． 其问题的模型是：结果=f（，B，C），其中为含有新概念的课题材料，B为条件，C为理解后的应用． 其解题程序是：先学习课题，后理解运用．
例3 （2011甘肃兰州）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化． 类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系． 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sd）． 如图1，在△BC中，B=C，顶角的正对记作sd，这时sd==． 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sd60°=________．
（2）对于0°<<180°，∠的正对值sd的取值范围是________．
（3）如图2，已知sin=，其中∠为锐角，试求sd的值．
试题评析：从“新知识的新”和“新问题与新知识的转化距离”两个维度调控试题的挑战性的程度，对于有效地考查“课题学习”是一种有意义的探索．例3呈现了新概念——“顶角的正对（sd）”．“顶角的正对（sd）”为问题的基本对象，整个问题尝试借助“顶角的正对（sd）”的性质与判断来考查对“顶角的正对（sd）”概念的学习与运用，体现了对考生学习能力的考查．运用解答题型设计本例使得问题解决过程能得到充分体现，同时也有利于用层阶式的设问方式对问题解决中学习能力的不同层次进行区分．
误区类“课题”
这类问题在设计课题时是将考生平时学习中的一些“易错点”“易混淆点”以及一些“负迁移”个案隐藏在所提供的解题过程中，通过解题过程以及思想方法的呈现，去考查考生批评性思维的能力，并在纠错的过程中，提升对所学知识的再认识、再思考． 这种形式的试题可以较好地考查学生的数学辨别能力．
对于命题者而言，设计该类问题选取的背景材料应来源于平时的教学中，不可闭门造车，给予考生的是活生生的实例，让考生通过有效的思考去推敲，去琢磨，从而作出成功的判断．其问题的模型是：结果=f（、B、C），其中为有答题错误的课题材料，B为有效手段，C为任务．其解题程序为：先学习课题，后判断纠错．
例4 （黄冈调考）
阅读下列题目的解题过程：
已知，b，c为△BC的三边，且满足2c2-b2c2=4-b4，试判断△BC的形状．
解：因为2c2-b2c2=4-b4， ①
所以c2（2-b2）=（2+b2）（2-b2）， ②
所以c2=2+b2，?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇 ③
所以△BC是直角三角形．
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：________；
（2）错误的原因为：________；
（3）本题正确的结论是：________．
试题评析：美与丑、善与恶、对与错的正确辨别是每一个考生应该具备的基本素质，因此批判性思维的培养是不可忽视的． 例4所示的问题情景言简意赅，推进的层次是：错处、错因、结论．答案比较隐秘，而考查的重点刚好是学生平时作业中易忽略的点（在等式两边同除以同一个数或式子时，必须保证这个数或式的值是非零才行）．
猜想类“课题”
这类问题在设计课题时是将课堂中动手操作、合作交流的场景引入中考试题，通过设置由浅入深，由直观到抽象的问题，让学生跳一跳就能摘到“桃子”，并从实验中体会到所希望得到的结论． 动手操作、动脑思考、合作交流是当今课改的主流，这种形式的试题可以较好地考查学生的动手能手，同时对课堂教改也有积极的影响力．
对于命题者而言，设计这类问题在给出情境上应力求展现从特殊到一般情况下针对问题解决的途径逐步探索的过程，问题的呈现为问题的解决提供一个实验过程． 该类问题模型的一般形式是：结果=f（，B，C），其中为数学实验的课题材料，B为对象和条件，C为任务． 数学实验的整个过程整体上能体现出对学生学习数学中探索能力的考查．其解题程序是：先学习操作，后探索推广．
例5 （2011辽宁本溪）在四边形BCD中，对角线C，BD相交于点O，设锐角∠DOC＝α． 将△DOC绕点O逆时针方向旋转得到△D′O′C′（0°＜旋转角＜90°）． 连结C′，BD′，C′与BD′相交于点M．
（1）当四边形BCD是矩形时，如图3，请猜想C′与BD′的数量关系以及∠MB与α的大小关系，并证明你的猜想．
（2）当四边形BCD是平行四边形时，如图4，已知C＝kBD，请猜想C′与BD′的数量关系以及∠MB与α的大小关系，并证明你的猜想．
（3）当四边形BCD是等腰梯形时，如图5，D∥BC，此时（1）中C′与BD′的数量关系是否成立？∠MB与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．
试题评析：图形的变换和运动，是近年来构制探究性试题所借助的重要形式与工具． 例5所涉及的知识属于核心内容，问题的构制是探究“图形旋转”变换中的一种“变中的不变性”．运用解答题题型设计试题使探索该问题解决途径的过程逐步得以呈现，并顺应问题中图形从特殊到一般的条件变化，能凸显问题解决中认知要求和能力的层次性，有利于从整体上加强整卷探索能力的考查．
?摇?摇总之，如何有效、合理、科学地运用课题将课题型问题设计为满足中考数学考试需要的试题，目前没有任何理论或操作标准可以作为一般性的评价依据．作为一个实践中正在探索的领域，需要我们不断就相应的运用方式展开讨论，为将来建立标准及操作规范奠定经验和基础．