解数学题不仅能训练思维的灵活性，亦能培养思维的周密性。近年中考试题及各地的测验中，有些几何题没有直接给出图形，学生由于受思维习惯的影响，没有周密地考虑题目所提供的条件，缺少对数学事实的准确理解，往往只考虑符合条件的常见的一种图形，形成思维定式，从而造成漏解。这类题目重在考查学生对基础知识的掌握与运用情况，更体现了数学的分类思想在解题中的实际应用，这有利于培养学生严谨的逻辑思维能力。对于无附图几何问题往往需要分类讨论。本文通过实例说明这类题目的解决思路、方法。
　　例1：已知线段AB=8厘米，AC=18厘米，则线段AB的取值范围是 。
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　　分析：（1）点C在A、B之间时AB=26厘米；
　　（2）点C在A、B同侧时AB=10厘米；
　　（3）点A、B、C不在同一条直线上（即A、B、C三点组成三角形）即10厘米　　例2：等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为50°，则此等腰三角形的顶角度数为
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　　分析：如图1；△ABC是等腰△，且∠BAC为顶角，CD是腰AB的高。
　　（1）当等腰△是锐角△时，如图1；
　　∵∠ACD=50°，∴∠BAC=90°－∠ACD=40°；
　　（2）当等腰△是钝角△时；
　　如图2-1当∠BCD=50°时，∠B=40°；∴∠BAC=180°－2∠B=100°；
　　如图2-2当∠ACD=50°时，∠CAD=40°；∴∠BAC=180°－∠CAD=140°；
　　故这个等腰△顶角的度数为：100°或140°或40°。
　　例3：在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B等于___
　　。
　　分析：AB的垂直平分线与AC所在直线的交点可能在腰AC上，也可能在AC的延长线或反向延长线上，因此应分两种情况。
　　（1）当交点在腰AC上时，△ABC为锐角三角形，如图3-1；
　　（2）此时可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=■(180°—40°)=70°；
　　（3）当交点在CA延长线上时，如图3-2，
　　△ABC为钝角三角形，此时可求得
　　∠BAC=140°
　　所以∠B =∠C=■(180°—140°)=20°
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　　例4：在△ABC中，AB=15厘米，AC=13厘米，BC边上的高AD=12厘米， 则BC= 厘米。
　　分析：由于从已知条件中不能判断出三角形的形状,所以高AD可能在三角形内部，也可能在三角形外部两种情况。
　　（1）当高AD在三角形内部时，如图4-1，由勾股定理可以求得BD=9厘米，CD=5厘米所以BC=BD+CD=14厘米。
　　（2）当高AD在三角形内部时，如图4-2，
　　由勾股定理可以求得BD=9厘米，CD=5厘米所以BC=BD-CD=4厘米。
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　　例5：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰Rt△ACD，则线段BD的长为
　　分析：分三种情况进行分析，分情况讨论，（1）以A为直角顶点，向外作等腰Rt△ACD；
　　(2)以C为直角顶点，向外作等腰Rt△ACD；
　　(3)以AC为斜边，向外作等腰Rt△ACD，分别画图，并求出BD。
　　（1）以A为直角顶点，向外作等腰Rt△ACD，如图5-1。
　　由于∠DAC=90°，且AD=AC，所以BD=BA+AD=2+2=4。
　　(2)以C为直角顶点，向外作等腰Rt△ACD如图5-2，以C为直角顶点，向外作等腰Rt△ACD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E。由于△ABC是等腰Rt△，∠ACD=90°，很显然Rt△CED也是等腰直角三角形，于是CE=DE=2×■=■，BE=3■利用勾股定理易求得BD=2■。
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　　（3）以AC为斜边，向外作等腰Rt△ACD如图5-3，因为∠ADC=90，AD=DC，且AC=2，所以AD=DC= 2×■=■。又因为△ABC、△ADC是等腰Rt△ ，易知△DCB为直角三角形，从而可求得BD=■=■。
　　例6：△ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D是AC上一点，DC=■AC，在AB上取一点E，得△ADE，如果图中的两个三角形相似，那么DE的长是 。
　　分析：由已知条件可知△ABC与△ADE有公共角∠A，而边的对应关系未确定，故应分别讨论。
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　　（1）如图6-1，如果DE∥BC（即作∠ADE=∠C），那么由△AED∽△ABC可得：■=■。
　　因为AC=12，BC=18，DC=■AC=8，AD=AC-DC=4，所以DE=6。
　　（2）如图6-2，如果在AB上取一点E使∠ADE=∠B，那么由△ADE∽△ABC可以得到：■=■，因为AB=9，AD=4，BC=18，所以DE=8。
　　可见，教师在教学中，要不断引导学生透过表面现象深入细致地考虑，注重培养学生思维的严密性，以充分提高学生分析问题和解决问题的能力。
　　（责编 张宇）