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中图分类号：G623.5
在初中数学中，我们经常会接触到这种类型的题目，一种是给出某些条件（往往是已有确定的两个点），然后要找出符合某种条件的等腰三角形或直角三角形.据多年的实践和观察，绝大部分学生开始时都觉得非常迷茫，束手无策，有的是碰运气凑出那么一两个，总是没有一定的方法步骤，致使答案漏解现象严重，或者根本不知道自己到底是否做全.久而久之，学生对此类问题就产生了一种畏惧心理，从而影响后阶段（尤其是几何和函数）的学习.本人经过多年的实践与反思，总结出一种非常简单而又富有实效的方法，与各位同行分享交流.
一、“两圆一线”的问题
例1.如图1，线段OD的一个端点O在直线l上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线l上，这样的等腰三角形能画多少个？
学生畏难的主要原因一是分类思想掌握不够，还有一个重要原因是他们不能很好地利用圆规.其实，要解决这个问题，只需画“两圆一线”，即分别以点O、D为圆心OD长为半径画圆，再画线段OD的中垂线（见图2），就可很轻松地找到所求的四个点，也就是刚才所画的“两圆一线”与直线l的四个交点P1 ，P2，P3 ，P4，所以这样的等腰三角形共有四个.
这种做法的道理其实也很简单（见下图3），只要运用分类的思想，即（1）当点O为等腰三角形的顶点时，因为OD=OP，所以点P在以点O为圆心，OD为半径的圆上；（2）当点D为等腰三角形的顶点时，因为DO=DP，所以点P在以点O为圆心，OD为半径的圆上；（3）当点P为等腰三角形的顶点时，因为PD=PO，所以点P在线段OD的垂直平分线上.
“两圆一线”画好后，只要找出它们与直线l的交点即可，当然要注意此处中的点O要除外，因为此时不能构成三角形.
有了以上的实例与经验，请读者自己解决下面两个典型的问题：
练习1.如图4，在4×4的方格中作以AB为一腰的等腰ΔABC，要求点
C也在格点上，这样的ΔABC能作出 （ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
练习2.在如图5的直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于点B，A两点，其坐标分别为A ，B .
（1） 请求出直线 的函数解析式；
（2） 点C坐标轴上且使△ABC为等腰三角形，请写出所有符合条件的点C的坐标（不需要具体过程）.
二、“两线一圆”的问题
例2.在如图6中，直线l的同侧有两点A和B，请在直线l上找出点P，使得△ABP为直角三角形.这样的点P有几个？请在图中都表示出来.
要解决这个问题，只需画“两线一圆”，即先连结AB，分别过点A、B画线段AB的垂线，再以AB为直径为画圆（见图7），就可很轻松地找到所求的四个点，也就是刚才所画的“两线一圆”与直线l的四个交点P1 、P2、P3 、P4，所以这样的直角三角形共有四个.当然这种点P的个数有时会因为图中点A、B和直线l之间的相对位置不同而发生变化.
这种做法的依据还是运用分类的思想，即（1）当点A为直角顶点时，点P在过点A且垂直于AB的直线上（图8甲）；（2）当点B 为直角顶点时，点P在过点B且垂直于AB的直线上（图8乙）；（3）当点P为直角顶点时，点P在以线段AB为直径的圆上.
练习3.如图9，在4×4方格中作以AB为
一边的Rt△ABC要求点C也在格点上，这样的
Rt△ABC能作出…………………（ ）
A.6个B. 7个 C. 8个` D. 9个
练习4.已知点A是抛物线 的顶点，点B也在此抛物线上，且横坐标为5，P是坐标轴上的点，且△ABP为直角三角形.
（1）请求出满足条件的所有点P的坐标；
（2）在以上这些三角形中，面积最大和最小的三角形的面积分别是多少？
练习4是本人原创的综合性较强的一个题目，所涉及的知识点非常多，有二次函数、一次函数、圆的基本知识、三角形（直角三角形、三角形的面积和相似三角形等）、勾股定理、方程等等.同时也涉及了许多数学思想如函数思想、方程思想和分类思想等等.希望读者能结合上面所述的方法自行研究，并从中得到一些启发和感悟.
对于初中生来说，虽然他们已经解过数不胜数的数学题，但他们的理解能力、抽象思维能力和概括归纳能力等还是比较弱的，所以对一些较难的问题，教师若能经常帮助其恰当而简洁地进行及时总结，定会收到事半功倍的效果.
在初中数学中，我们经常会接触到这种类型的题目，一种是给出某些条件（往往是已有确定的两个点），然后要找出符合某种条件的等腰三角形或直角三角形.据多年的实践和观察，绝大部分学生开始时都觉得非常迷茫，束手无策，有的是碰运气凑出那么一两个，总是没有一定的方法步骤，致使答案漏解现象严重，或者根本不知道自己到底是否做全.久而久之，学生对此类问题就产生了一种畏惧心理，从而影响后阶段（尤其是几何和函数）的学习.本人经过多年的实践与反思，总结出一种非常简单而又富有实效的方法，与各位同行分享交流.
一、“两圆一线”的问题
例1.如图1，线段OD的一个端点O在直线l上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线l上，这样的等腰三角形能画多少个？
学生畏难的主要原因一是分类思想掌握不够，还有一个重要原因是他们不能很好地利用圆规.其实，要解决这个问题，只需画“两圆一线”，即分别以点O、D为圆心OD长为半径画圆，再画线段OD的中垂线（见图2），就可很轻松地找到所求的四个点，也就是刚才所画的“两圆一线”与直线l的四个交点P1 ，P2，P3 ，P4，所以这样的等腰三角形共有四个.
这种做法的道理其实也很简单（见下图3），只要运用分类的思想，即（1）当点O为等腰三角形的顶点时，因为OD=OP，所以点P在以点O为圆心，OD为半径的圆上；（2）当点D为等腰三角形的顶点时，因为DO=DP，所以点P在以点O为圆心，OD为半径的圆上；（3）当点P为等腰三角形的顶点时，因为PD=PO，所以点P在线段OD的垂直平分线上.
“两圆一线”画好后，只要找出它们与直线l的交点即可，当然要注意此处中的点O要除外，因为此时不能构成三角形.
有了以上的实例与经验，请读者自己解决下面两个典型的问题：
练习1.如图4，在4×4的方格中作以AB为一腰的等腰ΔABC，要求点
C也在格点上，这样的ΔABC能作出 （ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
练习2.在如图5的直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于点B，A两点，其坐标分别为A ，B .
（1） 请求出直线 的函数解析式；
（2） 点C坐标轴上且使△ABC为等腰三角形，请写出所有符合条件的点C的坐标（不需要具体过程）.
二、“两线一圆”的问题
例2.在如图6中，直线l的同侧有两点A和B，请在直线l上找出点P，使得△ABP为直角三角形.这样的点P有几个？请在图中都表示出来.
要解决这个问题，只需画“两线一圆”，即先连结AB，分别过点A、B画线段AB的垂线，再以AB为直径为画圆（见图7），就可很轻松地找到所求的四个点，也就是刚才所画的“两线一圆”与直线l的四个交点P1 、P2、P3 、P4，所以这样的直角三角形共有四个.当然这种点P的个数有时会因为图中点A、B和直线l之间的相对位置不同而发生变化.
这种做法的依据还是运用分类的思想，即（1）当点A为直角顶点时，点P在过点A且垂直于AB的直线上（图8甲）；（2）当点B 为直角顶点时，点P在过点B且垂直于AB的直线上（图8乙）；（3）当点P为直角顶点时，点P在以线段AB为直径的圆上.
练习3.如图9，在4×4方格中作以AB为
一边的Rt△ABC要求点C也在格点上，这样的
Rt△ABC能作出…………………（ ）
A.6个B. 7个 C. 8个` D. 9个
练习4.已知点A是抛物线 的顶点，点B也在此抛物线上，且横坐标为5，P是坐标轴上的点，且△ABP为直角三角形.
（1）请求出满足条件的所有点P的坐标；
（2）在以上这些三角形中，面积最大和最小的三角形的面积分别是多少？
练习4是本人原创的综合性较强的一个题目，所涉及的知识点非常多，有二次函数、一次函数、圆的基本知识、三角形（直角三角形、三角形的面积和相似三角形等）、勾股定理、方程等等.同时也涉及了许多数学思想如函数思想、方程思想和分类思想等等.希望读者能结合上面所述的方法自行研究，并从中得到一些启发和感悟.
对于初中生来说，虽然他们已经解过数不胜数的数学题，但他们的理解能力、抽象思维能力和概括归纳能力等还是比较弱的，所以对一些较难的问题，教师若能经常帮助其恰当而简洁地进行及时总结，定会收到事半功倍的效果.