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数学——最容易拉开分数差距、最令师生牵肠挂肚的学科,如何能短平快地得分,已然成为考生的“刚需”.本文顺应时势,从高考数学试题的作答角度,以举例的形式,谈谈高考数学得分的策略,以供大家参考.
解选填题的策略——小题小做、小题巧做
一直以来,选填题是拉开考生分数差距的“坎”,如何快速(45分钟左右)、准确完成选填题,是广大师生孜孜以求的.
例1 (1)存在函数满足,对于任意都有( )
A. B.
C. D.
(2)在平面四边形中(如下左图),,,则的取值范围是 .
(3)如上中图,三棱锥中,,点分别是的中点,则异面直线所成角的余弦值是 .
解析 (1)(特值检验法)令,则,对于A项,则;对于B项,则;对于C项,令,则,显然它们都是“一对多”,不符合函数定义,故选D.
(2)(极端化解题)延长交于点,如上左图,平移,当点与点重合时,最长,当点与点重合时,最短,利用正弦定理计算易得,AB的取值范围是.
(3)(补体与坐标法)由于三棱锥的三组对棱相等,即,易知此三棱锥可以有长方体截去四个角而得到(如上右图),于是“补成长方体”,再由长方体特点宜采用“坐标法”求解,得.
点拨 选填题有相似之处,只需直接给出结果,无需解题过程,求解原则是“小题小做、小题巧做、不要小题大做”. 一份试卷中,总有几道题(甚至是棘手的试题)可以借助于数形结合法、特值法(含特殊值、特殊函数、特殊数列、特殊位置、特殊图形、特殊角度、特殊几何体等等)、极端情形法、排除法、验证法、转化法、估算法等方法,短平快地做出正确答案.值得注意的是,填空题的结果必须数值准确、形式规范(如区间的开闭等),否则有劳无功.
做解答题的策略——步步为营、步步添分
解答题明确要求写出必要的文字说明、证明过程与演算步骤,阅卷评分注重思维、注重踩分点,因而必须将自己的思维过程有效地展示出来. 文字说明词不达意、演算步骤详略不当,这些无疑会影响最终的得分.
1. 做好基础四道题——争取得满分
例2 如左下图,四边形为菱形,是平面同一侧的两点,平面,平面,,.(1)证明:平面平面;(2)求直线与直线所成角的余弦值.
证明 (1)略
(2)如上右图,以为坐标原点,分别以的方向为轴,轴正方向,为单位长,建立空间直角坐标系, 由(1)可得,
所以直线与直线所成直角的余弦值为.
点拨 数列(或三角)、概率统计、立体几何(一般放在第题即前三道题位置)及选做题(第三选一),属于“基础四道题”,不能出现大的错误,因为做错一道多数人都会做的基础题,意味着要做对一道多数人都不会的难题去弥补,所以“慢审题、快作答、重细节”是得满分的不二法宝(如本题直线与直线所成角的余弦值不能写成).
2. 较难试题(解析几何题)——争取多得分
例3 已知点,椭圆的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为,为坐标原点.(1)求的方程;(2)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程.
解析 (1)
(2)当轴时显然不合题意,故设,将代入椭圆得,,
当且仅当,即时取等号(的面积最大),此时,满足
从而当的面积最大时,直线的方程为或.
点拨 解析几何解答题是高考的“不动点”,一般考查直线和圆锥曲线的综合问题,多数以一题两问形式呈现. 第(1)问一般考查曲线方程的求法,主要利用定义法与待定系数法求解. 而第(2)问主要涉及定值问题、最值问题、参数范围问题、对称问题、探索性问题等,因其运算量较大、综合性较强而被认为“性价比不高”,建议“有所作为、适可而止”:一般情况下利用“设而不求”方法,按部就班地“搭台”(设出直线方程以及直线与圆锥曲线的交点坐标,将直线方程代入圆锥曲线的方程,然后写出韦达定理以及解出),争取能“唱戏”(将求解的问题坐标化后转化为韦达定理). 注意:巧设直线方程、直线方程斜率存在与否、特殊位置引路探究出定值、定点等,是值得借鉴的经验.
3. 数学压轴试题——争取能得分
例4 已知数列的各项均为正数,,为自然对数的底数.(1)求函数的单调区间,并比较与的大小;(2)计算,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令,数列,的前项和分别记为, 证明:.
解析 (1)的单调递增区间为,单调递减区间为 ①
(2)先由递推猜测:②,再用数学归纳法证明(略).
(3)由的定义,②,算术—几何平均不等式,的定义和①得,
点拨 近几年来,全国卷的“压轴题”一般设置在第题,往往是函数、导数、数列、不等式、数学归纳法等的综合,相对难度大,空白答卷的很多.究其原因,有的同学没有足够时间完成最后一题,有的是惧怕“压轴题”,没仔细分析就直接放弃. 实际上,“压轴题”一般有两到三问,且以“递进式”呈现,第一问通常比较容易,消极对待自然不明智. 需要提醒的是:求函数单调性、极值时,要先求定义域;单调区间若有多个,区间之间务必用“和”字连接;若函数与数列结合,一般需要对自变量进行赋值;某些数列问题还可考虑数学归纳法等.另外,对于“铺垫式”考题,还可考虑“姑且承认、跳步作答”的策略.
解选填题的策略——小题小做、小题巧做
一直以来,选填题是拉开考生分数差距的“坎”,如何快速(45分钟左右)、准确完成选填题,是广大师生孜孜以求的.
例1 (1)存在函数满足,对于任意都有( )
A. B.
C. D.
(2)在平面四边形中(如下左图),,,则的取值范围是 .
(3)如上中图,三棱锥中,,点分别是的中点,则异面直线所成角的余弦值是 .
解析 (1)(特值检验法)令,则,对于A项,则;对于B项,则;对于C项,令,则,显然它们都是“一对多”,不符合函数定义,故选D.
(2)(极端化解题)延长交于点,如上左图,平移,当点与点重合时,最长,当点与点重合时,最短,利用正弦定理计算易得,AB的取值范围是.
(3)(补体与坐标法)由于三棱锥的三组对棱相等,即,易知此三棱锥可以有长方体截去四个角而得到(如上右图),于是“补成长方体”,再由长方体特点宜采用“坐标法”求解,得.
点拨 选填题有相似之处,只需直接给出结果,无需解题过程,求解原则是“小题小做、小题巧做、不要小题大做”. 一份试卷中,总有几道题(甚至是棘手的试题)可以借助于数形结合法、特值法(含特殊值、特殊函数、特殊数列、特殊位置、特殊图形、特殊角度、特殊几何体等等)、极端情形法、排除法、验证法、转化法、估算法等方法,短平快地做出正确答案.值得注意的是,填空题的结果必须数值准确、形式规范(如区间的开闭等),否则有劳无功.
做解答题的策略——步步为营、步步添分
解答题明确要求写出必要的文字说明、证明过程与演算步骤,阅卷评分注重思维、注重踩分点,因而必须将自己的思维过程有效地展示出来. 文字说明词不达意、演算步骤详略不当,这些无疑会影响最终的得分.
1. 做好基础四道题——争取得满分
例2 如左下图,四边形为菱形,是平面同一侧的两点,平面,平面,,.(1)证明:平面平面;(2)求直线与直线所成角的余弦值.
证明 (1)略
(2)如上右图,以为坐标原点,分别以的方向为轴,轴正方向,为单位长,建立空间直角坐标系, 由(1)可得,
所以直线与直线所成直角的余弦值为.
点拨 数列(或三角)、概率统计、立体几何(一般放在第题即前三道题位置)及选做题(第三选一),属于“基础四道题”,不能出现大的错误,因为做错一道多数人都会做的基础题,意味着要做对一道多数人都不会的难题去弥补,所以“慢审题、快作答、重细节”是得满分的不二法宝(如本题直线与直线所成角的余弦值不能写成).
2. 较难试题(解析几何题)——争取多得分
例3 已知点,椭圆的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为,为坐标原点.(1)求的方程;(2)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程.
解析 (1)
(2)当轴时显然不合题意,故设,将代入椭圆得,,
当且仅当,即时取等号(的面积最大),此时,满足
从而当的面积最大时,直线的方程为或.
点拨 解析几何解答题是高考的“不动点”,一般考查直线和圆锥曲线的综合问题,多数以一题两问形式呈现. 第(1)问一般考查曲线方程的求法,主要利用定义法与待定系数法求解. 而第(2)问主要涉及定值问题、最值问题、参数范围问题、对称问题、探索性问题等,因其运算量较大、综合性较强而被认为“性价比不高”,建议“有所作为、适可而止”:一般情况下利用“设而不求”方法,按部就班地“搭台”(设出直线方程以及直线与圆锥曲线的交点坐标,将直线方程代入圆锥曲线的方程,然后写出韦达定理以及解出),争取能“唱戏”(将求解的问题坐标化后转化为韦达定理). 注意:巧设直线方程、直线方程斜率存在与否、特殊位置引路探究出定值、定点等,是值得借鉴的经验.
3. 数学压轴试题——争取能得分
例4 已知数列的各项均为正数,,为自然对数的底数.(1)求函数的单调区间,并比较与的大小;(2)计算,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令,数列,的前项和分别记为, 证明:.
解析 (1)的单调递增区间为,单调递减区间为 ①
(2)先由递推猜测:②,再用数学归纳法证明(略).
(3)由的定义,②,算术—几何平均不等式,的定义和①得,
点拨 近几年来,全国卷的“压轴题”一般设置在第题,往往是函数、导数、数列、不等式、数学归纳法等的综合,相对难度大,空白答卷的很多.究其原因,有的同学没有足够时间完成最后一题,有的是惧怕“压轴题”,没仔细分析就直接放弃. 实际上,“压轴题”一般有两到三问,且以“递进式”呈现,第一问通常比较容易,消极对待自然不明智. 需要提醒的是:求函数单调性、极值时,要先求定义域;单调区间若有多个,区间之间务必用“和”字连接;若函数与数列结合,一般需要对自变量进行赋值;某些数列问题还可考虑数学归纳法等.另外,对于“铺垫式”考题,还可考虑“姑且承认、跳步作答”的策略.