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摘 要 “懂而不会”是各门课程教学中普遍存在的一种常见现象，即在新知识学习时学生能听懂教师讲的内容，课后却不会灵活地运用，考试中会做的题却做错。产生这种现象的原因是多方面的，既有教师的问题，也有学生的问题。“懂而不会”现象说明学生对数学知识只是一知半解，并没有达到真正的掌握。本文首先分析了“懂而不会”现象的研究现状，然后给出了理论依据，最后针对“懂而不会”提出了的几点建议。
关键词 懂而不会 理解 教学
中图分类号：G424 文献标识码：A
1 问题提出
常常听到学生和教师抱怨：上课听得懂，可是作业不会做，考试中会的题目却拿不到分，这都是“懂而不会”的现象。学生听得懂、会做，是指理解教师的解题思路和方法，具备解答此题的所有数学知识，但在做题的过程中因某一环节的出错，导致最后结果做错了。学生对“懂而不会”这种现象导致的结果往往认为是由于自我的粗心和马虎而引起的错误。甚至有些教师也是如此认为，很少愿意从自己教学方面寻找深层次的原因。这也是本校一些学生成绩不能上到高台阶的拦路虎，“懂而不会”的现象背后是什么，教师怎样在教学中找到有效的克服“懂而不会”现象的法宝，这引起了笔者的思考和探析。
2 “懂而不会”现象的研究现状
何善亮老师①从学生学习过程的角度对“懂而不会”现象进行了分析，学生学习程序性知识具有不同的境界，“懂”是学生学习的一个基本境界，而“会”是一个更高的境界，他从认知维度教学目标、学生能力生成机制和练习有效性三方面寻求应对此现象的具体方案和策略。沈燕老师②在实际教学中发现学生存在“懂而不会”的现象，回顾反思了自己的教学过程，提出了改进的方法。她认为教师的课堂提问方式应该引导学生学会“为什么这么做”，要避免教师代替学生思考，而且要及时进行归纳总结。刘红霞老师③从对话理解的视角，分析教师与学生之间产生“懂而不会”的现象的原因，并提出自己的教学对策。姚君依老师④对解题过程中的“懂而不会”的现象从学生思维方面进行了分析，并提出在解题中克服思维障碍的一些具体做法。俞璠等老师⑤对如何解决学生课堂上的“能听懂”，课后的“不会解题”这个问题产生的原因进行问卷调查、分析，发现学习方法的好坏直接关系到学生学习的主观能动性，是学生 “能听懂课，不会解题”的问题的根本原因，并在调查、分析的基础上，提出了让学生养成良好的学习习惯，形成积极向上的学习心理，培养学生自我评价能力等方面的对策。
通过对“懂而不会现象”的初步研究，下面笔者结合自己的教学实践，立足学生，从教师的教学方面做一些分析与探讨。
3 理论依据
在现代汉语词典中，“懂”指知道、了解；“会”指理解、领悟。1976年，R·斯根普提出事物的理解具有两种类型：⑥工具性理解和关系性理解。工具性理解是指：一种语义性理解——即符号A所指代的事物是什么，或者一种程序性理解——一个规则R所指定的每一个步骤是什么？如何操作；关系性理解是指在工具性理解的基础上还需加上对符号意义和替代物本身结构上的认识，获得符号指代物意义的途径，以及规则本身有效性的逻辑依据，等等。美国学者史密斯提出的学习过程的五个阶段，它们分别是：⑦（1）初级和高级获得阶段。在获得阶段的开始时刻，教学目标的重点是帮助学生提高认知的正确率。（2）熟练阶段。教师应着重培养学生学习的自觉性， 提高学生的学习效率。采取学习目标控制、监控学习进程。（3）保持阶段。教师还需要引导学生自我管理、间歇强化、机械强化等教学策略。（4）迁移阶段。（5）调整阶段。而建构主义⑧认为，学习者学习的重要目标是获取知识，但获取的知识具有不一样的水平。第一层水平学生只会记住数学中概念与定理的文字描述，不能真正了解它们的涵义，只能简单地模仿；第二层水平是学生对所学知识有了较深刻的理解，能够对这些内容清楚的区分、进行合情的推理和预测，可以运用所学知识去解决具有一定综合性的问题。建构主义教学观认为，只有当学生将所获取的知识结构系统化时，才可以使所学知识达到真正的、深层次的理解。所以笔者认为中学数学中“懂而不会”现象中的“懂”是浮于表面的似懂非懂，而真正的“懂”是学生对所学数学知识深层次的掌握，不但需记住教师课堂上所讲授的知识，能够口头表达和会解题与归纳总结，而且能够建立属于自己的知识结构体系。
4 教学探讨
4.1 培养学生审题意识，提高解题能力
有些学生在平时的练习和考试中，尤其是面对较熟悉或容易的题目时，发现某道题目与做过的某题类似，就疏忽大意，还没读完题就急忙作答，或者还没有挖掘出题目的隐含的限制条件就下笔了，结果自然就错了，拿不了分。这种情况在考试中很常见，而且这些学生的基础还不错。产生这种现象的主要原因是审题不清。
例如：已知集合 = {∣-1<<3，}， = {∣-2<<5}，求 ∩ （ ）
A.（-1，3） B.（-2，3） C.（0，1，2） D.（-1，5）
有些学生错选了答案A，他说会做这题，可是考试时看题太快，没有注意到这个限制条件。这样的错误给人的感觉是没有注意到这个条件而已，事实上是不完整的数学活动经验，造成习惯性思维，体现学生审题能力的缺陷，这也是教师在平时教学中忽视对学生审题方面的训练。在教学中，教师要在传授知识的同时加强方法性引导，注重学生审题意识的培养。如在考试时要求学生坚持“一慢一快”的策略，即审题要慢，做题要快。题目本身是“怎样解这道题”的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，把题目多读几遍，弄清这个题目求什么，已知什么，求和与已知之间有什么关系，把题目搞清楚了再动手答题，这一步不要怕慢。同时鼓励每位学生发现自我，从简单的做起，坚持把基础题做好，把简单题做好就是成功，认真对待每一道题。根据建构主义学习观，教师需创造条件努力让学生学习知识达到第二层水平。如在解题教学时，可先让学生读题，然后用自己的语言描述出题目的要求，或者动手画出题目的题解图，以此提高审题及解题的能力。 4.2 重视理解偏差问题，注重交流沟通
课堂上，当老师强调重点内容和解题方法或询问学生掌握情况时，学生表示已经理解老师所授知识，但是在后面的练习中又未能真正理解并灵活运用。这种情况往往是学生误解了教师的意图，机械地模仿教师，这就需要教师在教学中要关注学生的学习水平，要多追问学生是怎么理解的？如：已知 = 1且 = + 1，求{}通项公式。教师在例题讲解中把已知的递推式变形为2 = （2），从而将问题化归为等比数列问题。学生对这道例题的反映全部是“懂”了。但在考试中，对于题目 已知 = 1且 = 2 + ，求{}通项公式。大部分学生将已知的递推式变形为 + = 2（ + ），从而推出{ + }是一个等比数列，由此求出{}的一个错误的通项公式。在讲评时，先让学生说出自己的想法，再由学生讨论错在哪里，教师引导学生对下标符号“”的思考。最后探讨问题的本质，回归等比数列的定义，并给出同类问题练习：已知 = 3 + ，求{}的通项公式。以使学生达到真“懂”，在交流沟通中达到预设的教学目标，而不是机械地模仿。同时教师需要深入察觉学生的内心世界，用爱心赢得学生的信任，使学生放心大胆地在课堂上交流互动，使课堂效率更高。
4.3 关注学生的最近发展区，理解教材中问题的本质
美国学者史密斯提出学习过程有五个阶段，很多教育学者认为，学习过程中的各个阶段是设计和实施有效教学的基础，而学生的初始水平是教学设计的关键。学生在学习中出现“懂而不会”现象的原因之一是教师备课过程中考虑学生太少，不了解学生具体情况引起的。由于教师在备课时，只是根据自我的一些想法和思路进行，脱离学生的实际，总是高估学生的能力，从而导致学生听课很辛苦，没有真正听懂。这就要求教师在课堂教学时，要研读教材，琢磨所教学生，了解学生已有的知识经验水平，根据学生的最近发展区设计问题、遵循由简单到复杂、由易到难的螺旋式的原则，讲解时站在学生的角度思考。因为教师与学生的水平是不一样，对同一问题的理解是不一样的，教师认为容易的问题，学生不一定感觉容易。例如：公式 = + 的教学：
（1）化简以下各式
① + ；② + ；③ ；
（2）把下列各式化成两角和与差的正余弦函数形式
① + ；② + ；③
师生共同总结出 = + 化成 = （）的方法，揭示出这个公式的本质是两角和与差的正、余弦公式的逆用。
（3）① + 能化简为 = （）吗？
② + 能化简为 = （）吗？
③ + 能化简为 = （）吗？
这三个问题从学生学习过的知识出发，以旧联新，层层递进，让学生深入理解公式的本质，而不是单纯地模仿化简的形式。这种处理方式不仅让学生“懂”方法，更注重学生“会”方法。又如两个计数原理的学习，学生都感到课堂上容易听得懂，但不会做题，考试时经常出错。一方面原因是课时紧，练习少，导致学生不能充分理解掌握两个原理。更重要的原因是有些教师没有充分理解教材编写者的意图：（1）理解两个原理，能区分分类或分步；（2）加强对学生应用题的指导，培养学生应用数学的意识。教师在教学中，重视教材中例题，引导学生认真分析并理解每道例题与习题，理顺思维过程，理解两个原理的本质。而要达到学生真懂所学知识，教师必须沉下心来研究学生的现有知识水平，理清知识发生的根源，把握教材中最本质、最核心的东西。教师应常问自己：对这个内容的本质是否深刻理解，是否用深入浅出的方式讲解？
4.4 完善课堂教学理念，改进教学方法
在课堂中有时对某些知识点的教学，教师感觉甚好，然而学生在做题中笔者却发现事与愿违。如在一次公开课中：设数列{}中，已知 = ，其前项和为， = ，求数列{}的通项公式。课堂教学中，一位学生在黑板上顺利完成解答，在求{}时，由 = 易得 = （≥2），两式相减，可得2 = ，至此说“数列{}是公比为的等比数列”，故 = 。教师问其他学生答案是否正确，学生一致同意。最后一起总结了这是求数列通项的一种常用方法，这位教师以为学生都懂了。可是在后面的练习中已知数列{}， = 1， = + ，则 = ；很多学生得出 = 2的错误答案。课堂上教师为了体现学生的主体性，让其板演，这是教师获取信息反馈的一种有效途径，板演所选具有代表性学生同时要关注到班级的学困生，但更重要的是对板演的评析，要抓住关键点和易错点，教师可考虑让学生互评，评思路讲方法，多问几个为什么？一些学生得出错误结果可能只是对等比数列的概念的学习只是达到工具性理解的程度，而没有达到关系性理解的程度。课堂上教师要把握个体学生理解不代表全部学生的理解，在部分“聪明”学生的解答下，同时要提问基础差的学生，让他们说一说对这个问题的理解，看是否全体学生都能理解并能掌握。
总之，学生学习知识是一个循序渐进的过程，教师在教学中既要让学生能听懂，善记忆，具有举一反三、触类旁通的能力，达到熟能生巧的程度，又真正理解所学知识是解决“懂而不会”现象的一种有效途径。同时要研究所教学生学习的心理状态和学习特点，经常反思自己的教学行为，教学方法和自己在学习方法上给予学生哪些有效的指导？同时要想改变“懂而不会”现象，教师首先要从思想上更新教学理念，提高自身业务素质，努力从“独奏者”的角色过渡到“伴奏者”的角色，把以学生为主体的理念真正落到实处。改变学生被动听、懂而不会的情况，相信学生的学习潜能，创设学生建构自己的理解，主动由“懂”到“会”。
本文得到了广州市增城教育科学十二五规划第一批立项课题“三练在数学学科中的功能与作用研究”（课题编号：1129）
注释
① 何善亮.从意义建构到能力生成——“懂而不会”现象的原因探析、实践应对与理论思考[J].教育科学研究，2008（10）：18-19.
② 沈燕.例析学生听得懂课却不会做题的现象[J].教育研究，2011（5）：90-91.
③ 刘红霞.“对话理解”的视角看“懂而不会”现象[J].中学数学教学参考（上旬），2013（5）：33-35.
④ 姚君依.解题过程中的“懂而不会”现象剖析[J].中学数学教学参考（上旬），2013（5）：30-32.
⑤ 俞璠，王孝振.“能听懂课，不会解题”的原因调查与分析[J].福建中学数学，2010（6）：36-38.
⑥ 马复.试论数学理解的两种类型——从R·斯根普的工作谈起[J].数学教育学报，2001.10（3）：50-53.
⑦ [美]Cecil D. Mercer， Ann R.Mercer著.学习问题学生的教学[M].胡晓毅，谭明华，译.中国轻工业出版社，2005：103-105，161-163.
⑧ 曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，1999.
关键词 懂而不会 理解 教学
中图分类号：G424 文献标识码：A
1 问题提出
常常听到学生和教师抱怨：上课听得懂，可是作业不会做，考试中会的题目却拿不到分，这都是“懂而不会”的现象。学生听得懂、会做，是指理解教师的解题思路和方法，具备解答此题的所有数学知识，但在做题的过程中因某一环节的出错，导致最后结果做错了。学生对“懂而不会”这种现象导致的结果往往认为是由于自我的粗心和马虎而引起的错误。甚至有些教师也是如此认为，很少愿意从自己教学方面寻找深层次的原因。这也是本校一些学生成绩不能上到高台阶的拦路虎，“懂而不会”的现象背后是什么，教师怎样在教学中找到有效的克服“懂而不会”现象的法宝，这引起了笔者的思考和探析。
2 “懂而不会”现象的研究现状
何善亮老师①从学生学习过程的角度对“懂而不会”现象进行了分析，学生学习程序性知识具有不同的境界，“懂”是学生学习的一个基本境界，而“会”是一个更高的境界，他从认知维度教学目标、学生能力生成机制和练习有效性三方面寻求应对此现象的具体方案和策略。沈燕老师②在实际教学中发现学生存在“懂而不会”的现象，回顾反思了自己的教学过程，提出了改进的方法。她认为教师的课堂提问方式应该引导学生学会“为什么这么做”，要避免教师代替学生思考，而且要及时进行归纳总结。刘红霞老师③从对话理解的视角，分析教师与学生之间产生“懂而不会”的现象的原因，并提出自己的教学对策。姚君依老师④对解题过程中的“懂而不会”的现象从学生思维方面进行了分析，并提出在解题中克服思维障碍的一些具体做法。俞璠等老师⑤对如何解决学生课堂上的“能听懂”，课后的“不会解题”这个问题产生的原因进行问卷调查、分析，发现学习方法的好坏直接关系到学生学习的主观能动性，是学生 “能听懂课，不会解题”的问题的根本原因，并在调查、分析的基础上，提出了让学生养成良好的学习习惯，形成积极向上的学习心理，培养学生自我评价能力等方面的对策。
通过对“懂而不会现象”的初步研究，下面笔者结合自己的教学实践，立足学生，从教师的教学方面做一些分析与探讨。
3 理论依据
在现代汉语词典中，“懂”指知道、了解；“会”指理解、领悟。1976年，R·斯根普提出事物的理解具有两种类型：⑥工具性理解和关系性理解。工具性理解是指：一种语义性理解——即符号A所指代的事物是什么，或者一种程序性理解——一个规则R所指定的每一个步骤是什么？如何操作；关系性理解是指在工具性理解的基础上还需加上对符号意义和替代物本身结构上的认识，获得符号指代物意义的途径，以及规则本身有效性的逻辑依据，等等。美国学者史密斯提出的学习过程的五个阶段，它们分别是：⑦（1）初级和高级获得阶段。在获得阶段的开始时刻，教学目标的重点是帮助学生提高认知的正确率。（2）熟练阶段。教师应着重培养学生学习的自觉性， 提高学生的学习效率。采取学习目标控制、监控学习进程。（3）保持阶段。教师还需要引导学生自我管理、间歇强化、机械强化等教学策略。（4）迁移阶段。（5）调整阶段。而建构主义⑧认为，学习者学习的重要目标是获取知识，但获取的知识具有不一样的水平。第一层水平学生只会记住数学中概念与定理的文字描述，不能真正了解它们的涵义，只能简单地模仿；第二层水平是学生对所学知识有了较深刻的理解，能够对这些内容清楚的区分、进行合情的推理和预测，可以运用所学知识去解决具有一定综合性的问题。建构主义教学观认为，只有当学生将所获取的知识结构系统化时，才可以使所学知识达到真正的、深层次的理解。所以笔者认为中学数学中“懂而不会”现象中的“懂”是浮于表面的似懂非懂，而真正的“懂”是学生对所学数学知识深层次的掌握，不但需记住教师课堂上所讲授的知识，能够口头表达和会解题与归纳总结，而且能够建立属于自己的知识结构体系。
4 教学探讨
4.1 培养学生审题意识，提高解题能力
有些学生在平时的练习和考试中，尤其是面对较熟悉或容易的题目时，发现某道题目与做过的某题类似，就疏忽大意，还没读完题就急忙作答，或者还没有挖掘出题目的隐含的限制条件就下笔了，结果自然就错了，拿不了分。这种情况在考试中很常见，而且这些学生的基础还不错。产生这种现象的主要原因是审题不清。
例如：已知集合 = {∣-1<<3，}， = {∣-2<<5}，求 ∩ （ ）
A.（-1，3） B.（-2，3） C.（0，1，2） D.（-1，5）
有些学生错选了答案A，他说会做这题，可是考试时看题太快，没有注意到这个限制条件。这样的错误给人的感觉是没有注意到这个条件而已，事实上是不完整的数学活动经验，造成习惯性思维，体现学生审题能力的缺陷，这也是教师在平时教学中忽视对学生审题方面的训练。在教学中，教师要在传授知识的同时加强方法性引导，注重学生审题意识的培养。如在考试时要求学生坚持“一慢一快”的策略，即审题要慢，做题要快。题目本身是“怎样解这道题”的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，把题目多读几遍，弄清这个题目求什么，已知什么，求和与已知之间有什么关系，把题目搞清楚了再动手答题，这一步不要怕慢。同时鼓励每位学生发现自我，从简单的做起，坚持把基础题做好，把简单题做好就是成功，认真对待每一道题。根据建构主义学习观，教师需创造条件努力让学生学习知识达到第二层水平。如在解题教学时，可先让学生读题，然后用自己的语言描述出题目的要求，或者动手画出题目的题解图，以此提高审题及解题的能力。 4.2 重视理解偏差问题，注重交流沟通
课堂上，当老师强调重点内容和解题方法或询问学生掌握情况时，学生表示已经理解老师所授知识，但是在后面的练习中又未能真正理解并灵活运用。这种情况往往是学生误解了教师的意图，机械地模仿教师，这就需要教师在教学中要关注学生的学习水平，要多追问学生是怎么理解的？如：已知 = 1且 = + 1，求{}通项公式。教师在例题讲解中把已知的递推式变形为2 = （2），从而将问题化归为等比数列问题。学生对这道例题的反映全部是“懂”了。但在考试中，对于题目 已知 = 1且 = 2 + ，求{}通项公式。大部分学生将已知的递推式变形为 + = 2（ + ），从而推出{ + }是一个等比数列，由此求出{}的一个错误的通项公式。在讲评时，先让学生说出自己的想法，再由学生讨论错在哪里，教师引导学生对下标符号“”的思考。最后探讨问题的本质，回归等比数列的定义，并给出同类问题练习：已知 = 3 + ，求{}的通项公式。以使学生达到真“懂”，在交流沟通中达到预设的教学目标，而不是机械地模仿。同时教师需要深入察觉学生的内心世界，用爱心赢得学生的信任，使学生放心大胆地在课堂上交流互动，使课堂效率更高。
4.3 关注学生的最近发展区，理解教材中问题的本质
美国学者史密斯提出学习过程有五个阶段，很多教育学者认为，学习过程中的各个阶段是设计和实施有效教学的基础，而学生的初始水平是教学设计的关键。学生在学习中出现“懂而不会”现象的原因之一是教师备课过程中考虑学生太少，不了解学生具体情况引起的。由于教师在备课时，只是根据自我的一些想法和思路进行，脱离学生的实际，总是高估学生的能力，从而导致学生听课很辛苦，没有真正听懂。这就要求教师在课堂教学时，要研读教材，琢磨所教学生，了解学生已有的知识经验水平，根据学生的最近发展区设计问题、遵循由简单到复杂、由易到难的螺旋式的原则，讲解时站在学生的角度思考。因为教师与学生的水平是不一样，对同一问题的理解是不一样的，教师认为容易的问题，学生不一定感觉容易。例如：公式 = + 的教学：
（1）化简以下各式
① + ；② + ；③ ；
（2）把下列各式化成两角和与差的正余弦函数形式
① + ；② + ；③
师生共同总结出 = + 化成 = （）的方法，揭示出这个公式的本质是两角和与差的正、余弦公式的逆用。
（3）① + 能化简为 = （）吗？
② + 能化简为 = （）吗？
③ + 能化简为 = （）吗？
这三个问题从学生学习过的知识出发，以旧联新，层层递进，让学生深入理解公式的本质，而不是单纯地模仿化简的形式。这种处理方式不仅让学生“懂”方法，更注重学生“会”方法。又如两个计数原理的学习，学生都感到课堂上容易听得懂，但不会做题，考试时经常出错。一方面原因是课时紧，练习少，导致学生不能充分理解掌握两个原理。更重要的原因是有些教师没有充分理解教材编写者的意图：（1）理解两个原理，能区分分类或分步；（2）加强对学生应用题的指导，培养学生应用数学的意识。教师在教学中，重视教材中例题，引导学生认真分析并理解每道例题与习题，理顺思维过程，理解两个原理的本质。而要达到学生真懂所学知识，教师必须沉下心来研究学生的现有知识水平，理清知识发生的根源，把握教材中最本质、最核心的东西。教师应常问自己：对这个内容的本质是否深刻理解，是否用深入浅出的方式讲解？
4.4 完善课堂教学理念，改进教学方法
在课堂中有时对某些知识点的教学，教师感觉甚好，然而学生在做题中笔者却发现事与愿违。如在一次公开课中：设数列{}中，已知 = ，其前项和为， = ，求数列{}的通项公式。课堂教学中，一位学生在黑板上顺利完成解答，在求{}时，由 = 易得 = （≥2），两式相减，可得2 = ，至此说“数列{}是公比为的等比数列”，故 = 。教师问其他学生答案是否正确，学生一致同意。最后一起总结了这是求数列通项的一种常用方法，这位教师以为学生都懂了。可是在后面的练习中已知数列{}， = 1， = + ，则 = ；很多学生得出 = 2的错误答案。课堂上教师为了体现学生的主体性，让其板演，这是教师获取信息反馈的一种有效途径，板演所选具有代表性学生同时要关注到班级的学困生，但更重要的是对板演的评析，要抓住关键点和易错点，教师可考虑让学生互评，评思路讲方法，多问几个为什么？一些学生得出错误结果可能只是对等比数列的概念的学习只是达到工具性理解的程度，而没有达到关系性理解的程度。课堂上教师要把握个体学生理解不代表全部学生的理解，在部分“聪明”学生的解答下，同时要提问基础差的学生，让他们说一说对这个问题的理解，看是否全体学生都能理解并能掌握。
总之，学生学习知识是一个循序渐进的过程，教师在教学中既要让学生能听懂，善记忆，具有举一反三、触类旁通的能力，达到熟能生巧的程度，又真正理解所学知识是解决“懂而不会”现象的一种有效途径。同时要研究所教学生学习的心理状态和学习特点，经常反思自己的教学行为，教学方法和自己在学习方法上给予学生哪些有效的指导？同时要想改变“懂而不会”现象，教师首先要从思想上更新教学理念，提高自身业务素质，努力从“独奏者”的角色过渡到“伴奏者”的角色，把以学生为主体的理念真正落到实处。改变学生被动听、懂而不会的情况，相信学生的学习潜能，创设学生建构自己的理解，主动由“懂”到“会”。
本文得到了广州市增城教育科学十二五规划第一批立项课题“三练在数学学科中的功能与作用研究”（课题编号：1129）
注释
① 何善亮.从意义建构到能力生成——“懂而不会”现象的原因探析、实践应对与理论思考[J].教育科学研究，2008（10）：18-19.
② 沈燕.例析学生听得懂课却不会做题的现象[J].教育研究，2011（5）：90-91.
③ 刘红霞.“对话理解”的视角看“懂而不会”现象[J].中学数学教学参考（上旬），2013（5）：33-35.
④ 姚君依.解题过程中的“懂而不会”现象剖析[J].中学数学教学参考（上旬），2013（5）：30-32.
⑤ 俞璠，王孝振.“能听懂课，不会解题”的原因调查与分析[J].福建中学数学，2010（6）：36-38.
⑥ 马复.试论数学理解的两种类型——从R·斯根普的工作谈起[J].数学教育学报，2001.10（3）：50-53.
⑦ [美]Cecil D. Mercer， Ann R.Mercer著.学习问题学生的教学[M].胡晓毅，谭明华，译.中国轻工业出版社，2005：103-105，161-163.
⑧ 曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，1999.