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“变式”原为心理学上的名词，其含义是变换材料的出现形式；在数学教学中，教师适当引导学生进行变式练习，变换数学问题的非本质方面，突出数学概念和性质的本质属性，有效促进学生举一反三和灵活思考，最终将有利于学生掌握基本知识和锻炼数学能力．下面以一道解析几何题的变式教学设计为例进行阐述：
原题：求抛物线y2=6-2x上与原点距离最近的点P的坐标．
解： 设所求的点P的坐标为（x,y)，则
|OP|= x2+y2 = x2-2x+6 = (x-1)2+5(x≤3)
当x=1时，|OP|min= 5 ，此时 y=±2.
所以点（1，±2)为所求的点．
1 条件由特殊到一般，加深解法印象
将原题中“到特殊点（原点）的距离”改为“到x轴上动点的距离”，这样使得题目更加一般化，而解法完全相同，从而帮助学生加深解此类题的印象．将习题条件一般化正是设计变式题的常用方法．
变题1：在抛物线y2=6-2x上求一点P，使此点到A（a,0)的距离最短，并求最短距离．
解： 设点P的坐标为（x,y)，则有 |PA|=
(x-a)2+y2 = (x-a)202x+6 =
(x-a-1)2+5-2a(x≤3)；
若a≥2，则当x=3时，|PA|min=
|a-3|，这时点P的坐标为（3，0）；
若a＜2，则当x=a+1时，|PA|min= 5-2a ，这时点M的坐标为（a+1,± 5-2a )．
2 问题形式变化，深化概念理解
在教学实践中常常体会到，学生在掌握了一种解题方法后，往往会机械的套用解题模式去处理类似问题，造成思想僵化、思维呆板；如果将问题形式略加变化，引导学生回归基本概念、基本知识，则会在一定程度上克服这种思维定势．比如将原题中抛物线上的点“到一个定点的最小距离”变更为“到两个定点的距离之和最小”，貌似增大了题目的难度，如果照搬原题的解法则很难解答；这时教师指导学生回归到抛物线的定义解题，让学生在“山重水复疑无路”之后恍然大悟，体验到定义带来的“柳暗花明又一村”，这使学生产生强烈的认知冲突，从而加深其对基本概念的理解、事半而功倍．
变题2：已知点A（1，1），F为y2=6-2x的焦点，点P是该抛物线上的动点，求当|PA|+|PF|取得最小值时点P的坐标．
略解： 根据抛物线的定义可知，当AP连线与x轴平行|PA|+|PF|最小．易求得此P（ 5 2 ，1）．
3 改常规题为探索题，突出逆向思维
在现代课堂教学当中非常重视探索式教学，其中逆向思维探索显得尤为突出，它能使学生的思维突破传统习惯的框架．在变式教学中，将原题的条件变为要求的结论、原题的结论变为已知条件，使思维方向逆转，此举有利于培养学生的综合分析能力．
变题3：有一抛物线顶点在x轴上，且以直线x= 7 2 为准线．如果点A（1，0）到此抛物线上的点的最小距离是 3 ，求此抛物线方程．
解： 设存在满足条件的抛物线，且顶点为（a,0) a≠0．设P（x,y)为抛物线上任一点．
若a＞ 7 2 ，则抛物线开口向右，此时|AP|≥a-1＞ 3 ．与已知|AP|min= 3 相矛盾．
若a＜ 7 2 ，则抛物线开口向左，顶点到准线的距离为 7 2 -a，则抛物线方程为y2=(4a-14)(x-a)，于是得到：
|AP|2=（x-1)2+y2=(x-1)2+(4a-14)(x-a)=［x-(8-2a)］2+46a-8a2-63
因为 y2≥0，所以 x≤a, 若 8-2a≤a，即8 3 ≤a＜ 7 2 ，当x=8-2a时，|AP|2min=46a-8a2-63.由46a-8a2-63=3，解得 a= 11 4 (舍）或a=3．若8-2a＞a，即 a＜ 8 3 ，当x=a时，|AP|2min=(a-1)2,由（a-1)2=3，解得 a=1+ 3 （舍）或a=1- 3 . 综上所述，所求抛物线方程为 y2=6-2x或y2=(-4 3 -10)(x-1+ 3 ).
4 改变条件背景，促成知识交汇
在上题中，将定点A（1，0）变成了在某条定直线上运动的动点，彻底改变了题目的条件背景，促成了圆锥曲线与直线知识的交汇，如此处理对激发学生的求知欲、培养他们的知识迁移能力有促进作用．
变题4：有一抛物线以（3，0）为顶点，且以x轴为对称轴．如果动点A满足直线方程l:3x+4y=12，且到此抛物线上的点的最小距离为 1 15 ，求此抛物线方程．
解： 由题意可知，要求的抛物线必是开口向左，故可设抛物线的方程为 y2=-2p(x-3) (p＞0).
该抛物线上的点与直线l的最小距离为 1 15 ，可先求出一条直线l′，满足与l平行且与抛物线相切．设直线l′的方程为3x+4y=d，点（4，0）到直线l′的距离为 1 15 ,即|3·4+4·0-d| 5 = 1 15 ，解得d= 37 3 (舍）或d= 35 3 ．故l′方程为3x+4y= 35 3 ，由 3x+4y= 35 3
y2=-2p(x-3) 得到 81x2+(288p-630)x+1225-864p=0，再由Δ=0解得p=1，从而抛物线的方程为y2=6-2x．
5 联系实际，增强应用意识
在教学中，可适当引导学生学会用数学知识来解决简单的实际问题，通过解决实际问题，让学生享受到问题解决的乐趣，体会到学数学的意义，同时也使学生逐步增强数学应用意识．
变题5：已知探照灯的轴截面是抛物线x=y2，如图表示平行于抛物线上对称轴y=0(即x轴）的光线于抛物线上的点P、Q的反射情况．设点P的纵坐标为a(a＞0)．A取何值时，从入射点P到反射点Q的光线的路程PQ最短．
解： 光源置于抛物镜面的焦点处，光经抛物镜面反射成一束平行光束射出，这是抛物线的光学性质．因此入射光线与反射光线成平行状态，那么光线PQ必过抛物线x=y2的焦点F（ 1 4 ，0），于是知P点的坐标为（a2,a)，故直线PQ的方程为y= a a2- 1 4(x- 1 4 )，即4ax2-(4a2-1)y-a=0.
解方程组y2=x
4ax-(4a2-1)y-a=0得
y=- 1 4a 或y=a，
由此可知，点Q的坐标是（ 1 16a2 ,- 1 4a )，从而 |PQ|=|PF|+|FQ|=a2+ 1 16a2 + 1 2 ．
要求由入射点P到反射点Q的路径最小的参数a的值，利用基本不等式，有
|PQ|=（a2+ 1 16a2 )+ 1 2 ≥2 a2· 1 16a2+ 1 2 =1，当且仅当a2= 1 16a2 ，即 a= 1 2 时，上式等号成立，这时入射点为（ 1 4 ， 1 2 ），反射点为（ 1 4 ，- 1 2 ），它们的路径PQ最短．这个PQ就是抛物线的通径．
教学中，如何从一道例题出发进行变式教学，无论从方法上还是从内容上都起着“固体拓新”之用，可收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，同时可培养学生提出问题和解决问题的能力，并使学生探究能力和创新能力得到发展．
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
原题：求抛物线y2=6-2x上与原点距离最近的点P的坐标．
解： 设所求的点P的坐标为（x,y)，则
|OP|= x2+y2 = x2-2x+6 = (x-1)2+5(x≤3)
当x=1时，|OP|min= 5 ，此时 y=±2.
所以点（1，±2)为所求的点．
1 条件由特殊到一般，加深解法印象
将原题中“到特殊点（原点）的距离”改为“到x轴上动点的距离”，这样使得题目更加一般化，而解法完全相同，从而帮助学生加深解此类题的印象．将习题条件一般化正是设计变式题的常用方法．
变题1：在抛物线y2=6-2x上求一点P，使此点到A（a,0)的距离最短，并求最短距离．
解： 设点P的坐标为（x,y)，则有 |PA|=
(x-a)2+y2 = (x-a)202x+6 =
(x-a-1)2+5-2a(x≤3)；
若a≥2，则当x=3时，|PA|min=
|a-3|，这时点P的坐标为（3，0）；
若a＜2，则当x=a+1时，|PA|min= 5-2a ，这时点M的坐标为（a+1,± 5-2a )．
2 问题形式变化，深化概念理解
在教学实践中常常体会到，学生在掌握了一种解题方法后，往往会机械的套用解题模式去处理类似问题，造成思想僵化、思维呆板；如果将问题形式略加变化，引导学生回归基本概念、基本知识，则会在一定程度上克服这种思维定势．比如将原题中抛物线上的点“到一个定点的最小距离”变更为“到两个定点的距离之和最小”，貌似增大了题目的难度，如果照搬原题的解法则很难解答；这时教师指导学生回归到抛物线的定义解题，让学生在“山重水复疑无路”之后恍然大悟，体验到定义带来的“柳暗花明又一村”，这使学生产生强烈的认知冲突，从而加深其对基本概念的理解、事半而功倍．
变题2：已知点A（1，1），F为y2=6-2x的焦点，点P是该抛物线上的动点，求当|PA|+|PF|取得最小值时点P的坐标．
略解： 根据抛物线的定义可知，当AP连线与x轴平行|PA|+|PF|最小．易求得此P（ 5 2 ，1）．
3 改常规题为探索题，突出逆向思维
在现代课堂教学当中非常重视探索式教学，其中逆向思维探索显得尤为突出，它能使学生的思维突破传统习惯的框架．在变式教学中，将原题的条件变为要求的结论、原题的结论变为已知条件，使思维方向逆转，此举有利于培养学生的综合分析能力．
变题3：有一抛物线顶点在x轴上，且以直线x= 7 2 为准线．如果点A（1，0）到此抛物线上的点的最小距离是 3 ，求此抛物线方程．
解： 设存在满足条件的抛物线，且顶点为（a,0) a≠0．设P（x,y)为抛物线上任一点．
若a＞ 7 2 ，则抛物线开口向右，此时|AP|≥a-1＞ 3 ．与已知|AP|min= 3 相矛盾．
若a＜ 7 2 ，则抛物线开口向左，顶点到准线的距离为 7 2 -a，则抛物线方程为y2=(4a-14)(x-a)，于是得到：
|AP|2=（x-1)2+y2=(x-1)2+(4a-14)(x-a)=［x-(8-2a)］2+46a-8a2-63
因为 y2≥0，所以 x≤a, 若 8-2a≤a，即8 3 ≤a＜ 7 2 ，当x=8-2a时，|AP|2min=46a-8a2-63.由46a-8a2-63=3，解得 a= 11 4 (舍）或a=3．若8-2a＞a，即 a＜ 8 3 ，当x=a时，|AP|2min=(a-1)2,由（a-1)2=3，解得 a=1+ 3 （舍）或a=1- 3 . 综上所述，所求抛物线方程为 y2=6-2x或y2=(-4 3 -10)(x-1+ 3 ).
4 改变条件背景，促成知识交汇
在上题中，将定点A（1，0）变成了在某条定直线上运动的动点，彻底改变了题目的条件背景，促成了圆锥曲线与直线知识的交汇，如此处理对激发学生的求知欲、培养他们的知识迁移能力有促进作用．
变题4：有一抛物线以（3，0）为顶点，且以x轴为对称轴．如果动点A满足直线方程l:3x+4y=12，且到此抛物线上的点的最小距离为 1 15 ，求此抛物线方程．
解： 由题意可知，要求的抛物线必是开口向左，故可设抛物线的方程为 y2=-2p(x-3) (p＞0).
该抛物线上的点与直线l的最小距离为 1 15 ，可先求出一条直线l′，满足与l平行且与抛物线相切．设直线l′的方程为3x+4y=d，点（4，0）到直线l′的距离为 1 15 ,即|3·4+4·0-d| 5 = 1 15 ，解得d= 37 3 (舍）或d= 35 3 ．故l′方程为3x+4y= 35 3 ，由 3x+4y= 35 3
y2=-2p(x-3) 得到 81x2+(288p-630)x+1225-864p=0，再由Δ=0解得p=1，从而抛物线的方程为y2=6-2x．
5 联系实际，增强应用意识
在教学中，可适当引导学生学会用数学知识来解决简单的实际问题，通过解决实际问题，让学生享受到问题解决的乐趣，体会到学数学的意义，同时也使学生逐步增强数学应用意识．
变题5：已知探照灯的轴截面是抛物线x=y2，如图表示平行于抛物线上对称轴y=0(即x轴）的光线于抛物线上的点P、Q的反射情况．设点P的纵坐标为a(a＞0)．A取何值时，从入射点P到反射点Q的光线的路程PQ最短．
解： 光源置于抛物镜面的焦点处，光经抛物镜面反射成一束平行光束射出，这是抛物线的光学性质．因此入射光线与反射光线成平行状态，那么光线PQ必过抛物线x=y2的焦点F（ 1 4 ，0），于是知P点的坐标为（a2,a)，故直线PQ的方程为y= a a2- 1 4(x- 1 4 )，即4ax2-(4a2-1)y-a=0.
解方程组y2=x
4ax-(4a2-1)y-a=0得
y=- 1 4a 或y=a，
由此可知，点Q的坐标是（ 1 16a2 ,- 1 4a )，从而 |PQ|=|PF|+|FQ|=a2+ 1 16a2 + 1 2 ．
要求由入射点P到反射点Q的路径最小的参数a的值，利用基本不等式，有
|PQ|=（a2+ 1 16a2 )+ 1 2 ≥2 a2· 1 16a2+ 1 2 =1，当且仅当a2= 1 16a2 ，即 a= 1 2 时，上式等号成立，这时入射点为（ 1 4 ， 1 2 ），反射点为（ 1 4 ，- 1 2 ），它们的路径PQ最短．这个PQ就是抛物线的通径．
教学中，如何从一道例题出发进行变式教学，无论从方法上还是从内容上都起着“固体拓新”之用，可收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，同时可培养学生提出问题和解决问题的能力，并使学生探究能力和创新能力得到发展．
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文