论文部分内容阅读
摘 要：数学虽然抽象，但其语言简练而准确，描述独特且精美，这是任何一种语言都无可比拟的。数学家们常说，数学语言是最美的语言，这在微积分中体现得尤为突出。只要仔细品味微积分中定义定理的描述，就会有深彻感悟。而且也只有细品微积分的这些内容，才能正确理解其中的精髓，使抽象问题形象化、生动化，才能体会到其中的精美与奥妙。
关键词：数学教学；微积分；精美
一、体会极限语言描述之美
极限是微积分中最基本、最精美的概念，但也是最抽象的概念。极限概念不仅难以理解，该部分内容还在整门课程的开篇章之中，对新入校大大学生来说，往往是学习高等数学的一个下马威，使学生对高等数学产生畏惧心理。有很多大学已经毕业，甚至读研究生的学生，谈起高等数学，仍对其中的极限概念感到糊涂和惧怕。
极限是刻划变量与定量接近程度的概念，也是日常生活中常用到的名词。比如说，×××在挑战极限，×××已达到极限水平等。既然如此普及地提到极限，为何又如此难以理解和解释呢？
实际上，对极限难以理解的根本原因，是没有理解“无限解近”与“越来越接近”的区别。如果注意观察、理解生活中或身边常见的一些现象，理解“无限接近”和“越来越接近”的内涵，就很容易理解抽象的极限概念了。
仔细理解此类现象，就可以总结出函数极限本质，对之定义为：“在自变量（如时间等）的某个变化过程中，若某函数（因变量或物体）与一个确定常量（或物体）无限接近，则称在这个变化过程中，该函数（因变量或物体）以此确定常量（物体）为极限。”这样结合身边现象或实际场景体会后，极限概念就变得简单，易于理解了。
二、体会极限图像之美
观察如下图像，图中随着曲线图像向两边延伸，曲线也逐渐收敛于中心线。可以说，如果在曲线中心线上下两侧做两条水平直线，或放置两个水平夹板，无论两个夹板之间距离多小，在图像左右两侧相应远的位置之外，曲线全被夹在夹板之间。
在数学上，如果将图中横坐标轴称为自变量x轴，纵轴称为因变量y轴，曲线看做某函数x=f（x）的图像，曲线中心线记为y=A，上面图像表示：
对任意给定的正数ε，即夹板距离2ε，都存在左右两个界碑位置x=-M和x=M（M>0），在界碑之外，即x<-M或x>M时，曲线y=f（x）落入夹板中，即曲y=f（x）上的点与中心线y=A的距离小于ε。简言之，即“对任意给定的正数ε，都存正数M，使得当|x|>M时，恒有|f（x）-A|<ε成立”，这短短一句话的简述，却清楚地解释了图像上所有信息，刻画了x趋于无穷大时，函数y=f（x）以A为极限的本质。
三、体会导数含义之美
导数公式证明抽象，特别是复合函数的求导公式和反函数的求导公式，难以理解和掌握。但若细品导数的物理意义，从物理意义出发解释这两个公式，就会自然生动，易于掌握。
例如，某运动物体的路程与时间的函数关系为y=f（x），若在x0处y=f（x）的导数y`x=2，说明在x0处物体运动的瞬时速度为2，这也可以解释为“y随x变化的速度为2”。由此可以自然地解释复合函数、反函数的导数公式。
一方面，从速度角度理解导数，根据实际问题推出两个公式，避免用繁杂的理论证明，学生清楚易懂，也能真正理解掌握，便于在专业实践或现实生活中有机应用；另一方面，用速度解释导数意义和公式，使抽象概念形象化，使理论问题生活化，给人以亲近感，让人愿意细品，充分享受作为速度的导数无出不有，无刻不在，给人生活带来的美好感受。
四、体会极值、最值之美
细品前面图像，曲线峰点和谷点具有以下明显特征：第一，峰点值比附近值都大；第二，谷点值比附近值都小。仍将曲线看做函数y=f（x）的图像，将峰点值和谷点值分别称为函数的极大值和极小值，从理论角度叙述，可描述如下：
设函数y=f（x）在x0的某邻域内有定义，若对该邻域内任何一点异于x0的点x，都有f（x0）>f（x），称f（x0）为函数的极大值；若对该邻域内任何一点异于x0的点x，都有f（x0） 细品极值定义，就会发现两个有趣的问题：①函数局部的最大值不一定是极大值；②当函数在某区间内只有一个极大值，且没有极小值时，该极大值也不一定是最大值。
因为，①虽然定义中只要求函数在x0的某邻域内有定义，并对该邻域内任何异于x0的点x都有成立，极值具有局部性，但定义中f（x0）>f（x）为严格不等式，没有等号出现，说明极大值点的函数值不仅在邻域内最大，而且比附近的函数值都要大。②当函数在某区间内只有一个极大值而没有极小值时，极大值两侧函数不一定是单调的，例如在极大值右侧图像可能出现由减到水平然后再递增的情况，递增后的值可能会超过原极大值，而且水平线段上的函数值不满足极值条件，也都非极值。
五、体会积分之美
若仔细观察，球形建筑物或工厂烟囱表面虽然远看光滑美丽，但近看却是一块块平面砖块镶嵌而成。这其中蕴含着数学上发展了2000多年才形成的原理——微积分，也体现了哲学上大与小的辩证原理——“分大为小，积少成多”。原理分析过程有四步：①分割，将大的物体分为小物体；②（近似）计算，算出小块物体面积（或其他指标）；③求和，累积求出总体面积（或其他指标），④精确化，通过分割变细取极限，求出精确值。
将此现象和过程用理论语言表述，针对一元函数，就得到了定积分的数学描述，也是曲边梯形面积计算公式和方法。
细品微积分，深刻理解其中的描述、含义和符号，可以让我们充分享受其中的精华和精美！
参考文献：
[1]王建明，宿金勇等.线性代数与线性规划[M]西安：电子科技大学出版社，2009
[2]周誓达.线性代数与线性规划[M]北京：中国人民大学出版社，1997
关键词：数学教学；微积分；精美
一、体会极限语言描述之美
极限是微积分中最基本、最精美的概念，但也是最抽象的概念。极限概念不仅难以理解，该部分内容还在整门课程的开篇章之中，对新入校大大学生来说，往往是学习高等数学的一个下马威，使学生对高等数学产生畏惧心理。有很多大学已经毕业，甚至读研究生的学生，谈起高等数学，仍对其中的极限概念感到糊涂和惧怕。
极限是刻划变量与定量接近程度的概念，也是日常生活中常用到的名词。比如说，×××在挑战极限，×××已达到极限水平等。既然如此普及地提到极限，为何又如此难以理解和解释呢？
实际上，对极限难以理解的根本原因，是没有理解“无限解近”与“越来越接近”的区别。如果注意观察、理解生活中或身边常见的一些现象，理解“无限接近”和“越来越接近”的内涵，就很容易理解抽象的极限概念了。
仔细理解此类现象，就可以总结出函数极限本质，对之定义为：“在自变量（如时间等）的某个变化过程中，若某函数（因变量或物体）与一个确定常量（或物体）无限接近，则称在这个变化过程中，该函数（因变量或物体）以此确定常量（物体）为极限。”这样结合身边现象或实际场景体会后，极限概念就变得简单，易于理解了。
二、体会极限图像之美
观察如下图像，图中随着曲线图像向两边延伸，曲线也逐渐收敛于中心线。可以说，如果在曲线中心线上下两侧做两条水平直线，或放置两个水平夹板，无论两个夹板之间距离多小，在图像左右两侧相应远的位置之外，曲线全被夹在夹板之间。
在数学上，如果将图中横坐标轴称为自变量x轴，纵轴称为因变量y轴，曲线看做某函数x=f（x）的图像，曲线中心线记为y=A，上面图像表示：
对任意给定的正数ε，即夹板距离2ε，都存在左右两个界碑位置x=-M和x=M（M>0），在界碑之外，即x<-M或x>M时，曲线y=f（x）落入夹板中，即曲y=f（x）上的点与中心线y=A的距离小于ε。简言之，即“对任意给定的正数ε，都存正数M，使得当|x|>M时，恒有|f（x）-A|<ε成立”，这短短一句话的简述，却清楚地解释了图像上所有信息，刻画了x趋于无穷大时，函数y=f（x）以A为极限的本质。
三、体会导数含义之美
导数公式证明抽象，特别是复合函数的求导公式和反函数的求导公式，难以理解和掌握。但若细品导数的物理意义，从物理意义出发解释这两个公式，就会自然生动，易于掌握。
例如，某运动物体的路程与时间的函数关系为y=f（x），若在x0处y=f（x）的导数y`x=2，说明在x0处物体运动的瞬时速度为2，这也可以解释为“y随x变化的速度为2”。由此可以自然地解释复合函数、反函数的导数公式。
一方面，从速度角度理解导数，根据实际问题推出两个公式，避免用繁杂的理论证明，学生清楚易懂，也能真正理解掌握，便于在专业实践或现实生活中有机应用；另一方面，用速度解释导数意义和公式，使抽象概念形象化，使理论问题生活化，给人以亲近感，让人愿意细品，充分享受作为速度的导数无出不有，无刻不在，给人生活带来的美好感受。
四、体会极值、最值之美
细品前面图像，曲线峰点和谷点具有以下明显特征：第一，峰点值比附近值都大；第二，谷点值比附近值都小。仍将曲线看做函数y=f（x）的图像，将峰点值和谷点值分别称为函数的极大值和极小值，从理论角度叙述，可描述如下：
设函数y=f（x）在x0的某邻域内有定义，若对该邻域内任何一点异于x0的点x，都有f（x0）>f（x），称f（x0）为函数的极大值；若对该邻域内任何一点异于x0的点x，都有f（x0）
因为，①虽然定义中只要求函数在x0的某邻域内有定义，并对该邻域内任何异于x0的点x都有成立，极值具有局部性，但定义中f（x0）>f（x）为严格不等式，没有等号出现，说明极大值点的函数值不仅在邻域内最大，而且比附近的函数值都要大。②当函数在某区间内只有一个极大值而没有极小值时，极大值两侧函数不一定是单调的，例如在极大值右侧图像可能出现由减到水平然后再递增的情况，递增后的值可能会超过原极大值，而且水平线段上的函数值不满足极值条件，也都非极值。
五、体会积分之美
若仔细观察，球形建筑物或工厂烟囱表面虽然远看光滑美丽，但近看却是一块块平面砖块镶嵌而成。这其中蕴含着数学上发展了2000多年才形成的原理——微积分，也体现了哲学上大与小的辩证原理——“分大为小，积少成多”。原理分析过程有四步：①分割，将大的物体分为小物体；②（近似）计算，算出小块物体面积（或其他指标）；③求和，累积求出总体面积（或其他指标），④精确化，通过分割变细取极限，求出精确值。
将此现象和过程用理论语言表述，针对一元函数，就得到了定积分的数学描述，也是曲边梯形面积计算公式和方法。
细品微积分，深刻理解其中的描述、含义和符号，可以让我们充分享受其中的精华和精美！
参考文献：
[1]王建明，宿金勇等.线性代数与线性规划[M]西安：电子科技大学出版社，2009
[2]周誓达.线性代数与线性规划[M]北京：中国人民大学出版社，1997