论文部分内容阅读
【摘要】本文基于花岗岩和砂岩数字图像特征，利用小波分析理论及Bayes决策理论建立起岩石中几种成份（云母、石英、长石）的频谱图。首先利用岩石图像灰度统计函数存在多个极小值的特点，将其灰度级划分成若干个子区间，并利用迭代算法对区间进行优化，根据优化所得区间来建立起各类的样本集及其分布域。然后用小波理论对图像进行多重分解，按塔式原则将其各级系数矩阵还原成与原图像大小一致的矩阵，并对各矩阵进行均一化处理，经处理之后的小波系数矩阵为图像的波段。最后，以样本集为基样本，求出小波分解的各级分解系数与对应点的坐标集及其分解系数集，利用Bayes算法建立花岗岩和砂岩中各成份的频谱图。本文中频谱图是建立在先验基础之上的，在对频谱图的应用时，只需将一幅图片进行小波分解，同时对分解系数做还原及均一化处理，根据先验所得的频谱对样本进行计算，便可确定出被分析图像的各种成份及其分布情况。
【关键词】小波分析；岩石圖像分类；频谱；波段；样本；样本集；聚类中心
【Abstract】Based on the characteristics of granite and sandstone digital images， this paper builds up the spectrum of several components （mica， quartz and feldspar） in rock by wavelet analysis theory and Bayes decision theory. Firstly， the gray level is divided into several subintervals by using the gray level statistical function of the rock image. The iterative algorithm is used to optimize the interval. According to the optimized range， the sample sets are set up. Its distribution domain. Then the wavelet is used to decompose the image， and the matrix of the coefficients is reduced to the same size as the original image according to the tower principle， and the matrix is processed uniformly. The wavelet coefficients matrix after processing is the band of the image The Finally， the spectral set of granite and sandstone is established by Bayes algorithm， and the spectral set of the decomposition coefficient of the wavelet decomposition and the corresponding coordinate set and its decomposition coefficient are obtained. In this paper， the spectrum is based on the transcendental basis， in the application of the spectrum， only a picture of the wavelet decomposition， while the decomposition factor to do the reduction and uniform processing， according to a priori spectrum pairs The samples are calculated to determine the various components of the image being analyzed and their distribution.
【Key words】Wavelet analysis；Rock image classification；Spectrum；Band；Sample；Sample set；Clustering center
1. 前言
（1）对于图像的分类，过去有很多学者对此做了很多的研究。在传统方法上，人们利用对象与图像背景之间的差别来识别对象，这些差别主要体现在图像函数f（x）的一阶导数和梯度沿图像边缘切线方向变化的趋势较缓，而沿垂直图像边缘方向的变化趋势较陡，经典的算法有：Roberts算子、Prewitt算子、Sobel算子、LOG算子、Canny算子等[1]。另外在利用边缘检测与图像的数学形态学相接合，也能较好的识别出图像中的对象[2，3]。
（2）岩土材料是由不同成份的物质组成，它们紧密交织，且其间隙十分小，因此边缘检测和数学形态学很难将它们分离出来[4，5]。Seungcheol Shin等[6]人利用小波理论对岩土材料进行分解，并用各级分解系数的能量特征，对土颗粒的尺度进行研究，取得了较好的效果。但是这一方法没有考虑到图像中不同物质成份的概率分布。
（3）花岗岩和砂岩图像的灰度统计函数存在着若干个极小值，以这些极小值点为分界点，将灰度函数的定义域分成若干个子区间，用迭代算法对各区间进行优化；以优化所得子区间为依据，将像素值属于同一区间的点归为一类；求出各类的分布区域、聚类中心等参数。同时用小波分解将图像沿垂直、水平、对角三个方向分解；按塔式放大原则[7]将各级分解系数矩阵还原成与原始图像大小相同的矩阵；根据所得分布域，把所有放大后的系数矩阵划分成若干个子域；将某系数矩阵中位于同一分布域的点集视为类的一个波段。最后利用Bayes算法[8～10]求出每一类的先验概率及其判别式方程，将方程中未知项视为某一类成份的频谱。本文对若干个花岗岩和砂岩图像进行分析，求出各类成份的频谱，便可基于这些频谱对花山岗岩和砂岩进行成份分析。 2. 样本采集
首先以图像像素点为样本，根据岩石成份划分集合。然后以图像灰度统计函数的极值点为划分点，将图像中的点集分成若干类，进行初始样本采集。最后利用聚类算法[11]对初始样本进行聚类分析和样本优化。
为便于处理，将还原之后系数矩阵进行均一化处理，均一化处理后，各矩阵中的所有元素代数和为100。
4. 频谱建立
图像按小波理论分解进行K级分解后，可得到3K+1个系数矩阵，对这些矩阵进行放大和标准化后，矩阵大小一致且各矩阵中的元素的代数和为100。求出各类岩石成份的各级分解系数矩阵的均值，即的该岩石成份的频谱。
4.1 确立波段。
5. 几种岩石成份频谱及其特征
本文对若干个花岗岩和砂岩图像进行分析，求出岩石中各种成份（如石英、云母、长石）在不同小波函数和分解级数下的频谱λi，建立起各种成份的频谱图。以花岗岩为例，利用Haar、Coiflets4、Symlets3、Daubechies5四种小波函数进行四级分解，确定出花岗岩中三种主要成份云母、石英、长石的频谱（见表1，表1及图7）。表1中各参数的含义分别为：λ0是常数项，λ1是细节波段所对应的频谱；λ3k-1（k=1， 2， 3， 4）是第k级系数且沿图像水平方向分解的系数矩阵所对应的频谱；λ3k （k=1， 2， 3， 4） 是第k级系数且沿图像垂直方向分解的系数矩阵所对应的频谱；λ3k-+1（k=1， 2， 3， 4） 是第k级系数且沿图像对角线方向分解的系数矩阵所对应的频谱。图7a是用Haar、Coiflets4、Symlets3、Daubechies5四种小波进行四分解所得长石的频谱图；图7b是用Daubechies5小波函数进行四级分解所得云母、石英、长石三种成份的频谱图；图7c是用Symlets4小波函数进行四級分解所得云母、石英、长石三种成份的频谱图；图7d是用Coiflets4小波函数进行四级分解所得云母、石英、长石三种成份的频谱图；图7e是用Haar小波函数进行四级分解所得云母、石英、长石三种成份的频谱图（频谱图见图7）。
从表1及图7中可以看得：
（1） 各成份的λ0（即常数项）均小于零，且都比其它各波段和频率要小（其中多数比值是|λ0/λi|=5～10，i=1， 2， …， 13）。
（2） 从图7a中可看到，当i<10时，在同一波段处，由四个不同小波函数所确定的长石频谱值λi相差很小；但在11～13波段处的频谱值λ11、λ12、λ13相差较大。这说明随着小波分解级数的增加，各成份在不同小波函数分解所得的频谱差值增大。
（3） 由图7b～e可看到，当i<10时，用同一小波函数求得不同成份的频谱值λi（i=1， 2， …， 10）很接近；但在第11～13波段处不同小波函数所确定的频谱λi（i=11， 12， 13）差值增大。这说明随着小波分解级数的增加，不同成份的频谱值差值越大。
（4） 每一成份的频谱图形态相似，都成波浪形发展。在同一级分解中，沿图像三个方向分解的频率的连线呈V字形或倒V字形，但三者差值不大。
6. 实验及应用
在建立各类成份的频谱图时，是已知图像中各类成份来求相应的频谱。 在应用时则是对一幅图像（未知它的成份）做相反的运算，即由频谱确定成份。
6.1 操作步骤。
用Coiflets4对某一花岗岩图片进行四级小波分解为例，阐述其操作步骤。设图像大小为M×M，共有R（R=M2）个点；用Coiflets4求l类成份的频谱λi（i=1，2，…，l）。
（1） 对图像做小波分解。
（2） 将各级小波分解系数矩阵按塔式放大原则还原成与原始图像大小一致的矩阵。
（3） 对放大后的系数矩阵进行均一化处理。
（4） 将各矩阵按图6所述方法排列成序列。
（5） 将样本X（X=[x1， x2，…， x13]T）及Coiflets4分解所得的频谱λi（i=1，2，…，l）代入频谱方程（25）式中计算，求得到一组函数值gi（x）（i=1， 2， …， l）。
（6） 样本归类：取Pj（x）=max（gi），则将X视为第j类成份。
对各样本进行计算归类后所得结果见图8（原图及各成份的分布图见图8）。
6.2 特征分析。
利用不同成份的频谱对所分析的样本按式（25）计算，可得到各样本在对应频谱中的函数值，求出各类样本函数值的均值和方差（见表3，4），以及每类成份所占的百分含量（见表2），可得如下特征。
（1）从表2 中可看出：长石是主要成份，占55.2%；石英是次要成份，占33.7%；云母含量最少，为11.1%。
（2） 各成份用自己的频谱计算所得函数的均值较大（在表3中以黑体字示出），而用其它成份的频谱计算所得的值较小。如石英在石英频谱中计算所得的值是2.237，而在云母和长石频谱计算所得的频谱分别是2.047、2.019。其余成份均有此特征。
（3） 各成份在自己成份的频谱计算所得函数值的方差较小（在表4中以黑体字示出），而用其它成份计算所得的方差较大。如石英在石英频谱中计算所得的方差是0.823，而在云母和长石频谱计算所得的频谱分别是0.942、0.852。其余成份均有此特征。
6.3 从图8中可看出各成份如下分布特征：
（1） 设Ω=整个图像区域，Ω1=云母的分布域，Ω2=石英的分布域，Ω2=长石的分布域，它们之间的关系是：Ω=Ω1∪Ω2∪Ω3、Ω1∩Ω2=、Ω2∩Ω3=、Ω3∩Ω1=。在表2中三种成份的百分含量和为100%。
（2） 云母呈粒状分布，它掺入在长石和石英之间，分布比较散；长石呈片状分布，分布较集中，且分布区域最大；石英呈片状分布，主要分布在长石周围。 7. 结论
（1）对图像进行小波分解，并将各级分解系数视为图像的不同波段，从而为利用多波段法对图像分类建立了基础。
（2）建立起花岗岩和砂岩中石英、云母、长石等成份的频谱图。
（3）利用所建立的频谱图对图像进行分类，其结果较准确，对于不同岩石中同一类成份可以用相同的频谱予以判定。
（4）从分析小波分解系数出发，对图像的分类不受图片本身的亮度、色彩的影响，从而可以忽略图像拍摄条件的影响。
参考文献
[1] Canny J. A computational approach to edge detection. IEEE Trans On Pattern Analysis and Machine Intelligence， PAMI 1986； 8.
[2] Lee JSJ， Haralick RM， Shapiro LG. Morphologic edge detection. IEEE Journal of Robtotics and Automation 1987； 3：142～156.
[3] Zhao XB， Xu JM. Digital properties of geo-material images. In： Recent development and geo-environmental engineering in Asia， Proceeding of the 4th Asian Joint Symletsposium on Geotechnical and Geo-environmental Engineering， MT Luan， K Zen， GQ Chen， TK Nian， K Kasama， ed. Dalian： Dalian Univ. of Tech. Press， 2006. pp. 71～74.
[4] Hu RL， Yue ZQ， Tham LG， Wang LC. Digital image analysis of dynamic compaction effects on clay fills. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering， ASCE， 2005， 131： 1411～1422.
[5] 周健， 余榮传， 贾敏才. 基于数字图像技术的砂土模型试验细观结构参数测量. 岩土工程学报. 2006， 28（12）： 2047～2052.
[6] Seungcheol Shin， Roman D. Hryciw. Wavelet analysis of soil mass image for particle size determination. Journal of Computer in Civil Engineering， ASCE， 2004， 18： 19～27.
[7] 李建平. 1997. 小波分析与信号处理. 重庆：重庆出版社.
[8] Lwin T， maritz JS. Empirical Bayes Approach to Multiparameter Estimation： with Special Reference to Multinomial Distribution. Ann. Inst. Statist. Math. 1989， 41（1）： 81～99 .
[9] Edward O. Cannon· Ata Amini·Andreas Bender， Michael J. E. Sternberg · Stephen H. Muggleton ， Robert C. Glen John B. O. Mitchell. Support vector inductive logic programming outperforms the naive Bayes classifier and inductive logic programming for the classification of bioactive chemical compounds. J Comput Aided Mol Des. 2007， DOI 10.1007/s10822-007-9113-3.
[10] Peter Grunwald · John Langford. Suboptimal Behavior of Bayes and MDL in Classification under Misspecification. Mach Learn. 2007， 66：119～149.
[11] 万建， 王继成. 基于ISODATA算法的彩色图像分割. 计算机工程. 2002， 28（5）： 135～137.
[12] 陈书海， 傅录祥. 2005. 实用数字图像处理. 北京： 科学出版社.
[13] F.Sik Yum Lee， Nian Sheng Tang. Bayesian Analysis of Nonlinear Structural Equation Models with Nonignorable Missing Data. The Psychometric Society. 2005， 71（3）： 541～564.
[文章编号]1619-2737（2017）07-12-625
[作者简介] 王瑞祥（1972.09-），男，工作单位：中交一公局第三工程有限公司，现任专业技术职务：高级工程师。
【关键词】小波分析；岩石圖像分类；频谱；波段；样本；样本集；聚类中心
【Abstract】Based on the characteristics of granite and sandstone digital images， this paper builds up the spectrum of several components （mica， quartz and feldspar） in rock by wavelet analysis theory and Bayes decision theory. Firstly， the gray level is divided into several subintervals by using the gray level statistical function of the rock image. The iterative algorithm is used to optimize the interval. According to the optimized range， the sample sets are set up. Its distribution domain. Then the wavelet is used to decompose the image， and the matrix of the coefficients is reduced to the same size as the original image according to the tower principle， and the matrix is processed uniformly. The wavelet coefficients matrix after processing is the band of the image The Finally， the spectral set of granite and sandstone is established by Bayes algorithm， and the spectral set of the decomposition coefficient of the wavelet decomposition and the corresponding coordinate set and its decomposition coefficient are obtained. In this paper， the spectrum is based on the transcendental basis， in the application of the spectrum， only a picture of the wavelet decomposition， while the decomposition factor to do the reduction and uniform processing， according to a priori spectrum pairs The samples are calculated to determine the various components of the image being analyzed and their distribution.
【Key words】Wavelet analysis；Rock image classification；Spectrum；Band；Sample；Sample set；Clustering center
1. 前言
（1）对于图像的分类，过去有很多学者对此做了很多的研究。在传统方法上，人们利用对象与图像背景之间的差别来识别对象，这些差别主要体现在图像函数f（x）的一阶导数和梯度沿图像边缘切线方向变化的趋势较缓，而沿垂直图像边缘方向的变化趋势较陡，经典的算法有：Roberts算子、Prewitt算子、Sobel算子、LOG算子、Canny算子等[1]。另外在利用边缘检测与图像的数学形态学相接合，也能较好的识别出图像中的对象[2，3]。
（2）岩土材料是由不同成份的物质组成，它们紧密交织，且其间隙十分小，因此边缘检测和数学形态学很难将它们分离出来[4，5]。Seungcheol Shin等[6]人利用小波理论对岩土材料进行分解，并用各级分解系数的能量特征，对土颗粒的尺度进行研究，取得了较好的效果。但是这一方法没有考虑到图像中不同物质成份的概率分布。
（3）花岗岩和砂岩图像的灰度统计函数存在着若干个极小值，以这些极小值点为分界点，将灰度函数的定义域分成若干个子区间，用迭代算法对各区间进行优化；以优化所得子区间为依据，将像素值属于同一区间的点归为一类；求出各类的分布区域、聚类中心等参数。同时用小波分解将图像沿垂直、水平、对角三个方向分解；按塔式放大原则[7]将各级分解系数矩阵还原成与原始图像大小相同的矩阵；根据所得分布域，把所有放大后的系数矩阵划分成若干个子域；将某系数矩阵中位于同一分布域的点集视为类的一个波段。最后利用Bayes算法[8～10]求出每一类的先验概率及其判别式方程，将方程中未知项视为某一类成份的频谱。本文对若干个花岗岩和砂岩图像进行分析，求出各类成份的频谱，便可基于这些频谱对花山岗岩和砂岩进行成份分析。 2. 样本采集
首先以图像像素点为样本，根据岩石成份划分集合。然后以图像灰度统计函数的极值点为划分点，将图像中的点集分成若干类，进行初始样本采集。最后利用聚类算法[11]对初始样本进行聚类分析和样本优化。
为便于处理，将还原之后系数矩阵进行均一化处理，均一化处理后，各矩阵中的所有元素代数和为100。
4. 频谱建立
图像按小波理论分解进行K级分解后，可得到3K+1个系数矩阵，对这些矩阵进行放大和标准化后，矩阵大小一致且各矩阵中的元素的代数和为100。求出各类岩石成份的各级分解系数矩阵的均值，即的该岩石成份的频谱。
4.1 确立波段。
5. 几种岩石成份频谱及其特征
本文对若干个花岗岩和砂岩图像进行分析，求出岩石中各种成份（如石英、云母、长石）在不同小波函数和分解级数下的频谱λi，建立起各种成份的频谱图。以花岗岩为例，利用Haar、Coiflets4、Symlets3、Daubechies5四种小波函数进行四级分解，确定出花岗岩中三种主要成份云母、石英、长石的频谱（见表1，表1及图7）。表1中各参数的含义分别为：λ0是常数项，λ1是细节波段所对应的频谱；λ3k-1（k=1， 2， 3， 4）是第k级系数且沿图像水平方向分解的系数矩阵所对应的频谱；λ3k （k=1， 2， 3， 4） 是第k级系数且沿图像垂直方向分解的系数矩阵所对应的频谱；λ3k-+1（k=1， 2， 3， 4） 是第k级系数且沿图像对角线方向分解的系数矩阵所对应的频谱。图7a是用Haar、Coiflets4、Symlets3、Daubechies5四种小波进行四分解所得长石的频谱图；图7b是用Daubechies5小波函数进行四级分解所得云母、石英、长石三种成份的频谱图；图7c是用Symlets4小波函数进行四級分解所得云母、石英、长石三种成份的频谱图；图7d是用Coiflets4小波函数进行四级分解所得云母、石英、长石三种成份的频谱图；图7e是用Haar小波函数进行四级分解所得云母、石英、长石三种成份的频谱图（频谱图见图7）。
从表1及图7中可以看得：
（1） 各成份的λ0（即常数项）均小于零，且都比其它各波段和频率要小（其中多数比值是|λ0/λi|=5～10，i=1， 2， …， 13）。
（2） 从图7a中可看到，当i<10时，在同一波段处，由四个不同小波函数所确定的长石频谱值λi相差很小；但在11～13波段处的频谱值λ11、λ12、λ13相差较大。这说明随着小波分解级数的增加，各成份在不同小波函数分解所得的频谱差值增大。
（3） 由图7b～e可看到，当i<10时，用同一小波函数求得不同成份的频谱值λi（i=1， 2， …， 10）很接近；但在第11～13波段处不同小波函数所确定的频谱λi（i=11， 12， 13）差值增大。这说明随着小波分解级数的增加，不同成份的频谱值差值越大。
（4） 每一成份的频谱图形态相似，都成波浪形发展。在同一级分解中，沿图像三个方向分解的频率的连线呈V字形或倒V字形，但三者差值不大。
6. 实验及应用
在建立各类成份的频谱图时，是已知图像中各类成份来求相应的频谱。 在应用时则是对一幅图像（未知它的成份）做相反的运算，即由频谱确定成份。
6.1 操作步骤。
用Coiflets4对某一花岗岩图片进行四级小波分解为例，阐述其操作步骤。设图像大小为M×M，共有R（R=M2）个点；用Coiflets4求l类成份的频谱λi（i=1，2，…，l）。
（1） 对图像做小波分解。
（2） 将各级小波分解系数矩阵按塔式放大原则还原成与原始图像大小一致的矩阵。
（3） 对放大后的系数矩阵进行均一化处理。
（4） 将各矩阵按图6所述方法排列成序列。
（5） 将样本X（X=[x1， x2，…， x13]T）及Coiflets4分解所得的频谱λi（i=1，2，…，l）代入频谱方程（25）式中计算，求得到一组函数值gi（x）（i=1， 2， …， l）。
（6） 样本归类：取Pj（x）=max（gi），则将X视为第j类成份。
对各样本进行计算归类后所得结果见图8（原图及各成份的分布图见图8）。
6.2 特征分析。
利用不同成份的频谱对所分析的样本按式（25）计算，可得到各样本在对应频谱中的函数值，求出各类样本函数值的均值和方差（见表3，4），以及每类成份所占的百分含量（见表2），可得如下特征。
（1）从表2 中可看出：长石是主要成份，占55.2%；石英是次要成份，占33.7%；云母含量最少，为11.1%。
（2） 各成份用自己的频谱计算所得函数的均值较大（在表3中以黑体字示出），而用其它成份的频谱计算所得的值较小。如石英在石英频谱中计算所得的值是2.237，而在云母和长石频谱计算所得的频谱分别是2.047、2.019。其余成份均有此特征。
（3） 各成份在自己成份的频谱计算所得函数值的方差较小（在表4中以黑体字示出），而用其它成份计算所得的方差较大。如石英在石英频谱中计算所得的方差是0.823，而在云母和长石频谱计算所得的频谱分别是0.942、0.852。其余成份均有此特征。
6.3 从图8中可看出各成份如下分布特征：
（1） 设Ω=整个图像区域，Ω1=云母的分布域，Ω2=石英的分布域，Ω2=长石的分布域，它们之间的关系是：Ω=Ω1∪Ω2∪Ω3、Ω1∩Ω2=、Ω2∩Ω3=、Ω3∩Ω1=。在表2中三种成份的百分含量和为100%。
（2） 云母呈粒状分布，它掺入在长石和石英之间，分布比较散；长石呈片状分布，分布较集中，且分布区域最大；石英呈片状分布，主要分布在长石周围。 7. 结论
（1）对图像进行小波分解，并将各级分解系数视为图像的不同波段，从而为利用多波段法对图像分类建立了基础。
（2）建立起花岗岩和砂岩中石英、云母、长石等成份的频谱图。
（3）利用所建立的频谱图对图像进行分类，其结果较准确，对于不同岩石中同一类成份可以用相同的频谱予以判定。
（4）从分析小波分解系数出发，对图像的分类不受图片本身的亮度、色彩的影响，从而可以忽略图像拍摄条件的影响。
参考文献
[1] Canny J. A computational approach to edge detection. IEEE Trans On Pattern Analysis and Machine Intelligence， PAMI 1986； 8.
[2] Lee JSJ， Haralick RM， Shapiro LG. Morphologic edge detection. IEEE Journal of Robtotics and Automation 1987； 3：142～156.
[3] Zhao XB， Xu JM. Digital properties of geo-material images. In： Recent development and geo-environmental engineering in Asia， Proceeding of the 4th Asian Joint Symletsposium on Geotechnical and Geo-environmental Engineering， MT Luan， K Zen， GQ Chen， TK Nian， K Kasama， ed. Dalian： Dalian Univ. of Tech. Press， 2006. pp. 71～74.
[4] Hu RL， Yue ZQ， Tham LG， Wang LC. Digital image analysis of dynamic compaction effects on clay fills. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering， ASCE， 2005， 131： 1411～1422.
[5] 周健， 余榮传， 贾敏才. 基于数字图像技术的砂土模型试验细观结构参数测量. 岩土工程学报. 2006， 28（12）： 2047～2052.
[6] Seungcheol Shin， Roman D. Hryciw. Wavelet analysis of soil mass image for particle size determination. Journal of Computer in Civil Engineering， ASCE， 2004， 18： 19～27.
[7] 李建平. 1997. 小波分析与信号处理. 重庆：重庆出版社.
[8] Lwin T， maritz JS. Empirical Bayes Approach to Multiparameter Estimation： with Special Reference to Multinomial Distribution. Ann. Inst. Statist. Math. 1989， 41（1）： 81～99 .
[9] Edward O. Cannon· Ata Amini·Andreas Bender， Michael J. E. Sternberg · Stephen H. Muggleton ， Robert C. Glen John B. O. Mitchell. Support vector inductive logic programming outperforms the naive Bayes classifier and inductive logic programming for the classification of bioactive chemical compounds. J Comput Aided Mol Des. 2007， DOI 10.1007/s10822-007-9113-3.
[10] Peter Grunwald · John Langford. Suboptimal Behavior of Bayes and MDL in Classification under Misspecification. Mach Learn. 2007， 66：119～149.
[11] 万建， 王继成. 基于ISODATA算法的彩色图像分割. 计算机工程. 2002， 28（5）： 135～137.
[12] 陈书海， 傅录祥. 2005. 实用数字图像处理. 北京： 科学出版社.
[13] F.Sik Yum Lee， Nian Sheng Tang. Bayesian Analysis of Nonlinear Structural Equation Models with Nonignorable Missing Data. The Psychometric Society. 2005， 71（3）： 541～564.
[文章编号]1619-2737（2017）07-12-625
[作者简介] 王瑞祥（1972.09-），男，工作单位：中交一公局第三工程有限公司，现任专业技术职务：高级工程师。