函数在函数乃至整个高中数学中都占有重要的地位，也是高考必考的重点内容之一.三角换元思想是三角函数中的一个基本思想.本文主要研究三角换元思想的应用.
　　一、处理在圆及椭圆中取值范围问题
　　例1如果实数x、y满足（x-2）2+y2=3，那么x+y的最大值是.
　　解析：由题意x，y满足方程：x=2+3cosθ
　　y=3sinθ
　　则x+y=2+3cosθ+3sinθ
　　=6（22cosθ+22sinθ）+2
　　=6sin（θ+π4）+2∈[-6+2，6+2].
　　例2已知P（x，y）是椭圆x29+y23=1上的点，求x+y的范围.
　　解析：本题采用三角换元，令x=3cosθ，
　　y=3sinθ
　　则x+y=3cosθ+3sinθ=9+3sin（θ+π3）
　　=23sin（θ+π3）∈[-23，23].
　　点评：在处理圆或椭圆中关于圆或椭圆上的点的坐标之和或差、积、商的范围问题，采用三角换元处理更简介更具有通性.
　　二、由三角换元θ的几何意义产生三角换元
　　图1例32012山东高考文16如图1，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在0，1，此时圆上一点P的位置在0，0，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于2，1时，OP的坐标为.
　　解析：如图所示设Q2，1，Q在x轴的射影为B，设弧长为l，过点Q且平行于x轴的直线QM交圆Q右侧于M点，设∠PQM=θ.
　　此时圆Q：（x-2）2+（y-1）2=1，
　　由题意知l=OB=2，则∠PQB=lr=2，则∠PQM=θ=3π2-2.对于圆Q：（x-2）2+（y-1）2=1上点p（x，y）.
　　由圆的参数方程的几何意义知x=2+cosθ
　　y=1+sinθ.
　　即x=2+cos（3π2-2）=2-sin2
　　y=1+sin（3π2-2）=1-cos2.
　　所以OP=（2-sin2，1-cos2）
　　点评：本题先利用弧长公式得到∠PQB=lr=2，再由圆的参数方程的几何意义知圆Q：（x-2）2+（y-1）2=1上点p（x，y）满足x=2+cosθ
　　y=1+sinθ①，将θ=3π2-2代入①化简即可求出P的坐标，进而可以求出OP的坐标，因此解决本题的关键是θ的几何意义.
　　三、由数形结合产生三角换元
　　例4已知过点P（9，3）的直线与x轴y轴相交于A，B两点，则距离AB的最小值为.
　　图2解析：由题意，过P作PM垂直x轴交x轴于M，过P作PN垂直y轴交y轴于N，
　　设∠PAM=∠BPN=θ，θ∈（0，π2）
　　在三角形PAM中，PMPA=sinθ且PM=3PA=3sinθ.
　　同理在三角形PBN中有PB=9cosθ.
　　则AB=PA+PB=3sinθ+9cosθ，θ∈（0，π2）.
　　令f（θ）=3sinθ+9cosθ，θ∈（0，π2）
　　则f′（θ）=（3sinθ+9cosθ）′=-3cosθsin2θ+9sinθcos2θ=-3cos3θ+9sin3θsin2θcos2θ.令f′（θ）=0
　　即-3cos3θ+9sin3θsin2θcos2θ=0-3cos3θ+9sin3θ=0
　　tan3θ=（33）3tanθ=33θ=π6.
　　又当θ∈（0，π6），f′（θ）<0，当θ∈（π6，π2），f′（θ）>0.
　　所以f（θ）min=f（θ）极小值=fπ6）=3sinπ6+9cosπ6=83.点评：本题通过数形结合分别在直角三角形PAM、直角三角形PBN中，将PA、PB分别转化为关于θ的式子，本质上是通过勾股定理进行三角换元，再利用函数导数的知识求解之.
　　4由式子的结构特征产生三角换元例5、求函数的值域.选自高三考试题解析：易知，可令，则因为，所以所以.故所求函数的值域是.点评：观察式子的结构特征不难发现，符合三角换元的特征，本题可以三角换元，但要注意的范围.一般的，对于类似于本题特征的问题，都可以用三角换元处理其最值.[江苏省扬州市邗江区公道中学（225119]