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摘 要：几何概念的教学关键在于数学概念的内化，在内化概念的基础上再通过多种感官参与操作活动，帮助学生建立空间观念。教学中注重“整合教材内容，凸显并丰满垂直的概念；结合认知规律，理解并内化垂直的概念；重视动手操作，构建并发展垂直空间观念”，这三条途径使得学生在理解概念的基础上培养垂直的空间观念。
关键词：垂直；空间观念；教学设计；教学反思
“垂直与平行”这一内容属于“图形与几何”领域的概念教学，几何概念的教学关键在于数学概念的内化，在内化概念的基础上再通过多种感官参与的操作活动，帮助学生建立空间观念，培养学生的几何直观。本课的教学主要以理解“垂直”这一概念为重点，在理解“垂直”的基础上，安排了摆一摆、折一折画一画等操作活动，帮助学生建立垂直的空间观念，感受垂直在生活中的价值。
下面结合《垂直》一课的教学设计和实践，简单谈谈笔者在教学中的感悟和反思。
教学设计：
一、复习引入，唤醒旧知。
1. 复习直线的相关特征。
2. 揭示本课内容：同一平面内两条直线的位置关系。
二、初步感知，理解垂直概念。
1. 借助想象在纸上画出两条直线。
2. 尝试分类，理解“相交”和“不相交”。
（1）展示学生典型的画法。
■
① ② ③
■
④ ⑤ ⑥
（2）结合学生分类，理解相交和不相交。
（3）教师小结。
3. 探究两条直线相交时的共同特征。
（1）两条直线相交时，它们有什么共同的特征？
（2）观察这些角，哪种相交情况形成的角比较特殊？
（3）汇报观察结果。
（4）引导学生用三角板的直角去验证。
4. 揭示互相垂直的含义，理解垂线、垂足。
（1）揭示垂直的概念。
（2）理解垂线和垂足。
5. 画两条互相垂直的直线，巩固垂直的概念。
（1）想象垂线。
已知第一条直线的位置，学生想象出与这条直线垂直的另一条直线。
（2）师生合作演示画垂线。
■
引导学生借助直尺和三角板画出与已知直线垂直的另一条直线，并小结画法。
（3）全体学生动手用尺子模拟演示画法。
6. 整理两条直线的位置关系。
（1）展示不相交和相交。■
（2）展示相交的动态变化。
■
（3）体验垂直的变式。
■
三、动手操作，建立垂直的空间观念。
1. 摆一摆。
（1）独立用两根小棒在桌面上摆出互相垂直的情况。
（2）同桌合作，摆出互相垂直的情况。
2. 折一折。
把这张正方形的纸片折一折，使两条折痕互相垂直，可以怎么折？
①学生尝试。②汇报交流。③探索不同的方法。
3. 画一画
（1）学生尝试画垂线。
这里有三组练习，请你自己选择一组，先想象垂线在什么位置，再按要求画一画。
①画出已知直线的垂线。②过直线上一点画出它的垂线。③过直线外一点画出它的垂线。
■
（2）同桌交流画垂线的方法。
（3）全班汇报展示。
（4）教师小结。
四、巩固练习，深化垂直概念。
1. 找生活中的垂直现象。
2. 验证判断：下面两条直线，垂直的在括号内打“√”。
■ ■
■
垂直和相交的关系就可以用这样的图示来表示，从图中你发现了什么？
3. 四边形上找垂直的线段。
仔细观察这个四边形，你能从这个图形中找到互相垂直的线段吗？把互相垂直的线段描一描。
■
4. 找最短的路线。
如果有一块这样的四边形草地，在A点有一只小蚂蚁要走到BC边上，怎样走路程会最短呢？想一想这条路线在哪里，下课后大家试着画一画。
■
五、回顾反思，感受垂直的价值。
1. 学生回顾。回忆一下这节课，今天你有哪些新的收获？
2. 教师小结。
教学反思：
数学概念的教学一般要经历：感知具体对象、尝试建立表象、抽象本质属性、语言符号表征、概念内化五个环节，其中核心环节是概念的内化。经历了《垂直》这课的教学实践，笔者得到了下面的感悟：
一、整合教材内容，凸显垂直概念教学的价值。
人教版教材把“垂直”和“平行”两个概念编排在第一课时内进行教学，第二课时编排画垂线及垂直线段的特征，第三课时编排画平行线及平行线特征，这样的编排使得学生对垂直概念的理解、垂线画法的探索、垂直知识的应用上是分散进行的，整体性不够强。同时，第一课时的编排意在通过概念的甄别，使学生理解这两个数学概念，而一般的教学设计偏重于“平行”的概念教学，特别是“同一平面”的内化往往成为重点，而对“垂直”概念的理解和内化比较单薄，垂直的空间观念的构建不到位。为此，笔者对教材的教学内容进行了适当的整合，把“垂直”及相关知识点编排在一课时进行教学，把“平行”及相关知识点也单独整合为一课时。
本课时教学主要以理解“垂直”这种位置关系为重点，在理解概念的基础上，安排了摆小棒、折纸片、画垂线等操作活动，并通过这些活动进一步内化垂直的概念，帮助学生建立垂直的空间观念，同时结合生活中的垂直现象，让学生了解垂直在生活中的作用，感受数学的价值，通过想象小蚂蚁走的最短路线在哪里让学生初步感悟垂直线段的含义。这样的教学设计，把垂直概念的理解和内化、垂直空间观念的构建、垂线画法的探究、垂直价值的感悟进行有机的整合，不但加深了学生对垂直概念的理解，垂直的内涵更为丰富，而且学生的空间观念得到有效提高，激发学生学习数学的兴趣，感受数学的价值。 二、结合学生的认知规律，垂直概念理解循序渐进。
小学几何概念教学要遵循学生的心理特征和认识规律，帮助学生抓住概念的本质属性，沟通概念之间的内在联系，引导学生“质疑问难”，深化概念。本课时的教学中，学生对垂直概念的建立和理解不是一蹴而就的，而是循序渐进逐层展开的。
在学生初步感知建立垂直概念的阶段，学生先通过想一想、画一画、分一分等操作活动，经历两条直线在同一平面内的位置关系的探究过程，借助具体的表象使学生真正理解“相交”和“不相交”的含义，为进一步研究垂直做好知识的准备。在学生理解“相交”的基础上，从探究两条直线相交时的共同特征入手，引导学生观察，给学生创造自主学习的切入点，提供思考的空间，暴露学生的思维。通过直角的验证活动和验证次数的讨论，使学生对垂直概念的本质属性——两条直线相交成直角有了直观的感性认识和积累，在此基础上再进行互相垂直、垂线、垂足等概念的学习水到渠成。垂直概念的理解是本节课的重点，在学生初步学习“互相垂直”的概念后，及时安排画两条互相垂直的直线的活动，不但为后面的垂线画法教学做好铺垫，分散垂线画法的教学难点，更是借助直线画法的讨论使得学生对互相垂直的本质——两条直线相交成直角有进一步的理解。最后动态展示同一平面内两条直线的位置关系的整理过程，让学生对垂直与相交的关系，即垂直是一种特殊的相交，沟通了概念与概念之间的内在联系，拓展了学生的对垂直概念的深度理解。其中对于垂直的变式判断，通过旋转呈现出各种视角方位，让学生体验“垂直现象”可能和观察者之间形成的各种“相互位置”关系，打破了学生的思维定式，有利于学生真正理解垂直，建立正确的表象。
这种直观引入，借助具体表象进行概念教学，再通过动手操作理解概念的本质属性，这样层层推进的教学方式，符合学生的心理特征和认知规律，学生对垂直概念的理解不断完善，垂直的表象逐步建立。
三、重视动手操作，建立垂直空间观念。
《数学课程标准修订稿》明确指出“在‘图形与几何’的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力”。由此可见本课时不但要使学生理解“垂直”的概念，更为重要的是要让学生建立“垂直”的空间观念，培养学生的几何直观能力。
人们对几何图形的认识，首先是根据生活实践的经验，依靠直观观察，比较、分析、概括而形成的，心理学的研究还表明，空间观念的建立一般是多种感觉器官共同活动的结果。小学中年级学生的思维以形象性思维为基础，因此，在学生初步建立垂直的概念后，第三个教学环节中安排了摆一摆、折一折、画一画这三个操作活动，旨在让学生通过操作活动积累经验，从而内化垂直概念，建立垂直的空间观念。在摆一摆的过程中，让学生借助头脑中垂直的表象，摆出互相垂直的两根小棒，其实是把抽象的垂直概念进行物化，通过自己摆一摆、同桌验证、同桌合作摆一摆等活动，巩固了垂直的表象，加深了对相交成直角的认识；在折一折的过程中再次把学生头脑中的垂直表象进行物化，借助折痕之间的位置关系让学生积累创造垂直的经验，不同的折法都有一个共同的特征，最后都折出一个直角，也就是两条折痕展开后相交出现直角，使学生充分感悟到垂直的本质属性是相交出现了直角；在第三个环节中让学生经历借助直尺和三角板共同画垂线的过程，由于画垂线的方法在前面已经提及，因此这里放手让学生自己尝试，这样符合学生的学习起点和认知规律。学生在画垂线时，先要求学生想象垂线在哪里，当学生头脑中能出现垂线正确的位置时，学生大脑中垂直的空间观念已经初步建立。
由此可见，几何概念内化最有效的途径是让学生经历合适的操作活动，让学生动手、动脑，各种感官参与活动，从而加深对概念的理解，这正是《数学课程标准修订稿》指出的让学生积累基本的数学活动经验的有效手段。
教师是教材的使用者，要对教材进行灵活的使用，更应结合教学内容的特点对教材进行合理的改编。《垂直》这课教学实践，让笔者感悟到只要符合数学的知识体系，尊重学生的学习起点和认知规律，教师就可以大胆地对教材进行创新。教学中只要抓住了几何概念教学的核心——内化概念，建立空间观念，培养几何直观，这样的教学设计一定会很精彩。
关键词：垂直；空间观念；教学设计；教学反思
“垂直与平行”这一内容属于“图形与几何”领域的概念教学，几何概念的教学关键在于数学概念的内化，在内化概念的基础上再通过多种感官参与的操作活动，帮助学生建立空间观念，培养学生的几何直观。本课的教学主要以理解“垂直”这一概念为重点，在理解“垂直”的基础上，安排了摆一摆、折一折画一画等操作活动，帮助学生建立垂直的空间观念，感受垂直在生活中的价值。
下面结合《垂直》一课的教学设计和实践，简单谈谈笔者在教学中的感悟和反思。
教学设计：
一、复习引入，唤醒旧知。
1. 复习直线的相关特征。
2. 揭示本课内容：同一平面内两条直线的位置关系。
二、初步感知，理解垂直概念。
1. 借助想象在纸上画出两条直线。
2. 尝试分类，理解“相交”和“不相交”。
（1）展示学生典型的画法。
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① ② ③
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④ ⑤ ⑥
（2）结合学生分类，理解相交和不相交。
（3）教师小结。
3. 探究两条直线相交时的共同特征。
（1）两条直线相交时，它们有什么共同的特征？
（2）观察这些角，哪种相交情况形成的角比较特殊？
（3）汇报观察结果。
（4）引导学生用三角板的直角去验证。
4. 揭示互相垂直的含义，理解垂线、垂足。
（1）揭示垂直的概念。
（2）理解垂线和垂足。
5. 画两条互相垂直的直线，巩固垂直的概念。
（1）想象垂线。
已知第一条直线的位置，学生想象出与这条直线垂直的另一条直线。
（2）师生合作演示画垂线。
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引导学生借助直尺和三角板画出与已知直线垂直的另一条直线，并小结画法。
（3）全体学生动手用尺子模拟演示画法。
6. 整理两条直线的位置关系。
（1）展示不相交和相交。■
（2）展示相交的动态变化。
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（3）体验垂直的变式。
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三、动手操作，建立垂直的空间观念。
1. 摆一摆。
（1）独立用两根小棒在桌面上摆出互相垂直的情况。
（2）同桌合作，摆出互相垂直的情况。
2. 折一折。
把这张正方形的纸片折一折，使两条折痕互相垂直，可以怎么折？
①学生尝试。②汇报交流。③探索不同的方法。
3. 画一画
（1）学生尝试画垂线。
这里有三组练习，请你自己选择一组，先想象垂线在什么位置，再按要求画一画。
①画出已知直线的垂线。②过直线上一点画出它的垂线。③过直线外一点画出它的垂线。
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（2）同桌交流画垂线的方法。
（3）全班汇报展示。
（4）教师小结。
四、巩固练习，深化垂直概念。
1. 找生活中的垂直现象。
2. 验证判断：下面两条直线，垂直的在括号内打“√”。
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垂直和相交的关系就可以用这样的图示来表示，从图中你发现了什么？
3. 四边形上找垂直的线段。
仔细观察这个四边形，你能从这个图形中找到互相垂直的线段吗？把互相垂直的线段描一描。
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4. 找最短的路线。
如果有一块这样的四边形草地，在A点有一只小蚂蚁要走到BC边上，怎样走路程会最短呢？想一想这条路线在哪里，下课后大家试着画一画。
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五、回顾反思，感受垂直的价值。
1. 学生回顾。回忆一下这节课，今天你有哪些新的收获？
2. 教师小结。
教学反思：
数学概念的教学一般要经历：感知具体对象、尝试建立表象、抽象本质属性、语言符号表征、概念内化五个环节，其中核心环节是概念的内化。经历了《垂直》这课的教学实践，笔者得到了下面的感悟：
一、整合教材内容，凸显垂直概念教学的价值。
人教版教材把“垂直”和“平行”两个概念编排在第一课时内进行教学，第二课时编排画垂线及垂直线段的特征，第三课时编排画平行线及平行线特征，这样的编排使得学生对垂直概念的理解、垂线画法的探索、垂直知识的应用上是分散进行的，整体性不够强。同时，第一课时的编排意在通过概念的甄别，使学生理解这两个数学概念，而一般的教学设计偏重于“平行”的概念教学，特别是“同一平面”的内化往往成为重点，而对“垂直”概念的理解和内化比较单薄，垂直的空间观念的构建不到位。为此，笔者对教材的教学内容进行了适当的整合，把“垂直”及相关知识点编排在一课时进行教学，把“平行”及相关知识点也单独整合为一课时。
本课时教学主要以理解“垂直”这种位置关系为重点，在理解概念的基础上，安排了摆小棒、折纸片、画垂线等操作活动，并通过这些活动进一步内化垂直的概念，帮助学生建立垂直的空间观念，同时结合生活中的垂直现象，让学生了解垂直在生活中的作用，感受数学的价值，通过想象小蚂蚁走的最短路线在哪里让学生初步感悟垂直线段的含义。这样的教学设计，把垂直概念的理解和内化、垂直空间观念的构建、垂线画法的探究、垂直价值的感悟进行有机的整合，不但加深了学生对垂直概念的理解，垂直的内涵更为丰富，而且学生的空间观念得到有效提高，激发学生学习数学的兴趣，感受数学的价值。 二、结合学生的认知规律，垂直概念理解循序渐进。
小学几何概念教学要遵循学生的心理特征和认识规律，帮助学生抓住概念的本质属性，沟通概念之间的内在联系，引导学生“质疑问难”，深化概念。本课时的教学中，学生对垂直概念的建立和理解不是一蹴而就的，而是循序渐进逐层展开的。
在学生初步感知建立垂直概念的阶段，学生先通过想一想、画一画、分一分等操作活动，经历两条直线在同一平面内的位置关系的探究过程，借助具体的表象使学生真正理解“相交”和“不相交”的含义，为进一步研究垂直做好知识的准备。在学生理解“相交”的基础上，从探究两条直线相交时的共同特征入手，引导学生观察，给学生创造自主学习的切入点，提供思考的空间，暴露学生的思维。通过直角的验证活动和验证次数的讨论，使学生对垂直概念的本质属性——两条直线相交成直角有了直观的感性认识和积累，在此基础上再进行互相垂直、垂线、垂足等概念的学习水到渠成。垂直概念的理解是本节课的重点，在学生初步学习“互相垂直”的概念后，及时安排画两条互相垂直的直线的活动，不但为后面的垂线画法教学做好铺垫，分散垂线画法的教学难点，更是借助直线画法的讨论使得学生对互相垂直的本质——两条直线相交成直角有进一步的理解。最后动态展示同一平面内两条直线的位置关系的整理过程，让学生对垂直与相交的关系，即垂直是一种特殊的相交，沟通了概念与概念之间的内在联系，拓展了学生的对垂直概念的深度理解。其中对于垂直的变式判断，通过旋转呈现出各种视角方位，让学生体验“垂直现象”可能和观察者之间形成的各种“相互位置”关系，打破了学生的思维定式，有利于学生真正理解垂直，建立正确的表象。
这种直观引入，借助具体表象进行概念教学，再通过动手操作理解概念的本质属性，这样层层推进的教学方式，符合学生的心理特征和认知规律，学生对垂直概念的理解不断完善，垂直的表象逐步建立。
三、重视动手操作，建立垂直空间观念。
《数学课程标准修订稿》明确指出“在‘图形与几何’的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力”。由此可见本课时不但要使学生理解“垂直”的概念，更为重要的是要让学生建立“垂直”的空间观念，培养学生的几何直观能力。
人们对几何图形的认识，首先是根据生活实践的经验，依靠直观观察，比较、分析、概括而形成的，心理学的研究还表明，空间观念的建立一般是多种感觉器官共同活动的结果。小学中年级学生的思维以形象性思维为基础，因此，在学生初步建立垂直的概念后，第三个教学环节中安排了摆一摆、折一折、画一画这三个操作活动，旨在让学生通过操作活动积累经验，从而内化垂直概念，建立垂直的空间观念。在摆一摆的过程中，让学生借助头脑中垂直的表象，摆出互相垂直的两根小棒，其实是把抽象的垂直概念进行物化，通过自己摆一摆、同桌验证、同桌合作摆一摆等活动，巩固了垂直的表象，加深了对相交成直角的认识；在折一折的过程中再次把学生头脑中的垂直表象进行物化，借助折痕之间的位置关系让学生积累创造垂直的经验，不同的折法都有一个共同的特征，最后都折出一个直角，也就是两条折痕展开后相交出现直角，使学生充分感悟到垂直的本质属性是相交出现了直角；在第三个环节中让学生经历借助直尺和三角板共同画垂线的过程，由于画垂线的方法在前面已经提及，因此这里放手让学生自己尝试，这样符合学生的学习起点和认知规律。学生在画垂线时，先要求学生想象垂线在哪里，当学生头脑中能出现垂线正确的位置时，学生大脑中垂直的空间观念已经初步建立。
由此可见，几何概念内化最有效的途径是让学生经历合适的操作活动，让学生动手、动脑，各种感官参与活动，从而加深对概念的理解，这正是《数学课程标准修订稿》指出的让学生积累基本的数学活动经验的有效手段。
教师是教材的使用者，要对教材进行灵活的使用，更应结合教学内容的特点对教材进行合理的改编。《垂直》这课教学实践，让笔者感悟到只要符合数学的知识体系，尊重学生的学习起点和认知规律，教师就可以大胆地对教材进行创新。教学中只要抓住了几何概念教学的核心——内化概念，建立空间观念，培养几何直观，这样的教学设计一定会很精彩。