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[摘要]测量平差模型是测量平差的基础，其准确度直接决定了平差结果值的精度，因此测量平差模型是非常重要的。病态平差是平差模型的其中一个发展，指将误差方程系数满秩扩展到秩亏和病态。就测绘技术中的病态平差及其处理，本文作了简析。
[关键词]测绘技术 病态平差 虚拟观测
[中图分类号] P2 [文献码] B [文章编号] 1000-405X（2015）-6-245-1
1关于现代测量平差与数据处理理论
现代测量平差与数据处理理论仍然是以高斯-马尔柯夫模型（高斯-马尔柯夫模型即：L=AX+Δ（1a） E（Δ） = 0，D（Δ） =σ20Q=σ20P-1（1b） Rnk（A） =n，R（Q） =R（P） =n（1c） 这里 L 为观测向量，Δ为误差向量，X 为未知参数向量，A 为 X 的系数矩阵，E（？ ）为数学期望， σ2 为单位权方差，P 为观测权矩阵，Q 为协因素矩阵，n 为观测个数）为核心，通过该模型在不同层面上的扩充、发展形成了若干新理论、新方法。例如，系数矩阵从满秩扩展到病态引出了病态问题的处理理论、有偏估计等，从满秩扩展到秩亏则引出了秩亏网平差理论。
2关于病态平差及其处理理论
不适定问题是大地测量中研究的热点，其一般定义为“解不连续依赖于数据”，即解不满足下述三个条件中的任何一个：解存在；解唯一；解稳定。当不满足条件时，则称该求解问题是病态的。在数据处理、工程控制网平差、形变观测分析、大地测量反演和摄影测量等测量数据处理中，系统的病态性问题是客观存在的，并且病态性的危害作用非常严重。分析测量平差中病态性的实质、克服或减弱病态性对测量平差的开展来说具有非常重要的意义。
病态平差是平差模型的其中一个发展，指将误差方程系数满秩扩展到秩亏和病态。
平差系统的病态性往往引起参数估值的性质显著变坏，严重影响平差成果的精度。秩亏和病态的平差模型形式上与经典平差模型没有区别，但经典的平差模型是隐含了系数矩阵 A 满秩的假设。对于传统的测量技术来说，由于技术手段单一，严格按照技术规范制定测量方案，一般很难出现 系数矩阵病态的情况。例如，传统的平面三角测量，规范严格规定三角形内角必须在 30°～120°之间，特殊个别情况也应大于 20°，按这个规定布设的三角网肯定不会病态。 但现代测绘的许多领域难以满足这一要求，例如大地测量反演、卫星重力的向下延拓、GPS 的快速定位、近景摄影测量等都存在病态问题。当方程病态时，最小二乘平差的结果非常不稳定，质量很差。
关于病态平差的研究工作是从两个方面展开的，一是有偏估计，二是正则化方法。偏估计的研究开始于Stein 于 1955 年证明了当维数大于 2 时，正态均值向量的最小二乘估计是不容许估计。1970 年 Hoerl 和 Kennard 从改善系数矩阵病态性质的角度提出了岭估计，其做法是在法方程系数矩阵对角线上加上一个微量从而达到改善方程病态的目的： X^= （ATPA+kI）-1ATPL（5） 这里 k 为岭参数。实践表明选择合理的岭参数确实能有效地改善病态方程的解。 岭参数的选择最早提出的有双 h 公式、Hoerl-Kennard-Baldwin 迭 k 公式及 Lawless-Wang 的迭 k 公式等。目前主要有岭迹法、有广义交叉核实、L 曲线法、双 h 及改进类方法。在大地测量领域， 归庆明提出利用特征根来确定岭参数，朱建军则针对岭估计效果与参数真值大小有关这一特性，提出了对参数估计量及岭参数同时迭代的方法，该方法对岭参数的初值选取要求很宽松。 正则化方法是 Tiklonov 于 1960 年代初基于“稳定的近似解”的概念提出的，具体做法是对最小二乘准则进行适当的修正（近似）： VTPV+αΦ（X） = min （6） 其中α为平滑因子，Φ（X）为稳定泛函。Φ（X）一般根据参数的一些先验信息或先验特征或虚拟 的信息确定。大地测量领域中一般取Φ（X） =ZTPZZ，Ω（Z）的不同形式通过 PZ 的不同形式来反映。平滑因子确定的主要方法有广义交叉核实（GCV）法、L 曲线法、遗传算法，自适应算法和 验后法等等，对于Φ（X）函数，欧吉坤教授建议，依据参数的先验信息用选权拟合的方法确定 PZ。王振杰还提出了先对法方程奇异值分解，利用奇异值分解矩阵构建 PZ。近年，沈云中教授等从谱分解角度探讨正则化算法，徐培亮等提出依据估计量的均方误差最小来确定准则参数的方法。
为了便于对病态性进行准确而快捷的诊断和减弱，对其产生的原因和机理进行全面的分析是必不可少的。模型的选择在解决实际问题时，通常首先需要构建数学模型。数学模型的选取包括两方面的情况：一是在平差计算前，本身并不知道研究问题的模型，需要根据实际情况和特定的研究方法去选取模型，有时当模型选择不当时会造成病态；第二种情况是研究问题的基本模型已经给出，但在平差前并不能对所有参数的规律有足够的了解，往往造成过度参数化，使得参数在一定程度上存在复共线性，从而导致模型病态。这两种情况在测量平差中都是十分普遍的。例如，应用最小二乘配置法进行重力场逼近是近二、三十年来物理大地测量中系统研究的数学方法之一，同时也是目前综合利用和联合处理多种类型空间和地面大地测量观测数据的有效方法。
综上所述，随着技术的发展，数据处理的方式出现多样化、复杂化，多种数据处理的理论和方法也得到了相应的发展，多种数学理论在测量平差中得到广泛应用。测量平差系统病态性的扩展理论进一步丰富和发展了现代平差理论及数据处理方法，将其应用于经典的测量数据处理、数据处理、地球物理反演、重力场逼近等领域，有助于对上述大地测量数据处理问题的正确处理。
参考文献
[1] 胡圣武.测量平差模型误差对平差结果的影响[J].测绘科学.2013.03期.
[2]郝卫峰.测量数据处理中病态性问题的扩展研究.中南大学.2008.04.
[3]丁士俊.靳祥升.平差不适定问题解性质与正则参数的确定方法[J].测绘科学.2006.02期.
[4]朱建军.现代测量平差与数据处理理论的进展[J].技术专题.2009.06.
[关键词]测绘技术 病态平差 虚拟观测
[中图分类号] P2 [文献码] B [文章编号] 1000-405X（2015）-6-245-1
1关于现代测量平差与数据处理理论
现代测量平差与数据处理理论仍然是以高斯-马尔柯夫模型（高斯-马尔柯夫模型即：L=AX+Δ（1a） E（Δ） = 0，D（Δ） =σ20Q=σ20P-1（1b） Rnk（A） =n，R（Q） =R（P） =n（1c） 这里 L 为观测向量，Δ为误差向量，X 为未知参数向量，A 为 X 的系数矩阵，E（？ ）为数学期望， σ2 为单位权方差，P 为观测权矩阵，Q 为协因素矩阵，n 为观测个数）为核心，通过该模型在不同层面上的扩充、发展形成了若干新理论、新方法。例如，系数矩阵从满秩扩展到病态引出了病态问题的处理理论、有偏估计等，从满秩扩展到秩亏则引出了秩亏网平差理论。
2关于病态平差及其处理理论
不适定问题是大地测量中研究的热点，其一般定义为“解不连续依赖于数据”，即解不满足下述三个条件中的任何一个：解存在；解唯一；解稳定。当不满足条件时，则称该求解问题是病态的。在数据处理、工程控制网平差、形变观测分析、大地测量反演和摄影测量等测量数据处理中，系统的病态性问题是客观存在的，并且病态性的危害作用非常严重。分析测量平差中病态性的实质、克服或减弱病态性对测量平差的开展来说具有非常重要的意义。
病态平差是平差模型的其中一个发展，指将误差方程系数满秩扩展到秩亏和病态。
平差系统的病态性往往引起参数估值的性质显著变坏，严重影响平差成果的精度。秩亏和病态的平差模型形式上与经典平差模型没有区别，但经典的平差模型是隐含了系数矩阵 A 满秩的假设。对于传统的测量技术来说，由于技术手段单一，严格按照技术规范制定测量方案，一般很难出现 系数矩阵病态的情况。例如，传统的平面三角测量，规范严格规定三角形内角必须在 30°～120°之间，特殊个别情况也应大于 20°，按这个规定布设的三角网肯定不会病态。 但现代测绘的许多领域难以满足这一要求，例如大地测量反演、卫星重力的向下延拓、GPS 的快速定位、近景摄影测量等都存在病态问题。当方程病态时，最小二乘平差的结果非常不稳定，质量很差。
关于病态平差的研究工作是从两个方面展开的，一是有偏估计，二是正则化方法。偏估计的研究开始于Stein 于 1955 年证明了当维数大于 2 时，正态均值向量的最小二乘估计是不容许估计。1970 年 Hoerl 和 Kennard 从改善系数矩阵病态性质的角度提出了岭估计，其做法是在法方程系数矩阵对角线上加上一个微量从而达到改善方程病态的目的： X^= （ATPA+kI）-1ATPL（5） 这里 k 为岭参数。实践表明选择合理的岭参数确实能有效地改善病态方程的解。 岭参数的选择最早提出的有双 h 公式、Hoerl-Kennard-Baldwin 迭 k 公式及 Lawless-Wang 的迭 k 公式等。目前主要有岭迹法、有广义交叉核实、L 曲线法、双 h 及改进类方法。在大地测量领域， 归庆明提出利用特征根来确定岭参数，朱建军则针对岭估计效果与参数真值大小有关这一特性，提出了对参数估计量及岭参数同时迭代的方法，该方法对岭参数的初值选取要求很宽松。 正则化方法是 Tiklonov 于 1960 年代初基于“稳定的近似解”的概念提出的，具体做法是对最小二乘准则进行适当的修正（近似）： VTPV+αΦ（X） = min （6） 其中α为平滑因子，Φ（X）为稳定泛函。Φ（X）一般根据参数的一些先验信息或先验特征或虚拟 的信息确定。大地测量领域中一般取Φ（X） =ZTPZZ，Ω（Z）的不同形式通过 PZ 的不同形式来反映。平滑因子确定的主要方法有广义交叉核实（GCV）法、L 曲线法、遗传算法，自适应算法和 验后法等等，对于Φ（X）函数，欧吉坤教授建议，依据参数的先验信息用选权拟合的方法确定 PZ。王振杰还提出了先对法方程奇异值分解，利用奇异值分解矩阵构建 PZ。近年，沈云中教授等从谱分解角度探讨正则化算法，徐培亮等提出依据估计量的均方误差最小来确定准则参数的方法。
为了便于对病态性进行准确而快捷的诊断和减弱，对其产生的原因和机理进行全面的分析是必不可少的。模型的选择在解决实际问题时，通常首先需要构建数学模型。数学模型的选取包括两方面的情况：一是在平差计算前，本身并不知道研究问题的模型，需要根据实际情况和特定的研究方法去选取模型，有时当模型选择不当时会造成病态；第二种情况是研究问题的基本模型已经给出，但在平差前并不能对所有参数的规律有足够的了解，往往造成过度参数化，使得参数在一定程度上存在复共线性，从而导致模型病态。这两种情况在测量平差中都是十分普遍的。例如，应用最小二乘配置法进行重力场逼近是近二、三十年来物理大地测量中系统研究的数学方法之一，同时也是目前综合利用和联合处理多种类型空间和地面大地测量观测数据的有效方法。
综上所述，随着技术的发展，数据处理的方式出现多样化、复杂化，多种数据处理的理论和方法也得到了相应的发展，多种数学理论在测量平差中得到广泛应用。测量平差系统病态性的扩展理论进一步丰富和发展了现代平差理论及数据处理方法，将其应用于经典的测量数据处理、数据处理、地球物理反演、重力场逼近等领域，有助于对上述大地测量数据处理问题的正确处理。
参考文献
[1] 胡圣武.测量平差模型误差对平差结果的影响[J].测绘科学.2013.03期.
[2]郝卫峰.测量数据处理中病态性问题的扩展研究.中南大学.2008.04.
[3]丁士俊.靳祥升.平差不适定问题解性质与正则参数的确定方法[J].测绘科学.2006.02期.
[4]朱建军.现代测量平差与数据处理理论的进展[J].技术专题.2009.06.