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摘要：数学思维能力是数学学科所独有的思维能力。培养学生的数学思维能力是新课程标准的基本理念，也是数学教育的基本目标。本文结合笔者在数学教学中的一些实践，谈谈如何培养学生的思维能力。
关键词：高中生；数学思维能力；培养
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）12-0054
数学知识是在不断发展的，因此，在高中数学教学中，不但要帮助学生学习基础知识、掌握方法，更重要的是培养学生的学习能力，提高学生的数学素养。数学思维是以数学问题为载体，通过发现问题、解决问题的形式，达到对现实世界的空间形式和数量关系本质的一般性认识的思维过程。新课程标准指出：高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。事实上，培养学生的数学思维能力，有助于增强学生学习数学和运用数学的能力，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥独特的作用。本文结合笔者的教学实践，就如何培养数学思维能力谈几点体会。
一、一题多解，培养思维的灵活性
有些问题，我们可以从不同的侧面用不同的方法求出其解，通过方法的变化，培养学生多角度分析问题的能力。
案例1. 椭圆■ ■=1的焦点是F1、F2，椭圆上一点P满足PF1⊥PF2，下面结论正确的是——（ ）
A. P点有两个 B. P点有四个
C. P点不一定存在 D. P点一定不存在
解法一：以F1F2为直径构圆，知：圆的半径r=c=3<4=b，即圆与椭圆不可能有交点。故选D。
解法二：由题知（S△PF F ）max=■×F1F2·b=3×4=12，而在椭圆中：S△PF F =b2tan■=16，∴不可能成立12>16故选D。
解法三：由题意知当p点在短轴端点處 解法四：设∠PF1PF2=θ，假设PF1⊥PF2，
则PF1 PF2=6conθ 6sinθ=6■sin（θ ■）≤6■，而PF1 PF2=2a=10
即：10≤6■，不可能。故选D。
解法五：设圆方程为：x2 y2=9椭圆方程为：■ ■=1
两者联立解方程组得：x2=-■不可能，故圆x2 y2=9与椭圆■ ■=1无交点
即PF1不可能垂直PF2，故选D。
本例从不同角度看题设条件，从不同方向进行思考，这样就可以全面认识数学问题的本质，从而培养学生数学思维的灵活性。
二、一题多变，培养思维的发散性
在教学过程中，适时运用变式教学，有助于学生数学知识的灵活迁移，增强学生的辨析能力，激发学生的求知热情，有助于培养学生的问题意识，提高学生的创新能力。所谓变式，广义地说，就是同一事物非本质属性的转换。从数学角度来说，就是对问题的条件或结论进行适当的调整，或增减或转换，也可以对问题的呈现方式、表达形式进行适当的变化，还可以是解题思想方法，思维方法的变化。在研究问题的过程中，为了揭示问题的本质属性，掌握解决问题的一般方法，我们常常通过对构成问题的各个要素进行局部的调整，得到形式虽异而解法类似的一系列问题，不断强化学生对相关知识的理解和掌握。下面，笔者以三角函数值域的求法为例，谈谈发散性思维的培养。
例如，在算法教学中有关算法结构和语句笔者也设计下列变式：
案例2. 设计算法s=1 2 3 …… 100
变式1. s=1 3 5 …… 99
变式2. s=12 22 32 …… 1002
变式3. s=12-22 32-42 ……-992 1002
变式4. s=1 （1 2） （1 2 3） …… （1 2 3 …… 100）
变式5. s=1 （1×2） （1×2×3） …… （1×2×3×……×100）
变式6. 已知1 2 3 …… n，当S≤1000时，求n的最大值。
通过以上的变式，让学生感悟出循环结构就像递推数列一样寻找相邻两步和关系，理解了循环结构的三要素是如何确定的。
三、多题一解，培养思维的深刻性
案例3. 在直线l：x y-4=0上求一点M，使它到A（1，2）、 B（-1，3）的距离之和最小。
分析：（1）首先判断是在直线的同侧还是异侧。（2）若在同侧，先求出A（或B）关于L的对称点A′（或B′），再求直线 A′B（或AB′）所在的直线方程，与已知直线方程联立，求出M点坐标。（3）若在异侧，只需求出AB所在直线的方程，与已知直线方程联立，求出M点坐标。
解：令f（x，y）=x y-4，f（1，2）=1 2-4=-1<0，f（-1，3）=-1 3-4=-2<0。所以、在直线同侧。设关于的对称点为，则利用对称知识得： 所以A（2，3）所以A′B的方程为 y=3由y=3x y-4得 x=1y=3得所以M（1，3）为所求的点。
案例4. 光线从A（1，0）发出，射到x轴上点M，经反射后射到圆C：（x 3）2 （y-3）2=1上，求光线经过的最短距离。
分析：求出A点关于轴的对称点A′，这个最短距离可转化为A′到圆C的最短距离。即A′C减去圆的半径。由A′C的方程，可得M点坐标。
案例5. 求■ ■的最小值。
分析：这道题目用代数的方法来解决也比较困难。考虑到根号内的部分非常接近两点间的距离公式可如下整理、变形：■ ■看作点（x，0）到（上接第54页）点（1，1），（2，2）的距离之和最小问题。由于点（1，1），（2，2），在x轴同侧，可求（1，1）关于x轴的对称点（1，1），那么（1，-1）与（2，2）之间的距离即为■ ■的最小值。
以上三道题目，所使用的方法是一样的，就像同一个人穿了几套不同的衣服，其本质是考查用对称思想解题。通过多题一解的训练，领会同一数学思想、数学方法在不同题目背景下的不同体现，能够加深对数学思想和方法的理解，促进数学能力和数学素养的提高。
思维发展心理学认为，思维是在实践活动中发生和发展的。注重问题引申的推广的教学活动中，学生由于被激发起好奇欲望、探索欲望的创造欲望，所以他们就积极地探索、研究，并且将所获得的材料、信息在自己的大脑中进行“分析和综合、抽象和概括、归纳和类比、实验和猜想、一般化和特殊化等一系列新的、高级的、复杂的思维操作”。而经过这样的一个过程，学生不仅创造出新颖、独特的“产品”，而且由于努力地、不断地探索、推广结论，久而久之，就会自然养成爱探索问题的良好习惯，进而培养和发展学生的数学思维能力。
（作者单位：浙江省乐清市芙蓉中学 325600）
关键词：高中生；数学思维能力；培养
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）12-0054
数学知识是在不断发展的，因此，在高中数学教学中，不但要帮助学生学习基础知识、掌握方法，更重要的是培养学生的学习能力，提高学生的数学素养。数学思维是以数学问题为载体，通过发现问题、解决问题的形式，达到对现实世界的空间形式和数量关系本质的一般性认识的思维过程。新课程标准指出：高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。事实上，培养学生的数学思维能力，有助于增强学生学习数学和运用数学的能力，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥独特的作用。本文结合笔者的教学实践，就如何培养数学思维能力谈几点体会。
一、一题多解，培养思维的灵活性
有些问题，我们可以从不同的侧面用不同的方法求出其解，通过方法的变化，培养学生多角度分析问题的能力。
案例1. 椭圆■ ■=1的焦点是F1、F2，椭圆上一点P满足PF1⊥PF2，下面结论正确的是——（ ）
A. P点有两个 B. P点有四个
C. P点不一定存在 D. P点一定不存在
解法一：以F1F2为直径构圆，知：圆的半径r=c=3<4=b，即圆与椭圆不可能有交点。故选D。
解法二：由题知（S△PF F ）max=■×F1F2·b=3×4=12，而在椭圆中：S△PF F =b2tan■=16，∴不可能成立12>16故选D。
解法三：由题意知当p点在短轴端点處
则PF1 PF2=6conθ 6sinθ=6■sin（θ ■）≤6■，而PF1 PF2=2a=10
即：10≤6■，不可能。故选D。
解法五：设圆方程为：x2 y2=9椭圆方程为：■ ■=1
两者联立解方程组得：x2=-■不可能，故圆x2 y2=9与椭圆■ ■=1无交点
即PF1不可能垂直PF2，故选D。
本例从不同角度看题设条件，从不同方向进行思考，这样就可以全面认识数学问题的本质，从而培养学生数学思维的灵活性。
二、一题多变，培养思维的发散性
在教学过程中，适时运用变式教学，有助于学生数学知识的灵活迁移，增强学生的辨析能力，激发学生的求知热情，有助于培养学生的问题意识，提高学生的创新能力。所谓变式，广义地说，就是同一事物非本质属性的转换。从数学角度来说，就是对问题的条件或结论进行适当的调整，或增减或转换，也可以对问题的呈现方式、表达形式进行适当的变化，还可以是解题思想方法，思维方法的变化。在研究问题的过程中，为了揭示问题的本质属性，掌握解决问题的一般方法，我们常常通过对构成问题的各个要素进行局部的调整，得到形式虽异而解法类似的一系列问题，不断强化学生对相关知识的理解和掌握。下面，笔者以三角函数值域的求法为例，谈谈发散性思维的培养。
例如，在算法教学中有关算法结构和语句笔者也设计下列变式：
案例2. 设计算法s=1 2 3 …… 100
变式1. s=1 3 5 …… 99
变式2. s=12 22 32 …… 1002
变式3. s=12-22 32-42 ……-992 1002
变式4. s=1 （1 2） （1 2 3） …… （1 2 3 …… 100）
变式5. s=1 （1×2） （1×2×3） …… （1×2×3×……×100）
变式6. 已知1 2 3 …… n，当S≤1000时，求n的最大值。
通过以上的变式，让学生感悟出循环结构就像递推数列一样寻找相邻两步和关系，理解了循环结构的三要素是如何确定的。
三、多题一解，培养思维的深刻性
案例3. 在直线l：x y-4=0上求一点M，使它到A（1，2）、 B（-1，3）的距离之和最小。
分析：（1）首先判断是在直线的同侧还是异侧。（2）若在同侧，先求出A（或B）关于L的对称点A′（或B′），再求直线 A′B（或AB′）所在的直线方程，与已知直线方程联立，求出M点坐标。（3）若在异侧，只需求出AB所在直线的方程，与已知直线方程联立，求出M点坐标。
解：令f（x，y）=x y-4，f（1，2）=1 2-4=-1<0，f（-1，3）=-1 3-4=-2<0。所以、在直线同侧。设关于的对称点为，则利用对称知识得： 所以A（2，3）所以A′B的方程为 y=3由y=3x y-4得 x=1y=3得所以M（1，3）为所求的点。
案例4. 光线从A（1，0）发出，射到x轴上点M，经反射后射到圆C：（x 3）2 （y-3）2=1上，求光线经过的最短距离。
分析：求出A点关于轴的对称点A′，这个最短距离可转化为A′到圆C的最短距离。即A′C减去圆的半径。由A′C的方程，可得M点坐标。
案例5. 求■ ■的最小值。
分析：这道题目用代数的方法来解决也比较困难。考虑到根号内的部分非常接近两点间的距离公式可如下整理、变形：■ ■看作点（x，0）到（上接第54页）点（1，1），（2，2）的距离之和最小问题。由于点（1，1），（2，2），在x轴同侧，可求（1，1）关于x轴的对称点（1，1），那么（1，-1）与（2，2）之间的距离即为■ ■的最小值。
以上三道题目，所使用的方法是一样的，就像同一个人穿了几套不同的衣服，其本质是考查用对称思想解题。通过多题一解的训练，领会同一数学思想、数学方法在不同题目背景下的不同体现，能够加深对数学思想和方法的理解，促进数学能力和数学素养的提高。
思维发展心理学认为，思维是在实践活动中发生和发展的。注重问题引申的推广的教学活动中，学生由于被激发起好奇欲望、探索欲望的创造欲望，所以他们就积极地探索、研究，并且将所获得的材料、信息在自己的大脑中进行“分析和综合、抽象和概括、归纳和类比、实验和猜想、一般化和特殊化等一系列新的、高级的、复杂的思维操作”。而经过这样的一个过程，学生不仅创造出新颖、独特的“产品”，而且由于努力地、不断地探索、推广结论，久而久之，就会自然养成爱探索问题的良好习惯，进而培养和发展学生的数学思维能力。
（作者单位：浙江省乐清市芙蓉中学 325600）