摘 要：数学教育的真谛究竟是什么，尽管有些文章从不同侧面给予了回答，但都没有切中要害，只在问题表面转圈。经过多年实践，我们发现“度”与“悟”才是数学教与学的关键所在。本文着重阐释为什么要在小学数学课堂教学中培养学生的悟性、怎样培养学生的悟性。数学课堂教学在教与学上究竟应怎样把握好度？作者围绕五个方面并结合相关案例进行叙述，即扶放有度、开合有度、动静有度、进退有度、学练有度。在把握度的基础上，引导儿童领悟数学思想方法，最终达到融会贯通的境界。
　　关键词：度；悟性；儿童；整体
　　教育界专家常说，教之道在于度，学之道在于悟。所谓悟，其实就是感知能力，也就是凭借原有知识和生活积累感知事物，领悟实质，发现规律的能力，即创造性的学习过程，悟性越高，其视野越开阔，思维越灵活，方法越巧妙，数学素养就越高，数学学习能力也就越强。悟是学习方法，是独立思考；悟是学习品质，是感受体验；悟是解惑排疑，是开拓创新。因此，学生要想牢固地掌握数学，就必须用内心的创造和体验来学习数学。悟比懂、会要高出一重境界，即对所学知识要悟出道理来，对所训练的方法悟出规律来，并从本质上加以理解，进行把握和驾驭。在数学教学中总能发现这样一些学生，不论教师如何揭示数学的概念和方法，对他们总是产生不了认同感和共鸣，即这些学生的数学悟性弱。反之，数学悟性强的学生，数学在他们看来都是那么的顺理成章，数学定义、定理都能达到“印在脑海里、融化在血液中、落实在应用上”的境界。数学概念和方法在悟性的作用下以“浓缩、提炼”的结构化形式贮存于人脑之中，并做到排列有序、结构完美，这不仅可以大大增加人脑的“库容”，而且十分有利于内化旧知识、发现新知识，提取、运用也非常方便，甚至还可以做到无论面对什么样的问题，相应的知识块根本不需要检索都能“自告奋勇”地挺身而出。即使遇到情境陌生的问题，也能产生顿悟，想出巧妙点子，顺利解决问题。
　　一、教师在数学课堂培育儿童悟性上要做到悟而有境、悟而有助、悟而有思、悟而有道
　　1. 悟而有境。
　　培养学生悟性，首先得使学生入境。“教者胸有境，入境始与亲”，教学时可根据所教内容特点，采用不同的方式，把学生不知不觉地带入教学内容的情景中来，把枯燥而艰深的数学内容描绘得有情趣，让学生一同参与到知识的发生形成、发展、运用过程中来。
　　【案例1】 笔者在教学苏教国标版六年级上册《百分数的认识》一课时，在课的结尾处设计了这样一道“走进生活”的习题。
　　（1）缤纷十一，魅力新百。购物满100元送20元。
　　（2）浪漫中央，激情回馈，购物满200元送40元。
　　如果你和妈妈国庆节一起去新百、中央商场购物，你会选择哪个商场呢？
　　生1：我会选择去中央商场购物，因为它满200送40元，返还率是20%。
　　（师评：这位同学能把这道题和今天学习的百分率联系起来，真好！他还发明了一个新词，板书：返还率）
　　生2：（全班举手，争着发言）选择哪个商场都一样，因为两个商场的返还率都是20%。
　　（师评：理解得很好，那同学们能否从现实角度再考虑一下呢？）
　　生3：我会选择去新百商场，因为返还率虽然都是20%，但我如果买了300元的商品，在中央商场就只能返还40元，而在新百商场可以返还60元，你们说，去哪个商场划算呢。
　　经第三位发言的同学一说，大家豁然开朗，悟出了其中的道理，悟出了返还率在理论上虽然一样，但在现实生活中，返还的钱数还是有区别的。教师在关键处的一句点拔，让问题情境更富有挑战性，自然地逼近了学生的“最近发展区”。
　　2. 悟而有思。
　　这里的思，指的是反思，反思是指在一定的问题情境下，以审视或批判的态度，对呈现在自己面前的任何思想观念进行的积极主动、坚持不懈和细致缜密的探究性思维活动。
　　反思，也可以理解成回头看，是“思考的思考”，是建立在自己或他人实践和思考基础上的“再思考”，它可以促进积累经验，升华认识，陶冶精神和生发智慧。培养悟性，是个体心智发展的必由之路和成熟的真正标志。
　　【案例2】 “为什么不提另外两个问题”。
　　（在引导学生解决了上述两个问题后，顺势引导学生继续反思）
　　师：刚刚我们解决了“小军最多拍了多少下？既然题目提到最多，那么相对应的就应该是最少，谁能用“最少”提出另外一个问题？
　　生：小军最少拍多少下？
　　生：我认为小军最少拍0下。
　　生：我认为小军既然参加了拍球活动，起码也要拍1个，不可能一个都没拍。因此，我认为是1个。
　　生：我认为这个问题没意思，因为它跟小军拍了多少下没有多大关系。
　　师：分析得很好，再想想，与小强最少拍了多少下相对的问题是什么？
　　生：小强最多拍多少下？
　　师：那书上为什么不出这个问题让我们思考？
　　生：因为小强的个数比20多，最多应该没有答案，是无数个。
　　生：小强拍球的个数应该有一定范围，不可能无穷大，但到底是多少，我也说不清。
　　师：因为这两个问题无意义，所以书上没有提出来让我们思考。
　　3. 在冲突中悟。
　　认知冲突可以激发学生的学习动机，从而促使学生更深入地参与课程活动。当学生处于认知冲突状态时，意味着他所知觉的事物和现象超出他的理解，与其预期之间存在差异，这会促使学生尝试把新经验同化到已有认知结构中，或者改变已有认知结构以整合新经验，回归认知平衡，在这一过程中可提升儿童的悟性。
　　【案例3】 在“面积和面积单位”的教学中，教师首先出示大小不同的两组图形（如图1）：杨树叶（大）和银杏树叶（小），手绢（大）和方巾（小），问学生哪个大哪个小。 　　图1
　　学生通过直接观察很容易做出正确的判断。教师又出示一张正方形纸和长方形纸，要求学生判断其面积大小。由于通过直接观察难以准确判断两者大小，学生的回答出现了三种答案，出现认知冲突，于是教师请学生利用桌上两种形状的纸来研究新的比较方法。探究的结果，学生采用两张先重叠，再割补，最后比较的方法，得出正方形纸大于长方形纸的结论。教师在后面继续提出挑战，在实物投影上出示了书上的一对正方形和长方形。因为图形在书上，无法直接裁剪割补，原来有效的方法又不适用了，再次引发认知冲突。学生带着疑问又一次投入探索，最后巧妙地使用把图形放入单位面积的小方格图中，通过数方格的数量比较两者面积大小的方法。整个教学活动通过两次认知冲突的设置，不但使学生探索出多种比较面积大小的方法，而且学生在活动过程中自然地领悟到了比较面积大小方法的由来。
　　■二、在教学实施上把握一个“度”
　　“度”是指一定事物保持自己质的数量界限，在这个界限内，量的增减不改变事物的质，超出界限，就要引起质变。要在“度”的基础上放手让儿童去领悟数学的本质，体悟数学的真谛。
　　孔子说“执其两端，而用其中于民”，朱熹注“凡物皆有两端，如大小厚薄之类。于善之中，又执其两端，而度量以取中，然后用之”。什么是中？朱熹从方法论上解释为“中者不偏不倚，无过不及之名”。这里的中，是一种追求，落实到具体实践中也就是教师放手的“度”。
　　1. 教学过程要主动引导，相机点拨，提升学习力，但不能一味包办代替，要做到扶放有度、施之以法。
　　数学教学重在暴露思维过程，指导思维方法，扶放结合，引导学生积极、主动地参与教学过程，使学生在获取教学意识的同时掌握思维方法，培养学生悟性。长期以来，课堂教学中对于新知的处理，教师包办过多，学生的个性在课堂上得不到有效的舒展。“以学定教”理念下的数学课堂迫切地呼唤“放手来教”。
　　现阶段，一些教师尝试后发现“把话筒拿给学生后，想拿回来不容易”；一些教师没有尝试，也许是心中疑惑，也许是想观望学习；还有一些教师不愿尝试，一直以来自己都是课堂的掌控者，放开给学生还不像“鸭子堂”，本来十几分钟能解决的事情，现在花几十分钟也解决不完，这样的课堂还有什么效率可言？
　　在大胆放手实践中，如果教师能解决好这种教学形式带来的下面几个问题，那就是“怎样放手”的问题。其一，应当什么时机放。是每个环节都放手，还是某个知识点要放手，是在课的伊始放手，还是适当引导后再放手？其二，放到什么程度。全课都放手给学生学习，还是放手讨论到某一个环节为止？放手学生各抒己见哪怕离题千里，还是就这一点问题放手？其三，以什么形式来放手？是语言引导放手让学生讨论，还是组织学生动手操作？
　　有放手就有收手，那随之而来又会产生什么时机收手？以什么形式收？收到什么程度？
　　（1）扶。在教学能被“2”整除的数的特征时，我们让学生参与探学，引导学生经历了一次不完全归纳的历程。
　　在做了复习铺垫后，教师提示引导，要研究能被2整除的数的特征，必须找出这些数字进行观察思考，继而归纳出这些数的特征（暗示不完全归纳法的具体做法）。接着师生共同找出2的倍数（如图3），因为2的倍数是无限的，所以只要代表性地找出一部分（不完全归纳），同时点上省略号，最后组织学生观察、思考，并讨论、交流。对基础较差的学生，做了适当点拨。这些数的个位上的数字有何特征？想一想，20以下是什么数？学生一般都能发现能被“2”整除的数的特征。
　　（2）放。学生有了找能被2整除的数的特征的经验，可以用类比的方法去找能被“5”整除的数的特征。
　　实际教学时，笔者首先引导学生回顾一下能被2整除的数的特征方法。引导学生说出“先代表性地找出能被2整除的数，接着观察、思考并归纳出这些数的特征”这一操作方法。然后放手让学生找能被5整除的数的特征。结果学生情绪高涨，积极主动地完成了探究任务。
　　在课堂小结时，让学生回味体验“你是怎样找到能被5整除的数的特征的？能被5整除的数的特征是什么？”培养学生的说理能力，又让学生再去体验不完全归纳法。“扶”首先体现在教师要根据学生现有的知识体系、学生智能的发展水平，制订好学生的学习预案。只有科学地制订预案，才有可能放手让学生探究。首先，“扶”要扶得精准，要把力气使在关节点上，帮助学生打开思路，指点门径，提示要领，掌握方法，促使学生自己去探索，去思考，从而获取新知识。其次，“放”要放得合理，教师要选择适当的内容，让学生有机会探究。“放”并不是放任自流，教师什么都不管，而是教师起到引导、调控的作用，要给学生指明探究的方向，给学生提出明确的探究要求，给学生提供适当的指导和帮助，还要对学习的结果及时评价和反馈。教师更要了解学生实际，注意学生的个体差异，尽可能使“扶”与“放”更有层次，让每一个学生在原有基础上得到充分的发展。
　　2. 教学设计要做到收放自如、开合有度，开合有度的课堂能让学生的思维之流找到理想归宿。
　　教师在对一节数学课进行设计时，要有一个整体的架构，哪些环节需要放手让学生探究、体验，哪些环节需要教师设计问题精心点拨。教师在上课时要做到心中有数，预设到位，这样才能真正做到“开合有度、收放自如”。
　　【案例4】 笔者在扬州梅岭小学公开教学《分数的基本性质》这节课时，教学设计就显得较为开放，让老树发出了新芽。
　　（1）教师给每个小组准备了一些学习材料（有的小组提供的是一张正方形小纸，有的小组提供的是几个同样大小的图片，有的小组提供的是一根数轴）。
　　（2）出示研究报告单（如图4）：通过折一折，比一比，分一分，找出一组相等的分数，然后把研究报告单填写完整。
　　所谓“度”，是事物发展的关节点，是矛盾运动中对应关系的相对平衡与和谐共处。“度”也是教学最优化的具体体现，教学设计中的“度”来自于知识的复杂程度与学生的心理特点的交互作用，而课堂教学运行过程中的“度”则来自于教师对教学现场即时智慧地把握。 　　3. 教学氛围动静有度，慎防炸开锅和表面上、形式上的“热闹”，在课堂的节奏把握上要缓急适中、张弛有度。
　　课堂教学中动和静的处理要讲究合理、适度。动和静在教学形式上不是一半静、一半动。教学中，虽然强调表面的动，但并不反对表面的静，它排斥的是那种表面和实质都是静，静得令人窒息，没有任何思维波澜，没有任何认知矛盾，而课堂教学中表面的静，其实质是思维在动，这种静显得尤为重要。
　　课堂教学中的动是有层次之分的，蹦蹦跳跳、涂涂画画、敲敲打打之类的动是浅层次的；师生问答、交流讨论、即兴表达之类的动是中层次的；心潮澎湃、思如泉涌、深刻表达这类能够激发心灵震颤的动才是高层次的，不同年龄阶段、不同教学内容，需要有相关层次的动作为共同的主导形式。现代课堂教学的参与要做到动作参与和心灵参与的和谐结合，即要做到静中有动，动中有静；静而不乱，静而不滞；动静交替， 有张有弛。
　　4. 教师的教学要进退有度，从某种意义上说，退是进的准备和基础，进是退的发展和提升，在课堂上，“进”“退”之间体现的是一种行云流水般的从容节奏，是一种水乳交融般的状态。
　　在数学教学中，我们要善于退，首先要退到学生的生活经验，让生活成为课堂学习发生的现实基础，让学生对所学知识产生亲切感，让学生感到生活与知识的密切联系；其次退到学生的已有旧知，可通过适度的复习与再现，激活学生认知结构中的相关旧知，寻找新知学习发生的“生长点”；再次退到学生的思维起点，对于不同年级的学生，教师应根据其年龄特征寻找合宜的思维方式，对于低年级学生，可以多一些操作和活动，以引发动作性思维，对于中年级学生，可以充分利用表象的作用，不断引发形象性思维；对于高年级学生，可以引导他们归纳和概括，逐步发展抽象性思维。小学生思维发展的源头是动作与形象，据此展开的活动才能顺应学生的认知规律。如何在课堂上敢于进？首先，要想方设法促进学生的认知结构的形成，单一的知识，犹如散落的珠宝，而结构化的知识，才能串成美丽的珍珠项链，在形成认知结构的过程中产生新知，发展能力，提升素养。其次，要促进学生对实际应用技能的掌握，学以致用才会使知识变得有血有肉、富有生气，而不是只有骨骼的X光片。只有这样，才能体验到数学学习的意义和价值。再次，要促进学生数学学科素养的提升，通过知识技能获得数学思想方法，产生学习的主动性、积极性，通过关键能力形成核心素养。
　　5. 数学教学不仅要探索新知，更要夯实“四基”，做到学练有度、步步深入。
　　学是练的前提，练习又是把知识转化为能力的途径，是下一层次学习的必备基础。学和练的适度把握，直接影响到学生的学习兴趣和能力。从心理角度来说，教师连续讲解或者学生单纯探索的时间过长，给予学生的只是单调的刺激，容易使学生的大脑皮层产生抑制，使学生疲劳，注意力难以维持，思维能力也随之降低。而在学练结合的学习状态中，多层次的学习和多元化的练习，能引起和保持学生的注意力，有利于提高教学效益。同时，学练必须前后连贯、环环相扣、穿插进行，形成一个结构严密、紧凑、和谐、完美的整体。
　　当然，培养学生的悟性不是一朝一夕的事，它需要我们长期坚持，尤其要注重培养学生的创造性思维和直觉思维，用心设计好每一节课，落实到教学的一些重要环节中，在把握度的基础上引导学生来感悟、体悟，最终达到融会贯通的境界。