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一、让个性思维与操作水乳交融
人们认识世界是从操作实践开始的，儿童也不例外。教学实践经验告诉我们：有效的操作，才能有效地帮助学生发现知识、掌握知识、应用知识、解决问题，才能有效地挖掘个体潜能，促进学生个性思维的形成和发展。
我校的杨老师在上人教版第九册《梯形的面积》一课时，给我留下了深刻印象。
师：同学们，你们认识这些图形吗？知道它们的面积计算公式吗？
师：谁来说一说平行四边形和三角形的面积计算公式是怎样推导出来的？
师：今天我们来认识一位新朋友，（出示）你们认识吗？
师：它的面积你会算吗？（揭示课题：梯形的面积）要不要老师告诉你们？（不要）那你们就自己动手试试吧。（四人小组合作探究，教师巡视，不时地加入探究活动）
师：（经过较长时间的动手实践后）哪组先来把你们的研究成果与大家一起分享？（成果展示）
A组：我们是借鉴三角形的推导方法，把两个完全一样的梯形，拼成一个平行四边形（如图所示，课堂上学生是用纸片展示的），这个平行四边形的底是梯形上底与下底的和，高还是梯形的高，先用梯形上底与下底的和乘高求出这个平行四边形的面积，再把这个平行四边形的面积除以2就得到一个梯形的面积了。
B组：我们也是利用转化的方法进行推导的。先把梯形沿它的对角线剪开，分成两个三角形，左上角的三角形面积等于上底乘高的积除以2，右下角的三角形面积等于下底乘高的积除以2，然后把两个三角形面积加起来就是这个梯形的面积，经过整理后与A组的一样，梯形的面积等于上底加下底的和乘高的积除以2。
以下几组学生有的虽暂不能得出梯形的面积计算公式，但从多角度呈现了学生的不同的个性思维。
C组：我们这组是这样做的，把梯形剪成一个平行四边形和一个三角形（如上图），平行四边形的面积等于上底乘高的积，三角形面积等于下底与上底的差乘高的积除以2，经整理也能得到梯形的面积等于上底加下底的和乘高的积除以2。
D组：我们与C组的方法差不多，只是把中间部分沿高剪成一个长方形（如上图），再把左右两边剪下的两个小三角形拼成一个大三角形，然后用梯形上底乘高求长方形面积，再用下底与上底的差乘高的积除以2求出大三角形的面积，经过整理梯形的面积也等于上底加下底的和乘高的积除以2。
E组：剪拼成长方形，如图F组：沿中位线剪开，拼成平行四边形的。
从上面教学片段可以看出，杨老师把梯形面积计算公式推导过程中的思维多样性，巧妙地融进学生的操作实践中，充分挖掘操作实践中的思维价值；同时借助操作方法和推导途径的多样性，既满足了不同个性思维的需要，又让个性思维在操作中得到充分有效地发展。
二、让深度思考与操作相得益彰
只有让操作与思维真正结合起来，才能有效激发问题解决、合作学习、自我发现等思维活动，才能有效促进学生个性思维的形成和发展。
例如，我校的张老师在上人教版第十一册《圆柱的体积》一课时，通过引导学生回顾圆面积计算公式的推导过程，使把圆切拼成近似长方形的转化方法发生正迁移，学生很快想到用转化的思想方法，把圆柱切拼成近似长方体，从而顺利地推导出圆柱的体积计算公式：圆柱的体积=底面积×高。得出公式后，教师及时组织学生进行巩固练习，计算“一个圆柱的底面积是15平方分米，高是6分米，它的体积是多少立方分米？”紧接着教师要求学生拿出各自课前准备的圆柱形茶叶罐，并提出：请你们通过量一量、测一测，计算出你们手中圆柱形茶叶罐的体积。
从这个量一量、测一测的设计中，不难看出张老师对学生操作的独特见解和良苦用心。量什么？教师没有提示，量面积？量半径？量直径？还是量周长？学生必须通过自己的思考，根据自己的理解作出判断；怎样量？教师没有规定，要学生根据已有的经验和过去掌握的方法去作出决定；为什么要量这些？教师也没有解释，让学生自己去寻找沟通知识之间联系的桥梁，对自己的行为作出合理的解释。正是这个量一量、测一测，张老师将思维与学生的操作实践完美地结合在一起，既让学生在测量中彰显自己的智慧，又有效地促进学生个性思维的形成和发展。
三、让操作与解决问题相辅相成
把数学知识放在一个原生态的探索环境里，让学生在原生态的知识情境中摸爬滚打，感受知识的发生发展过程，经历探究未知的思维过程，获得发现真知的个性体验。这样的操作实践既能拓展学生的探究空间，锻炼学生思维能力，又能让学生的个性思维在动手操作中得到进一步的提高和发展。
笔者在上《圆锥体积》的练习课时，为了让学生更全面、深刻地理解圆柱与圆锥之间的关系，设置了以下环节：把一段24分米长的木料，锯成两段，用其中的一段加工成一个圆锥体，另一段加工成一个圆柱体，要使加工后的圆锥体与圆柱体木料的体积相等，要怎样加工？为什么要这样加工？请你们拿出课前准备的橡皮泥，自己动手试试，把得出的方法告诉老师。笔者抛弃数学课堂教学中常用的公式法和假设法，另辟蹊径，采用设置操作情境的方法，把“等积等底情况下，圆锥与圆柱高之间的关系”和“等积等高的情况下，圆锥与圆柱底面积之间的关系”这一数学问题融进原生态的操作情境中，引导学生通过操作对问题展开有效地思维和探索，从而使学生深刻理解圆锥与圆柱不仅有等底等高关系还有等积等底和等积等高的关系，并在此基础上进一步探究得出“等积等底情况下，圆锥与圆柱高之间的关系”和“等积等高的情况下，圆锥与圆柱底面积之间的关系”。从上面可以看出，课堂教学中如果能把思维融进操作空间，不仅能让学生学好知识、掌握技能，还能有效拓展学生个性思维的发展空间。
（作者单位：福建省厦门市金尚小学 责任编辑：王彬）
人们认识世界是从操作实践开始的，儿童也不例外。教学实践经验告诉我们：有效的操作，才能有效地帮助学生发现知识、掌握知识、应用知识、解决问题，才能有效地挖掘个体潜能，促进学生个性思维的形成和发展。
我校的杨老师在上人教版第九册《梯形的面积》一课时，给我留下了深刻印象。
师：同学们，你们认识这些图形吗？知道它们的面积计算公式吗？
师：谁来说一说平行四边形和三角形的面积计算公式是怎样推导出来的？
师：今天我们来认识一位新朋友，（出示）你们认识吗？
师：它的面积你会算吗？（揭示课题：梯形的面积）要不要老师告诉你们？（不要）那你们就自己动手试试吧。（四人小组合作探究，教师巡视，不时地加入探究活动）
师：（经过较长时间的动手实践后）哪组先来把你们的研究成果与大家一起分享？（成果展示）
A组：我们是借鉴三角形的推导方法，把两个完全一样的梯形，拼成一个平行四边形（如图所示，课堂上学生是用纸片展示的），这个平行四边形的底是梯形上底与下底的和，高还是梯形的高，先用梯形上底与下底的和乘高求出这个平行四边形的面积，再把这个平行四边形的面积除以2就得到一个梯形的面积了。
B组：我们也是利用转化的方法进行推导的。先把梯形沿它的对角线剪开，分成两个三角形，左上角的三角形面积等于上底乘高的积除以2，右下角的三角形面积等于下底乘高的积除以2，然后把两个三角形面积加起来就是这个梯形的面积，经过整理后与A组的一样，梯形的面积等于上底加下底的和乘高的积除以2。
以下几组学生有的虽暂不能得出梯形的面积计算公式，但从多角度呈现了学生的不同的个性思维。
C组：我们这组是这样做的，把梯形剪成一个平行四边形和一个三角形（如上图），平行四边形的面积等于上底乘高的积，三角形面积等于下底与上底的差乘高的积除以2，经整理也能得到梯形的面积等于上底加下底的和乘高的积除以2。
D组：我们与C组的方法差不多，只是把中间部分沿高剪成一个长方形（如上图），再把左右两边剪下的两个小三角形拼成一个大三角形，然后用梯形上底乘高求长方形面积，再用下底与上底的差乘高的积除以2求出大三角形的面积，经过整理梯形的面积也等于上底加下底的和乘高的积除以2。
E组：剪拼成长方形，如图F组：沿中位线剪开，拼成平行四边形的。
从上面教学片段可以看出，杨老师把梯形面积计算公式推导过程中的思维多样性，巧妙地融进学生的操作实践中，充分挖掘操作实践中的思维价值；同时借助操作方法和推导途径的多样性，既满足了不同个性思维的需要，又让个性思维在操作中得到充分有效地发展。
二、让深度思考与操作相得益彰
只有让操作与思维真正结合起来，才能有效激发问题解决、合作学习、自我发现等思维活动，才能有效促进学生个性思维的形成和发展。
例如，我校的张老师在上人教版第十一册《圆柱的体积》一课时，通过引导学生回顾圆面积计算公式的推导过程，使把圆切拼成近似长方形的转化方法发生正迁移，学生很快想到用转化的思想方法，把圆柱切拼成近似长方体，从而顺利地推导出圆柱的体积计算公式：圆柱的体积=底面积×高。得出公式后，教师及时组织学生进行巩固练习，计算“一个圆柱的底面积是15平方分米，高是6分米，它的体积是多少立方分米？”紧接着教师要求学生拿出各自课前准备的圆柱形茶叶罐，并提出：请你们通过量一量、测一测，计算出你们手中圆柱形茶叶罐的体积。
从这个量一量、测一测的设计中，不难看出张老师对学生操作的独特见解和良苦用心。量什么？教师没有提示，量面积？量半径？量直径？还是量周长？学生必须通过自己的思考，根据自己的理解作出判断；怎样量？教师没有规定，要学生根据已有的经验和过去掌握的方法去作出决定；为什么要量这些？教师也没有解释，让学生自己去寻找沟通知识之间联系的桥梁，对自己的行为作出合理的解释。正是这个量一量、测一测，张老师将思维与学生的操作实践完美地结合在一起，既让学生在测量中彰显自己的智慧，又有效地促进学生个性思维的形成和发展。
三、让操作与解决问题相辅相成
把数学知识放在一个原生态的探索环境里，让学生在原生态的知识情境中摸爬滚打，感受知识的发生发展过程，经历探究未知的思维过程，获得发现真知的个性体验。这样的操作实践既能拓展学生的探究空间，锻炼学生思维能力，又能让学生的个性思维在动手操作中得到进一步的提高和发展。
笔者在上《圆锥体积》的练习课时，为了让学生更全面、深刻地理解圆柱与圆锥之间的关系，设置了以下环节：把一段24分米长的木料，锯成两段，用其中的一段加工成一个圆锥体，另一段加工成一个圆柱体，要使加工后的圆锥体与圆柱体木料的体积相等，要怎样加工？为什么要这样加工？请你们拿出课前准备的橡皮泥，自己动手试试，把得出的方法告诉老师。笔者抛弃数学课堂教学中常用的公式法和假设法，另辟蹊径，采用设置操作情境的方法，把“等积等底情况下，圆锥与圆柱高之间的关系”和“等积等高的情况下，圆锥与圆柱底面积之间的关系”这一数学问题融进原生态的操作情境中，引导学生通过操作对问题展开有效地思维和探索，从而使学生深刻理解圆锥与圆柱不仅有等底等高关系还有等积等底和等积等高的关系，并在此基础上进一步探究得出“等积等底情况下，圆锥与圆柱高之间的关系”和“等积等高的情况下，圆锥与圆柱底面积之间的关系”。从上面可以看出，课堂教学中如果能把思维融进操作空间，不仅能让学生学好知识、掌握技能，还能有效拓展学生个性思维的发展空间。
（作者单位：福建省厦门市金尚小学 责任编辑：王彬）