论文部分内容阅读
摘要：随着现代社会科技的高速发展，数学的重要性越来越突出。数学软件Mathematica将为传统的本科高等数学的学习和教学提供一个计算思维平台，丰富了教师的教学实践过程。通过将计算思维融入高等数学的具体教学中，设计可视化的互动场景教学和学习模式，再现数学知识的发现过程，以问题驱动的方式，灵活实现数学问题的出现和解答，让学生对数学产生学习兴趣，并取得相对较好的教学效果，计算思维将有重要的作用。
关键词：高等数学;计算思维;过程性考核Mathematica软件
高等数学是大学的基础课程，对极限、连续、导数等概念的理解，传统的教学方法大都以老师为主导，教学手段主要为多媒体教学与黑板板书，虽有对部分教学内容设计成较好的几何或物理背景直观呈现，国内部分高校也尝试用数学软件改进教学[1-2]，但这些初步尝试不能使学生在这些内容进行交互性互动，得不到真正计算思维融入高等数学学习的锻炼，而另一方面在大一学生编程算法的能力不足，不具有独立的计算思维能力。Mathematica软件较主旨明确：尽可能让全世界可计算，并为世界万物披上一层技能计算的外衣。
Mathematica的图形和交互式可视化是其能应用具体学科如高等数学的计算思维教学的重要特征之一[2]，计算思维（computationalt hinking）的提出源于上世纪90年代在麻省理工学院的西蒙.帕尔特。计算思维概念的首次定义是由美国卡梅隆大学（CMU）的周以真教授明确提出，即“运用计算机学科的基础概念求解问题、系统设以及人类行为理解的涵盖了计算机科学之广度的一系列思维活动”[3-4]。
最新的Mathematica软件在笔记本文档基础上发展到Web和Cloud等互联系统，特别是笔记本文档转换生成的CDF文档（computational document file，可计算文档），使得在未安装Mathematica软件的智能手机、平板等便携式界面都可以交互演示CDF文档，教学内容的CDF文档设计对提高学生高维几何图像的直觉和多元微积分的概念理解有质的提高。
本文将从计算思维融入教学内容的选择设计，文档具体实施方法等方面对高等数学课程的计算思维教学进行一些探討和建议，以期得到较好的教学效果。
一、高等数学教学中融入计算思维的设计思路
目前国内中学普及数学软件并不多，随着近年大数据技术和人工智能的迅猛发展，部分教育发达城市的中学已开设如Python等编程的基础入门课程，这对学生计算机实现的编程思维培养是个较好的开端。但在具体数学学科，应弱化计算思维培养的编程能力要求[5]。因此，高等数学教学融入计算思维，应侧重对数学知识的理解和多方位认识，Mathematica软件的Wolfram语言的笔记本文档，可以和几乎零基础编程的学生进行语言交互，问题驱动式的文本，图形说明，以及数学公式等其他所有内容的交互式形式。Mathematica的代码命令和数学自然语言描述接近，软件自带的引导式的自纠正提示使得新手可快速实现高等数学的运算和几何演示。
基于高等数学的教学内容，仅一元微积分部分，对重点要结合计算思维的教学设计简要讨论如下：
第一部分，设计数列，函数极限的动态交互CDF文档，加深对极限过程的描述性理解和严格定义理解;无穷小比较的极限过程动态交互图形;函数导数是无穷小比较的极限过程;
第二部分，引导学生，在老师的文档模板上进行调试或交互式演示，鼓励学生挖掘本专业背景的导数应用，并以计算的形式在Mathematica（老师的指导下）上呈现;
第三部分，由分割、近似和、求极限过程，让学生在设计好的CDF文档充分调试体现这一过程，引导学生对不同的函数实行同样的极限过程的几何构建演示，设计旋转体的积分分割过程，加强学生对具体问题转化为积分表达的能力。
二、计算思维辅助具体高等数学内容的教学范例
极限的概念是高等数学重要的基础概念，虽然在计算上难度并不是太大，但理解其真正内涵需要辅助实际函数的动态交互图形，设计一系列初等函数，对函数的四则运算后取极限的一个笔记本文档，学生可以从该交互界面，任意选择各类基本初等函数，对其图形特征，以及函数的四则运算极限得到最直观的印象，使得学生可更全面地参与到极限概念，四则运算，性质等的交互学习。
定积分的几何构建是对图形进行分割、近似和求和组成的极限过程，在课堂上讲解的曲边梯形面积求解，学生第一次接触用极限过程秒速不规则几何图形的面积，仅仅用示意图表示该方法的思想是不够深刻和熟悉的。在Mathematica上，设计动态的不同分割类型（分割小单元的越细），近似的小矩形（高可以是小区间曲线的任意值，分别简单设置为小曲线段的最左边，最右边，中间，最高值，最低值），最后计算所有小矩形的面积和（图1所示）。
学生可以通过交互界面，理解存在，其值不依赖于分割和的任意性，只有这部分学扎实深刻理解了积分的本质定义，才能在后续定积分的应用掌握得更好。
从多年的高等数学教学经验，学生在定积分的计算，换元法和分部积分法等通过一定的练习演算，基本能掌握教材课后题难度类型知识点。
三、计算思维融入高等数学教学的实际效果和问题
学生在期初的Mathematica编程能力较差，学习语言的自住性较差，对老师的依赖性较强，但对老师提供的笔记本文档生产的可交互图形操作，都能积极地去尝试、体验。当前公共数学的教学改革，一个重要的手段就是能利用现代化的信息化技术，开展自主学习、在交互平台中体验式学习，培养学生基本的数学思维，随着掌上移动设备和网络的资源多交互性，在以提高学生的计算设计创造能力为更深层次的教学目标驱使下，教师对计算思维的理解程度，自身对计算思维融入高等数学教学内容的设计和教学实践，都提出了更高的要求。教师在以计算思维辅助下的教学设计和实践下，和学生共同在应用交互性平台下进行探究性学习，借助Mathematica软件，使之真正成为学生和教师，以及平台之间充分交互，表现出计算型思维的现代化教学特点。
参考文献：
[1]郭灿.Mathematica软件在高等数学教学中的应用[J].科教导刊（下旬），2016（10）：107-108.
[2]隋欣.Mathematica软件在高职高等数学教学中的应用[J].科技经济导刊，2015（18）：49+55.
[3]范文翔，张一春，李艺.国内外计算思维研究与发展综述[J].远程教育杂志，2018，36（02）：3-17.
[4]游永兴.计算思维在高等教育中的作用及培养[J].高教论坛，2018（10）：40-42+55.
[5]孙丽.融入计算思维理念的问题驱动教学模式研究与实践[D].辽宁师范大学，2015.
通讯作者：叶洪波（1978.5-），男，湖北鄂州人，讲师，硕士，研究方向为概率论与数理统计。
基金项目：厦门理工学院教改项目（编号JG2018047，JG2019029）。
（厦门理工学院应用数学学院 福建厦门 361024）
关键词：高等数学;计算思维;过程性考核Mathematica软件
高等数学是大学的基础课程，对极限、连续、导数等概念的理解，传统的教学方法大都以老师为主导，教学手段主要为多媒体教学与黑板板书，虽有对部分教学内容设计成较好的几何或物理背景直观呈现，国内部分高校也尝试用数学软件改进教学[1-2]，但这些初步尝试不能使学生在这些内容进行交互性互动，得不到真正计算思维融入高等数学学习的锻炼，而另一方面在大一学生编程算法的能力不足，不具有独立的计算思维能力。Mathematica软件较主旨明确：尽可能让全世界可计算，并为世界万物披上一层技能计算的外衣。
Mathematica的图形和交互式可视化是其能应用具体学科如高等数学的计算思维教学的重要特征之一[2]，计算思维（computationalt hinking）的提出源于上世纪90年代在麻省理工学院的西蒙.帕尔特。计算思维概念的首次定义是由美国卡梅隆大学（CMU）的周以真教授明确提出，即“运用计算机学科的基础概念求解问题、系统设以及人类行为理解的涵盖了计算机科学之广度的一系列思维活动”[3-4]。
最新的Mathematica软件在笔记本文档基础上发展到Web和Cloud等互联系统，特别是笔记本文档转换生成的CDF文档（computational document file，可计算文档），使得在未安装Mathematica软件的智能手机、平板等便携式界面都可以交互演示CDF文档，教学内容的CDF文档设计对提高学生高维几何图像的直觉和多元微积分的概念理解有质的提高。
本文将从计算思维融入教学内容的选择设计，文档具体实施方法等方面对高等数学课程的计算思维教学进行一些探討和建议，以期得到较好的教学效果。
一、高等数学教学中融入计算思维的设计思路
目前国内中学普及数学软件并不多，随着近年大数据技术和人工智能的迅猛发展，部分教育发达城市的中学已开设如Python等编程的基础入门课程，这对学生计算机实现的编程思维培养是个较好的开端。但在具体数学学科，应弱化计算思维培养的编程能力要求[5]。因此，高等数学教学融入计算思维，应侧重对数学知识的理解和多方位认识，Mathematica软件的Wolfram语言的笔记本文档，可以和几乎零基础编程的学生进行语言交互，问题驱动式的文本，图形说明，以及数学公式等其他所有内容的交互式形式。Mathematica的代码命令和数学自然语言描述接近，软件自带的引导式的自纠正提示使得新手可快速实现高等数学的运算和几何演示。
基于高等数学的教学内容，仅一元微积分部分，对重点要结合计算思维的教学设计简要讨论如下：
第一部分，设计数列，函数极限的动态交互CDF文档，加深对极限过程的描述性理解和严格定义理解;无穷小比较的极限过程动态交互图形;函数导数是无穷小比较的极限过程;
第二部分，引导学生，在老师的文档模板上进行调试或交互式演示，鼓励学生挖掘本专业背景的导数应用，并以计算的形式在Mathematica（老师的指导下）上呈现;
第三部分，由分割、近似和、求极限过程，让学生在设计好的CDF文档充分调试体现这一过程，引导学生对不同的函数实行同样的极限过程的几何构建演示，设计旋转体的积分分割过程，加强学生对具体问题转化为积分表达的能力。
二、计算思维辅助具体高等数学内容的教学范例
极限的概念是高等数学重要的基础概念，虽然在计算上难度并不是太大，但理解其真正内涵需要辅助实际函数的动态交互图形，设计一系列初等函数，对函数的四则运算后取极限的一个笔记本文档，学生可以从该交互界面，任意选择各类基本初等函数，对其图形特征，以及函数的四则运算极限得到最直观的印象，使得学生可更全面地参与到极限概念，四则运算，性质等的交互学习。
定积分的几何构建是对图形进行分割、近似和求和组成的极限过程，在课堂上讲解的曲边梯形面积求解，学生第一次接触用极限过程秒速不规则几何图形的面积，仅仅用示意图表示该方法的思想是不够深刻和熟悉的。在Mathematica上，设计动态的不同分割类型（分割小单元的越细），近似的小矩形（高可以是小区间曲线的任意值，分别简单设置为小曲线段的最左边，最右边，中间，最高值，最低值），最后计算所有小矩形的面积和（图1所示）。
学生可以通过交互界面，理解存在，其值不依赖于分割和的任意性，只有这部分学扎实深刻理解了积分的本质定义，才能在后续定积分的应用掌握得更好。
从多年的高等数学教学经验，学生在定积分的计算，换元法和分部积分法等通过一定的练习演算，基本能掌握教材课后题难度类型知识点。
三、计算思维融入高等数学教学的实际效果和问题
学生在期初的Mathematica编程能力较差，学习语言的自住性较差，对老师的依赖性较强，但对老师提供的笔记本文档生产的可交互图形操作，都能积极地去尝试、体验。当前公共数学的教学改革，一个重要的手段就是能利用现代化的信息化技术，开展自主学习、在交互平台中体验式学习，培养学生基本的数学思维，随着掌上移动设备和网络的资源多交互性，在以提高学生的计算设计创造能力为更深层次的教学目标驱使下，教师对计算思维的理解程度，自身对计算思维融入高等数学教学内容的设计和教学实践，都提出了更高的要求。教师在以计算思维辅助下的教学设计和实践下，和学生共同在应用交互性平台下进行探究性学习，借助Mathematica软件，使之真正成为学生和教师，以及平台之间充分交互，表现出计算型思维的现代化教学特点。
参考文献：
[1]郭灿.Mathematica软件在高等数学教学中的应用[J].科教导刊（下旬），2016（10）：107-108.
[2]隋欣.Mathematica软件在高职高等数学教学中的应用[J].科技经济导刊，2015（18）：49+55.
[3]范文翔，张一春，李艺.国内外计算思维研究与发展综述[J].远程教育杂志，2018，36（02）：3-17.
[4]游永兴.计算思维在高等教育中的作用及培养[J].高教论坛，2018（10）：40-42+55.
[5]孙丽.融入计算思维理念的问题驱动教学模式研究与实践[D].辽宁师范大学，2015.
通讯作者：叶洪波（1978.5-），男，湖北鄂州人，讲师，硕士，研究方向为概率论与数理统计。
基金项目：厦门理工学院教改项目（编号JG2018047，JG2019029）。
（厦门理工学院应用数学学院 福建厦门 361024）