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【摘 要】概念形成和概念同化是教学数学概念的两种常见的方式，它们对同一概念的教学其效果会有一定的不同。具体而言，以人教版中的“三角形”这一概念为例，先分析学生对三角形“前概念”的认知层次，再通过两种不同教学方式的实际教学，比较得出不同教学方式所产生的教学效果，为概念教学提供依据。
【关键词】概念形成；概念同化；三角形；对比研究
概念形成和概念同化是教學数学概念的两种常见的方式。[1]概念同化是指在教学中，利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接提出概念，并揭露其本质属性，由学生主动地与原认知结构中的有关概念相联系去学习和掌握概念的方式。[2]概念形成即通过创设情境从客观实例引入，抽象共性特征，概括本质特征，形成数学概念。[3]两种教学方式与数学概念学习之间的关系见图1。[4]
调查表明，97.6%的学生全部做出了正确判断，92.7%的学生简要说明了理由。说明学生基本上已经从直观层面认识了三角形。
（二）对三角形概念抽象表述的调查
三角形的定义是一个抽象的概念，反映的是三角形这一类几何图形的本质属性。人教版教材对三角形的定义是：由三条线段围成（每两条线段首尾相连）的图形。
我们对同一批学生进行了三角形概念认知的调查，调查放在学习“三角形的认识”一课之前。调查内容是：你认为什么是三角形？要求学生独立完成，用文字表述。目的在于了解学生对三角形概念的抽象表述的情况，掌握三角形概念教学的难点。
按照SOLO（英文“Structure of the Observed Learning Outcome”的缩写，意为“可观察的学习成果结构”）水平分类的方法，我们把学生对三角形概念的认知分成五个层次，具体情况见表1。
调查发现，要求学生抓住三角形的本质特征进行描述，并用规范的数学语言进行表达，对小学生来说是一件比较困难的事。学生对三角形概念认知的整体水平较低，能够从“角”和“边”两方面对三角形进行描述的学生均只有三分之一左右，甚至极少有学生关注到“线段”这一概念。
（一）采用“概念同化”教学方式
“概念同化”是大多数教师习惯使用的一种教学方式。教学中一般由教师直接告知定义，再由学生接受、理解并纳入自己原有的知识结构，进行记忆和运用。“概念同化”的教学过程比较简明，能使学生比较直接地学习概念，被称为“学生获得数学概念的最基本的方式”。根据曹才翰教授描述的“概念同化方式学习概念的几个阶段”[6]，我们设计了教学程序并在四甲班进行了教学（下文中的楷体字系曹才翰教授给出的步骤）。
1.揭示概念的关键属性，给出定义、名称和符号。
课前预习，了解什么是三角形，三角形的各部分名称，三角形的特性，三角形的底和高。
师：通过预习，我们知道了什么样的图形叫作三角形。
生：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点首尾相连）叫作三角形。
师：请大家画一个三角形，标出三角形的顶点、边、角，然后给自己画的三角形起个名字。（学生操作）
2.突出概念的本质特性。
师：生活中有很多三角形的物体。（出示空调支架、健身器材、大桥等图片）你能从图中找出三角形吗？（学生在屏幕上找）
师：这些物体的大小、形状、材料都不相同，为什么都能叫作三角形呢？
生：它们都是由三条线段围成的。
3.使新概念与已有认知结构中的有关观念建立联系，把新观念纳入到已有概念体系中，同化新概念。
师：三角形的定义中哪些词最重要？请说说理由。
生：“3条”很重要，因为不是三条就不是三角形了。
生：“线段”也很重要，如果是直线就出头了。
生：“围成”也很重要，不围成就不能说是三角形。（教师随着学生的回答在关键词下画一条线）
师：为什么不说有三个角呢？
生：角的边是射线，三角形的边是线段。 师：看来，数学的定义是很严谨又很简洁的，每一个词都很重要！
教师指着（每相邻两条线段的端点首尾相连）这句话问：对这句话你怎么理解？你觉得这句话重要吗？（学生疑惑）
师：（准备好三根小棒）谁能用这三根小棒摆一个三角形，并解释一下这句话的意思？
学生操作，理解“每相邻两条线段的端点首尾相连”的意思。
4.用肯定例證与否定例证让学生辨认，使新概念与已有认知结构中的相关概念分化。
判断图2中哪些是三角形，要求根据三角形的定义，说明理由。
5.把新概念纳入到相应的概念体系中去，使有关概念融会贯通，组成一个整体。
师：我们能不能给四边形也下一个定义？
生：由4条线段围成的图形。
生：要每相邻两条线段的端点首尾相连。
师：五边形呢？
……
（二）采用“概念形成”教学方式
概念形成的教学方式，即让学生经历概念的抽象、概括、表述的过程。这需要学生一是从许多事物、事件或情境中抽象出它们的共有特征，以便进行概括；二是要能够辨别与概念相关或不相关的标志，以便进行区别归类；三是要用数学语言表述概括的结果。概念的形成在本质上是一种抽象过程，大多数数学概念都可以通过概念形成的方式而获得。
根据曹才翰和蔡金法教授在《数学教育学概论》一书中对概念形成的一般过程的描述[7]，我们设计了如下教学过程并在四乙班进行了教学。
1.辨别各种刺激模式（生活引入）。
引入：观看一些三角形物体的图片，得出这些图片中都有三角形的结论。
2.分化出各种刺激模式的属性。
师：这些三角形的物体都一样吗？如果不一样，哪里不一样？
生：它们的材料不一样，有的是铁做的，有的是木头做的。
生：大小不一样，形状也不一样。
生：作用也不一样。
3.概括出各个刺激模式的共同属性，并提出它们的共同关键属性的假设。
师：这些物体所用的材料不同，大小、形状以及作用也都不同，为什么都可以叫作三角形呢？
学生思考、回答。教师根据学生的回答在图片上进行指点，并择其要点板书。
生：都有三个角。
生：都有三条边。
生：边都是直直的。
4.在特定的情境中检验假设，确认关键属性。
师：我们虽然能够辨别一个图形是不是三角形，但要准确说出什么样的图形是三角形，还是有一定难度。请同学们想一想，刚才这些同学说得对吗？如果不对，你能不能画一个图来说明他错在哪里？
生：不是，出头了。
生：要把端点和端点连在一起。
师：所以，关于“围成”，书本上是这样解释的（出示：每相邻两条线段的端点相连）。现在我们一起来说说，什么是三角形？
生：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连），叫作三角形。
6.把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去。
师：请你在自己画的三角形上或生活中的三角形上指一指，说说这个三角形是由哪三条线段围成的。（学生操作）
……
（三）教后测试
两个星期之后，我们对学生进行了后测。其间学生学习完了三角形单元的全部内容，但没有复习。测试题目不变：你认为什么是三角形？要求学生独立完成，用文字表述。
后测情况见表2：
表2
[班级][（1）前结构层次：空白或错误表述][（2）单点结构层次：只关注到“角”或“边”][（3）多点结构层次：从“角”“边”等角度描述][（4）关联结构层次：除“角”和“边”外，还关注到其他特征][（5）抽象拓展层次：完整、正确地表述][甲][甲][甲][甲][甲][乙][乙][乙][乙][乙][12][1][21][18][4][15][3][4][3][1][人数][占比][3%][7%][10%][7%][38%][9%][46%][49%][3%][28%][“角是尖尖的，叫作三角形”1人。画了一个三角形，1人。一个直角、两个锐角，1人][空白，1人][具体解答情况][“有三条边”4人][“有三个角”2人，“有三条边”1人][“有三个边、三个角、三个顶点”
][“有三个边、三个角、三个顶点”
][除“有三条边、三个角、三个顶点”外，提到有三条高的有4人，提到稳定性的有9人，两边之和大于第三边的有1人，用来“连接”的有2人，用了“围成”的有7人，用了“封闭的”有1人][除“有三条边、三个角、三个顶点”，用了“连接”的有2人，用了“封闭”的有2人，用了“围成”的有14人，不断开1人，围住1人，围着1人][由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）][层次] 前后测情况对比见图4：
通过数据对比，我们可以看到，两个班“单点结构层次（层次二）”的学生占比都大幅度下降。四甲班“多点结构层次（层次三）”的学生显著上升，四乙班“抽象拓展层次（层次五）”的学生上升幅度较大。层次四的学生中，四甲班提及“连接”“围成”“封闭”等词的学生由0人增加到10人，四乙班由4人增加到11人。从三角形概念的教学来看，概念形成的教学方式在教学效果上要优于概念同化的教学方式。
概念形成的核心是理解。数学概念的理解和掌握是一个漫长的、迂回的认知和实践过程。概念同化的教学方式引入知识“短平快”，偏重于概念的逻辑结构教学，但忽略了知识发生过程的教学，容易造成部分中等生及学困生对概念理解不深。三角形的概念和小学生已有的数学概念不具有很强的关联，属于“弱抽象关系”，因而更适合于用概念形成的教学方式。概念形成教学方式能够帮助学生从自我语言逐步过渡发展到借用数学语言来定义三角形概念，丰富概念表征类型，进而提高学生的数学概念辨别能力。
但在教学时间上，采用概念同化的教学方式用时约10分钟，采用概念形成的教学方式则用了约17分钟。人教版教材一般是把“三角形的定义”“三角形的高”“三角形的稳定性”放在一个课时内进行教学，教学内容多，时间紧，这也是很多教师采用概念同化教学方式的一个重要原因。
概念形成和概念同化在不同类型概念的教學上发挥着不同的作用。小学数学教材里一共有500多个数学概念，仅采用概念形成的教学方式，会降低概念获得的效率，并且不容易使学生形成完整的概念体系。教无定法，贵在得法。章建跃指出：概念形成与概念同化并不是孤立存在的，而是有着密切的联系。学习数学概念时，不能仅仅采取一种方式进行学习。[8]喻平教授也认为：学习新概念要采取不同的学习形式。对于某些概念，甚至要用两种教学方式结合起来教学。[9]教学三角形的概念，概念形成的教学方式要优于概念同化，但并不意味着本文的教学方式就是最优方案。我们应该探究把两种教学方式互相结合的教学方式，以使教学效果更好。
概念教学是数学教学中最基本也是最重要的任务之一。让学生尽可能深入地理解概念的本质，逐步学会用数学语言描述概念，是教学的努力方向；根据概念特点选择合适的教学方式，帮助学生形成必要的数学能力和数学思想，是教师的教学追求。通过本研究，希望能够帮助小学数学教师了解不同教学方式所产生的教学效果，并进一步反思自己的概念教学，把本次研究的方法拓展应用于自己的教学实践，提升概念教学的理解层次和实践水平，帮助学生更好地学习数学概念。
[1]黄灿，骆洪才.论数学概念的认知[J].湘潭师范学院（自然科学版）. 2001（23）：88-89.
[2]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社.2009： 120.
[3]邵光华，章建跃.数学概念的分类、特征及其教学探讨[J]. 课程·教材·教法，2009（7）：47-51.
[4]喻平.数学概念学习刍议[J].课程·教材·教法，1995（4）：30-32.
[5]同[2]：275.
[6]同[2]：121.
[7]同[2]：119.
[8]章建跃.数学概念的获得[J].数学通报，1990（11）：2-15.
[9]同[4].
（浙江省台州市路桥区桐屿街道中心小学 318053）
【关键词】概念形成；概念同化；三角形；对比研究
一、研究背景
概念形成和概念同化是教學数学概念的两种常见的方式。[1]概念同化是指在教学中，利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接提出概念，并揭露其本质属性，由学生主动地与原认知结构中的有关概念相联系去学习和掌握概念的方式。[2]概念形成即通过创设情境从客观实例引入，抽象共性特征，概括本质特征，形成数学概念。[3]两种教学方式与数学概念学习之间的关系见图1。[4]
调查表明，97.6%的学生全部做出了正确判断，92.7%的学生简要说明了理由。说明学生基本上已经从直观层面认识了三角形。
（二）对三角形概念抽象表述的调查
三角形的定义是一个抽象的概念，反映的是三角形这一类几何图形的本质属性。人教版教材对三角形的定义是：由三条线段围成（每两条线段首尾相连）的图形。
我们对同一批学生进行了三角形概念认知的调查，调查放在学习“三角形的认识”一课之前。调查内容是：你认为什么是三角形？要求学生独立完成，用文字表述。目的在于了解学生对三角形概念的抽象表述的情况，掌握三角形概念教学的难点。
按照SOLO（英文“Structure of the Observed Learning Outcome”的缩写，意为“可观察的学习成果结构”）水平分类的方法，我们把学生对三角形概念的认知分成五个层次，具体情况见表1。
调查发现，要求学生抓住三角形的本质特征进行描述，并用规范的数学语言进行表达，对小学生来说是一件比较困难的事。学生对三角形概念认知的整体水平较低，能够从“角”和“边”两方面对三角形进行描述的学生均只有三分之一左右，甚至极少有学生关注到“线段”这一概念。
三、两种教学方式对同一概念的教学效果
（一）采用“概念同化”教学方式
“概念同化”是大多数教师习惯使用的一种教学方式。教学中一般由教师直接告知定义，再由学生接受、理解并纳入自己原有的知识结构，进行记忆和运用。“概念同化”的教学过程比较简明，能使学生比较直接地学习概念，被称为“学生获得数学概念的最基本的方式”。根据曹才翰教授描述的“概念同化方式学习概念的几个阶段”[6]，我们设计了教学程序并在四甲班进行了教学（下文中的楷体字系曹才翰教授给出的步骤）。
1.揭示概念的关键属性，给出定义、名称和符号。
课前预习，了解什么是三角形，三角形的各部分名称，三角形的特性，三角形的底和高。
师：通过预习，我们知道了什么样的图形叫作三角形。
生：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点首尾相连）叫作三角形。
师：请大家画一个三角形，标出三角形的顶点、边、角，然后给自己画的三角形起个名字。（学生操作）
2.突出概念的本质特性。
师：生活中有很多三角形的物体。（出示空调支架、健身器材、大桥等图片）你能从图中找出三角形吗？（学生在屏幕上找）
师：这些物体的大小、形状、材料都不相同，为什么都能叫作三角形呢？
生：它们都是由三条线段围成的。
3.使新概念与已有认知结构中的有关观念建立联系，把新观念纳入到已有概念体系中，同化新概念。
师：三角形的定义中哪些词最重要？请说说理由。
生：“3条”很重要，因为不是三条就不是三角形了。
生：“线段”也很重要，如果是直线就出头了。
生：“围成”也很重要，不围成就不能说是三角形。（教师随着学生的回答在关键词下画一条线）
师：为什么不说有三个角呢？
生：角的边是射线，三角形的边是线段。 师：看来，数学的定义是很严谨又很简洁的，每一个词都很重要！
教师指着（每相邻两条线段的端点首尾相连）这句话问：对这句话你怎么理解？你觉得这句话重要吗？（学生疑惑）
师：（准备好三根小棒）谁能用这三根小棒摆一个三角形，并解释一下这句话的意思？
学生操作，理解“每相邻两条线段的端点首尾相连”的意思。
4.用肯定例證与否定例证让学生辨认，使新概念与已有认知结构中的相关概念分化。
判断图2中哪些是三角形，要求根据三角形的定义，说明理由。
5.把新概念纳入到相应的概念体系中去，使有关概念融会贯通，组成一个整体。
师：我们能不能给四边形也下一个定义？
生：由4条线段围成的图形。
生：要每相邻两条线段的端点首尾相连。
师：五边形呢？
……
（二）采用“概念形成”教学方式
概念形成的教学方式，即让学生经历概念的抽象、概括、表述的过程。这需要学生一是从许多事物、事件或情境中抽象出它们的共有特征，以便进行概括；二是要能够辨别与概念相关或不相关的标志，以便进行区别归类；三是要用数学语言表述概括的结果。概念的形成在本质上是一种抽象过程，大多数数学概念都可以通过概念形成的方式而获得。
根据曹才翰和蔡金法教授在《数学教育学概论》一书中对概念形成的一般过程的描述[7]，我们设计了如下教学过程并在四乙班进行了教学。
1.辨别各种刺激模式（生活引入）。
引入：观看一些三角形物体的图片，得出这些图片中都有三角形的结论。
2.分化出各种刺激模式的属性。
师：这些三角形的物体都一样吗？如果不一样，哪里不一样？
生：它们的材料不一样，有的是铁做的，有的是木头做的。
生：大小不一样，形状也不一样。
生：作用也不一样。
3.概括出各个刺激模式的共同属性，并提出它们的共同关键属性的假设。
师：这些物体所用的材料不同，大小、形状以及作用也都不同，为什么都可以叫作三角形呢？
学生思考、回答。教师根据学生的回答在图片上进行指点，并择其要点板书。
生：都有三个角。
生：都有三条边。
生：边都是直直的。
4.在特定的情境中检验假设，确认关键属性。
师：我们虽然能够辨别一个图形是不是三角形，但要准确说出什么样的图形是三角形，还是有一定难度。请同学们想一想，刚才这些同学说得对吗？如果不对，你能不能画一个图来说明他错在哪里？
生：不是，出头了。
生：要把端点和端点连在一起。
师：所以，关于“围成”，书本上是这样解释的（出示：每相邻两条线段的端点相连）。现在我们一起来说说，什么是三角形？
生：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连），叫作三角形。
6.把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去。
师：请你在自己画的三角形上或生活中的三角形上指一指，说说这个三角形是由哪三条线段围成的。（学生操作）
……
（三）教后测试
两个星期之后，我们对学生进行了后测。其间学生学习完了三角形单元的全部内容，但没有复习。测试题目不变：你认为什么是三角形？要求学生独立完成，用文字表述。
后测情况见表2：
表2
][“有三个边、三个角、三个顶点”
][除“有三条边、三个角、三个顶点”外，提到有三条高的有4人，提到稳定性的有9人，两边之和大于第三边的有1人，用来“连接”的有2人，用了“围成”的有7人，用了“封闭的”有1人][除“有三条边、三个角、三个顶点”，用了“连接”的有2人，用了“封闭”的有2人，用了“围成”的有14人，不断开1人，围住1人，围着1人][由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）][层次] 前后测情况对比见图4：
通过数据对比，我们可以看到，两个班“单点结构层次（层次二）”的学生占比都大幅度下降。四甲班“多点结构层次（层次三）”的学生显著上升，四乙班“抽象拓展层次（层次五）”的学生上升幅度较大。层次四的学生中，四甲班提及“连接”“围成”“封闭”等词的学生由0人增加到10人，四乙班由4人增加到11人。从三角形概念的教学来看，概念形成的教学方式在教学效果上要优于概念同化的教学方式。
概念形成的核心是理解。数学概念的理解和掌握是一个漫长的、迂回的认知和实践过程。概念同化的教学方式引入知识“短平快”，偏重于概念的逻辑结构教学，但忽略了知识发生过程的教学，容易造成部分中等生及学困生对概念理解不深。三角形的概念和小学生已有的数学概念不具有很强的关联，属于“弱抽象关系”，因而更适合于用概念形成的教学方式。概念形成教学方式能够帮助学生从自我语言逐步过渡发展到借用数学语言来定义三角形概念，丰富概念表征类型，进而提高学生的数学概念辨别能力。
但在教学时间上，采用概念同化的教学方式用时约10分钟，采用概念形成的教学方式则用了约17分钟。人教版教材一般是把“三角形的定义”“三角形的高”“三角形的稳定性”放在一个课时内进行教学，教学内容多，时间紧，这也是很多教师采用概念同化教学方式的一个重要原因。
四、研究体会
概念形成和概念同化在不同类型概念的教學上发挥着不同的作用。小学数学教材里一共有500多个数学概念，仅采用概念形成的教学方式，会降低概念获得的效率，并且不容易使学生形成完整的概念体系。教无定法，贵在得法。章建跃指出：概念形成与概念同化并不是孤立存在的，而是有着密切的联系。学习数学概念时，不能仅仅采取一种方式进行学习。[8]喻平教授也认为：学习新概念要采取不同的学习形式。对于某些概念，甚至要用两种教学方式结合起来教学。[9]教学三角形的概念，概念形成的教学方式要优于概念同化，但并不意味着本文的教学方式就是最优方案。我们应该探究把两种教学方式互相结合的教学方式，以使教学效果更好。
概念教学是数学教学中最基本也是最重要的任务之一。让学生尽可能深入地理解概念的本质，逐步学会用数学语言描述概念，是教学的努力方向；根据概念特点选择合适的教学方式，帮助学生形成必要的数学能力和数学思想，是教师的教学追求。通过本研究，希望能够帮助小学数学教师了解不同教学方式所产生的教学效果，并进一步反思自己的概念教学，把本次研究的方法拓展应用于自己的教学实践，提升概念教学的理解层次和实践水平，帮助学生更好地学习数学概念。
参考文献：
[1]黄灿，骆洪才.论数学概念的认知[J].湘潭师范学院（自然科学版）. 2001（23）：88-89.
[2]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社.2009： 120.
[3]邵光华，章建跃.数学概念的分类、特征及其教学探讨[J]. 课程·教材·教法，2009（7）：47-51.
[4]喻平.数学概念学习刍议[J].课程·教材·教法，1995（4）：30-32.
[5]同[2]：275.
[6]同[2]：121.
[7]同[2]：119.
[8]章建跃.数学概念的获得[J].数学通报，1990（11）：2-15.
[9]同[4].
（浙江省台州市路桥区桐屿街道中心小学 318053）