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摘 要： 行列式是一个重要的数学工具，在众多的科学技术领域内有十分广泛的应用.本文介绍行列式在等式证明中的若干应用.
关键词： 行列式 等式证明 应用
行列式是一个重要的数学工具，在众多的科学技术领域内有十分广泛的应用.本文主要介绍行列式在等式证明中的应用.等式证明在初等代数中占有一定的地位，利用行列式的性质解决某些等式证明问题，能达到事半功倍的效果.
一个元素含有字母x■，x■，…，x■的行列式可以看做是x■，x■，…，x■的多项式.反过来，一个多项式f（x■，x■，…，x■）可以写成元素含有字母x■，x■，…，x■的行列式.利用行列式的性质，对行列式进行恒等变形（不改变行列式的值），即可以导出多项式f（x■，x■，…，x■）的一个恒等变形，从而完成等式的证明.
例1：已知a b c=0，证明a■ b■ c■=3abc.
证：a■ b■ c■-3abc=a？摇？摇？摇b？摇？摇？摇cc？摇？摇？摇a？摇？摇？摇bb？摇？摇？摇c？摇？摇？摇ar■ r■=r■ r■a b c？摇？摇？摇a b c？摇？摇？摇a b c？摇 c？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇a？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇b？摇？摇？摇？摇？摇b？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇c？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇a？摇=0？摇？摇？摇0？摇？摇？摇0c？摇？摇？摇a？摇？摇？摇bb？摇？摇？摇c？摇？摇？摇a=0.
故a■ b■ c■=3abc.
例2：已知ax bz cy=1，ay bx cz=2，az by cy=3，证明（a■ b■ c■-3abc）（x■ y■ z■-3xyz）=18.
证：（a■ b■ c■-3abc）（x■ y■ z■-3xyz）
=a？搖？摇？摇b？摇？摇？摇cc？摇？摇？摇a？摇？摇？摇bb？摇？摇？摇c？摇？摇？摇ax？摇？摇？摇y？摇？摇？摇zz？摇？摇？摇x？摇？摇？摇yy？摇？摇？摇z？摇？摇？摇x=a？摇？摇？摇b？摇？摇？摇cc？摇？摇？摇a？摇？摇？摇bb？摇？摇？摇c？摇？摇？摇ax？摇？摇？摇y？摇？摇？摇zz？摇？摇？摇x？摇？摇？摇yy？摇？摇？摇z？摇？摇？摇x
=ax bz cy？摇？摇？摇ay bx cz？摇？摇？摇az by cxaz by cx？摇？摇？摇ax bz cy？摇？摇？摇ay bx czay bx cz？摇？摇？摇az by cx？摇？摇？摇ax bz cy
=1？摇？摇？摇2？摇？摇？摇33？摇？摇？摇1？摇？摇？摇22？摇？摇？摇3？摇？摇？摇1=18.
例3：已知ax by=1，bx cy=1，cx ay=1，证明ab bc ca=a■ b■ c■.
证：ab bc ca-（a■ b■ c■）
=a？摇？摇？摇b？摇？摇？摇-1c？摇？摇？摇a？摇？摇？摇-1b？摇？摇？摇c？摇？摇？摇-1c■ xc■=C■ yc■a？摇？摇？摇b？摇？摇？摇ax by-1c？摇？摇？摇a？摇？摇？摇cx ay-1b？摇？摇？摇c？摇？摇？摇bx cy-1=a？摇？摇？摇b？摇？摇？摇0c？摇？摇？摇a？摇？摇？摇0b？摇？摇？摇c？摇？摇？摇0=0.
故ab bc ca=a■ b■ c■.
例4：若（z-x）■-4（x-y）（y-z）=0，求证：x，y，z成等差数列.
证：由（z-x）■-4（x-y）（y-z）=0，有
？摇？摇z-x？摇？摇？摇？摇2x-2y2y-2z？摇？摇？摇？摇？摇z-x=？摇？摇？摇？摇z x-2y？摇？摇？摇？摇？摇2x-2y-（z x-2y）？摇？摇？摇？摇z-x=（z x-2y）？摇1？摇？摇？摇2x-2y-1？摇？摇？摇？摇z-x
=（z x-2y）■=0.
可得
z x-2y=0.
即
z x=2y.
所以x，y，z成等差数列.
例5：已知ax■ bx c=0，px■ qx r=0，证明（cp-ra）■=（br-qc）（aq-pb）.
证：根据已知条件，c=-ax■-bx，r=-px■-qx，有
cp-ra？摇？摇？摇？摇？摇aq-pbbr-qc？摇？摇？摇？摇？摇cp-ra
=-apx■-bpx pax■ qax？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇aq-pb-bpx■-bqx aqx■ bqx？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇-apx■-bpx pax■ qax
=？摇x（aq-pb）？摇？摇？摇？摇？摇？摇aq-pbx■（aq-pb）？摇？摇？摇？摇x（aq-pb）=0.
则
（cp-ra）■-（aq-pb）（br-qc）=0.
即
（cp-ra）■=（aq-pb）（br-qc）.
参考文献：
[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M]（第五版）.北京：高等教育出版社，2007：100-102.
[2]周立仁.行列式在初等数学中的几个应用[J].湖南理工学院学报.自然科学版，2008（04）：17-19.
[3]梁波.例谈行列式的几个应用[J].毕节学院学报，2006（04）：27-29.
关键词： 行列式 等式证明 应用
行列式是一个重要的数学工具，在众多的科学技术领域内有十分广泛的应用.本文主要介绍行列式在等式证明中的应用.等式证明在初等代数中占有一定的地位，利用行列式的性质解决某些等式证明问题，能达到事半功倍的效果.
一个元素含有字母x■，x■，…，x■的行列式可以看做是x■，x■，…，x■的多项式.反过来，一个多项式f（x■，x■，…，x■）可以写成元素含有字母x■，x■，…，x■的行列式.利用行列式的性质，对行列式进行恒等变形（不改变行列式的值），即可以导出多项式f（x■，x■，…，x■）的一个恒等变形，从而完成等式的证明.
例1：已知a b c=0，证明a■ b■ c■=3abc.
证：a■ b■ c■-3abc=a？摇？摇？摇b？摇？摇？摇cc？摇？摇？摇a？摇？摇？摇bb？摇？摇？摇c？摇？摇？摇ar■ r■=r■ r■a b c？摇？摇？摇a b c？摇？摇？摇a b c？摇 c？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇a？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇b？摇？摇？摇？摇？摇b？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇c？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇a？摇=0？摇？摇？摇0？摇？摇？摇0c？摇？摇？摇a？摇？摇？摇bb？摇？摇？摇c？摇？摇？摇a=0.
故a■ b■ c■=3abc.
例2：已知ax bz cy=1，ay bx cz=2，az by cy=3，证明（a■ b■ c■-3abc）（x■ y■ z■-3xyz）=18.
证：（a■ b■ c■-3abc）（x■ y■ z■-3xyz）
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例3：已知ax by=1，bx cy=1，cx ay=1，证明ab bc ca=a■ b■ c■.
证：ab bc ca-（a■ b■ c■）
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故ab bc ca=a■ b■ c■.
例4：若（z-x）■-4（x-y）（y-z）=0，求证：x，y，z成等差数列.
证：由（z-x）■-4（x-y）（y-z）=0，有
？摇？摇z-x？摇？摇？摇？摇2x-2y2y-2z？摇？摇？摇？摇？摇z-x=？摇？摇？摇？摇z x-2y？摇？摇？摇？摇？摇2x-2y-（z x-2y）？摇？摇？摇？摇z-x=（z x-2y）？摇1？摇？摇？摇2x-2y-1？摇？摇？摇？摇z-x
=（z x-2y）■=0.
可得
z x-2y=0.
即
z x=2y.
所以x，y，z成等差数列.
例5：已知ax■ bx c=0，px■ qx r=0，证明（cp-ra）■=（br-qc）（aq-pb）.
证：根据已知条件，c=-ax■-bx，r=-px■-qx，有
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则
（cp-ra）■-（aq-pb）（br-qc）=0.
即
（cp-ra）■=（aq-pb）（br-qc）.
参考文献：
[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M]（第五版）.北京：高等教育出版社，2007：100-102.
[2]周立仁.行列式在初等数学中的几个应用[J].湖南理工学院学报.自然科学版，2008（04）：17-19.
[3]梁波.例谈行列式的几个应用[J].毕节学院学报，2006（04）：27-29.