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[摘 要]以我国铁路客运量为研究对象，建立描述我国铁路客运量发展趋势的数学模型，并检验模型的合理性和优良性，根据我国1999—2018年的铁路客运量时间序列图，选取描述我国铁路客运量发展趋势的数学模型，构建二次曲线模型、二次曲线指数平滑预测模型和灰色预测模型，并对模型进行求解和检验模型的合理性，综合二次曲线预测模型和二次曲线指数平滑预测模型，建立最优线性组合预测模型并检验合理性，通过曲线拟合的方式对模型进行优良性分析。结果表明，所建模型合理有效，组合预测模型最优，较好地描述了我国铁路客运量的发展趋势。
[关键词]二次曲线;二次曲线指数平滑模型 ;灰色模型;组合预测模型
[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2021.18.162
1 引言
铁路作为近现代最为重要的交通运输方式，得益于轨道交通更趋向于快稳，越来越多的人愿意以铁路出行，轨道交通的高速发展也是一个国家经济发展水平的集中体现。铁路交通的发展同样反哺国家工业，推动社会发展，成为一个良性循环。研究铁路客运量的发展趋势，为铁路运输资源的合理配置，未来铁路运输规划提供理论依据。
关于铁路客运量，已有一定的研究。国内有很多相关学者从不同方面进行探索和研究，也取得了很多研究成果。研究的方法有很多种，有因素分析的，也有预测分析的，有只运用一种预测方法进行研究的，也有采用组合预测法的。如：王晚香用灰色关联和多元回归预测的方法对我国铁路客运需求进行分析和预测;[1]曹韩运用ARIMA模型对我国铁路月客运量进行分析和预测研究;[2]王彬运用灰色回归组合模型对我国铁路客运量进行分析和预测研究;[3]张毅敏运用线性与非线性的组合模型对我国的铁路客运量进行分析预测研究;[4]袁胜强应用改进灰色神经网络模型对甘肃省的铁路客运量进行分析预测;[5]仝哲运用回归分析法、指数曲线预测模型和组合预测模型对北京市春运铁路客运量进行分析预测。[6]
文章以我国铁路客运量为研究对象，基于组合预测模型研究我国铁路客运量发展趋势。首先，根据我国1999—2018年的铁路客运量时间序列图，选取描述我国铁路客运量发展趋势的数学模型;其次，构建二次曲线模型、二次曲线指数平滑预测模型和灰色预测模型，并对模型进行求解和检验模型的合理性;再次，综合二次曲线预测模型和二次曲线指数平滑预测模型，建立最优线性组合预测模型并检验合理性;最后，通过曲线拟合的方式对模型进行优良性分析，结果表明：所建模型合理有效，组合预测模型最优。
2 数据来源及其分析
借助中国统计年鉴[7]收集到我国1999—2018年的铁路客运量的年度数据，详见表1所示：
为了更清楚地了解1999—2018年我国铁路客运量的总体趋势，借助MATLAB软件，绘制中国铁路客运量时间序列图，结果见图1。
由图1可知，我国铁路客运量总体呈上升趋势。因此，可选取二次曲线模型、二次曲线指数平滑模型、灰色预测模型描述铁路客运量的发展趋势。
3 模型的建立与求解
3.1 二次曲线模型
二次曲线模型的一般式为：
y=bo+b1t+b2t2（1）
其中，t表示年份，y表示铁路客运量。
用最小二乘法估计二次曲线模型的未知参数bo，b1，b2，从而建立描述铁路客运量发展趋势的二次曲线模型为：
y=109532.817-4759.847t+792.315t2（2）
为了检验模型的合理性，绘制二次曲线模型拟合图，如图2所示。
从图2可以看出，铁路客运量实际值与模型值吻合程度较好，由此可用二次曲线模型描述铁路客运量的发展趋势。
3.2 二次曲线指数平滑模型
二次曲线指数平滑模型的形式为：
yt+m=At+Btm+12Ctm2（3）
式中：yt+m为第t+m时期我国铁路客运量的模型值;At为t时刻的水平值，Bt为t时刻的线性增量;Ct为t时刻的抛物线增量;m为第t期后的期数且m≥1是整数。
根据（3）可得到以下结果，如表2所示。
为了检验模型的合理性，绘制二次曲线指数模型拟合图，如图3所示。
从图3可以看出，实际值和模型值的吻合程度很高，所以可用二次曲线指数模型描述铁路客运量的发展趋势。
2.3 灰色预测模型
2.3.1 构建累加生成序列
X（1）={X（1）（1），X（1）（2），…X（1）（n）}={100164，205237，…，3465032.32}
2.3.2 构造数据矩阵B和数据向量yn
B=-152700.501-257794.50-3296532.3211，yn=105073105115337000
2.3.3 建立模型
白化微分方程为：
μ=dX（1）dt+aX（1）=dX（1）dt-0.0770X（1）=-894918.45（4）
白化微分方程的解为（时间响应方程）：
X︿（1）（t+1）=995082.45e0.0770t-894918.45（5）
2.3.4 修正模型
定义残差为：
e（0）（j）=X（1）（j）-X︿（1）（j）（6）
則有e（0）=[25375.71，19043.06，…，18604.01]
e（0）的累加生成序列为： e（0）=[25375.71，44418.77，…，145951.04] 利用e（1）建立相应的GM（1，1）模型为：
X︿（1）（t+1）=996394.40e0.0769t-896230.40+δ（t-1）4158.07e0.0455（t-1）（7）
其中，δ（t-1）=1，k≥20，k<2为修正系数。
2.4 组合预测模型
组合预测模型的一般形式为：
yt=a+b1y1t+…+bnynt（8）
其中，y1t，…，ynt为不同模型的模型值。
结合所建立的二次曲线模型、二次曲线指数模型可得到描述铁路客运量的发展趋势的组合预测模型为：
yt=617.1523+0.7738y1t+0.2245y2t（9）
其中，y1t为二次曲线模型的模型值，y2t为二次指数平滑的模型值。
3 模型合理性及优良性分析
为了更能直观地检验模型的合理性和优良性，绘制出四个模型的拟合效果比较图，如图4所示。
从图4可以看出，四个模型的模型值和实际值吻痕程度都很高，由此可说明所建立的模型较好地描述了我国铁路客运量的发展趋势。通过比较可知，组合预测模型的模型值与实际值的吻合程度最好，即运用组合预测模型描述我国铁路客运量的发展趋势更合适。
4 结论与建议
从结果可以看出我国铁路客运量呈上升的趋势， 为了应对客运量不断增长，更好地服务人们，让铁路交通运输健康地发展，提出建议。
（1）国家出台相关的政策，整体合理地规划铁路运输业的发展，合理地规划铁路路线。
（2）国家或者相关企业部门在利用已有铁路的基础上挖掘建设新的路线。
（3）私营铁路企业可以根据客运量不断增长的趋势，根据实际情况加大投资铁路的发展。
（4）相关部门全面优化客车开行方案，高峰期时，在保证正常运营的情况下，可适时增加客车开行数。
（5）相关部门建立完善自助式检售票服务的快速通道，满足旅客快速、便捷出行的需要。
参考文献：
[1]王晚香，刘文俭，李岩.基于灰色关联和多元回归预测的铁路客运需求分析及预测[J].大连交通大学学报，2019（1）：22-25.
[2]曹韩，许晓玲.基于ARIMA模型的中国铁路客运量研究[J].广西民族大学学报，2017（2）：85-89.
[3]王彬.基于灰色回归组合模型的铁路客运量预测研究[J].重庆理工大学学报：自然科学版，2017（11）：6.
[4] 张毅敏.线性与非线性的组合模型在铁路客运量预测中的应用研究[D].成都：西南交通大学，2014.
[5] 袁胜强. 改进灰色神经网络模型在甘肃省铁路客運量预测中的运用[D].兰州：兰州交通大学，2017.
[6] 仝哲，张炳江，李慧.关于春运铁路客运量预测模型的研究[J].北京信息科技大学学报：自然科学版，2016，31（3）：80-83.
[7]中国统计局.中国统计年鉴2018[R/OL].[2018-10-24].http：//www.stats.gov.cn/tjsj./tjcbw/201810/t20181024_1629505.html.
[基金项目]国家社会科学基金西部项目（项目编号：18XTJ002）;2019年度广西高校中青年教师科研基础能力提升项目（项目编号：2019KY0720）;贺州市2020年哲学社会科学规划研究课题（项目编号：GH2020YBA02）。
[作者简介]韦师（1984—），男，壮族，广西大化人，理学硕士，副教授，研究方向：概率论与数理统计、数学建模。
[关键词]二次曲线;二次曲线指数平滑模型 ;灰色模型;组合预测模型
[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2021.18.162
1 引言
铁路作为近现代最为重要的交通运输方式，得益于轨道交通更趋向于快稳，越来越多的人愿意以铁路出行，轨道交通的高速发展也是一个国家经济发展水平的集中体现。铁路交通的发展同样反哺国家工业，推动社会发展，成为一个良性循环。研究铁路客运量的发展趋势，为铁路运输资源的合理配置，未来铁路运输规划提供理论依据。
关于铁路客运量，已有一定的研究。国内有很多相关学者从不同方面进行探索和研究，也取得了很多研究成果。研究的方法有很多种，有因素分析的，也有预测分析的，有只运用一种预测方法进行研究的，也有采用组合预测法的。如：王晚香用灰色关联和多元回归预测的方法对我国铁路客运需求进行分析和预测;[1]曹韩运用ARIMA模型对我国铁路月客运量进行分析和预测研究;[2]王彬运用灰色回归组合模型对我国铁路客运量进行分析和预测研究;[3]张毅敏运用线性与非线性的组合模型对我国的铁路客运量进行分析预测研究;[4]袁胜强应用改进灰色神经网络模型对甘肃省的铁路客运量进行分析预测;[5]仝哲运用回归分析法、指数曲线预测模型和组合预测模型对北京市春运铁路客运量进行分析预测。[6]
文章以我国铁路客运量为研究对象，基于组合预测模型研究我国铁路客运量发展趋势。首先，根据我国1999—2018年的铁路客运量时间序列图，选取描述我国铁路客运量发展趋势的数学模型;其次，构建二次曲线模型、二次曲线指数平滑预测模型和灰色预测模型，并对模型进行求解和检验模型的合理性;再次，综合二次曲线预测模型和二次曲线指数平滑预测模型，建立最优线性组合预测模型并检验合理性;最后，通过曲线拟合的方式对模型进行优良性分析，结果表明：所建模型合理有效，组合预测模型最优。
2 数据来源及其分析
借助中国统计年鉴[7]收集到我国1999—2018年的铁路客运量的年度数据，详见表1所示：
为了更清楚地了解1999—2018年我国铁路客运量的总体趋势，借助MATLAB软件，绘制中国铁路客运量时间序列图，结果见图1。
由图1可知，我国铁路客运量总体呈上升趋势。因此，可选取二次曲线模型、二次曲线指数平滑模型、灰色预测模型描述铁路客运量的发展趋势。
3 模型的建立与求解
3.1 二次曲线模型
二次曲线模型的一般式为：
y=bo+b1t+b2t2（1）
其中，t表示年份，y表示铁路客运量。
用最小二乘法估计二次曲线模型的未知参数bo，b1，b2，从而建立描述铁路客运量发展趋势的二次曲线模型为：
y=109532.817-4759.847t+792.315t2（2）
为了检验模型的合理性，绘制二次曲线模型拟合图，如图2所示。
从图2可以看出，铁路客运量实际值与模型值吻合程度较好，由此可用二次曲线模型描述铁路客运量的发展趋势。
3.2 二次曲线指数平滑模型
二次曲线指数平滑模型的形式为：
yt+m=At+Btm+12Ctm2（3）
式中：yt+m为第t+m时期我国铁路客运量的模型值;At为t时刻的水平值，Bt为t时刻的线性增量;Ct为t时刻的抛物线增量;m为第t期后的期数且m≥1是整数。
根据（3）可得到以下结果，如表2所示。
为了检验模型的合理性，绘制二次曲线指数模型拟合图，如图3所示。
从图3可以看出，实际值和模型值的吻合程度很高，所以可用二次曲线指数模型描述铁路客运量的发展趋势。
2.3 灰色预测模型
2.3.1 构建累加生成序列
X（1）={X（1）（1），X（1）（2），…X（1）（n）}={100164，205237，…，3465032.32}
2.3.2 构造数据矩阵B和数据向量yn
B=-152700.501-257794.50-3296532.3211，yn=105073105115337000
2.3.3 建立模型
白化微分方程为：
μ=dX（1）dt+aX（1）=dX（1）dt-0.0770X（1）=-894918.45（4）
白化微分方程的解为（时间响应方程）：
X︿（1）（t+1）=995082.45e0.0770t-894918.45（5）
2.3.4 修正模型
定义残差为：
e（0）（j）=X（1）（j）-X︿（1）（j）（6）
則有e（0）=[25375.71，19043.06，…，18604.01]
e（0）的累加生成序列为： e（0）=[25375.71，44418.77，…，145951.04] 利用e（1）建立相应的GM（1，1）模型为：
X︿（1）（t+1）=996394.40e0.0769t-896230.40+δ（t-1）4158.07e0.0455（t-1）（7）
其中，δ（t-1）=1，k≥20，k<2为修正系数。
2.4 组合预测模型
组合预测模型的一般形式为：
yt=a+b1y1t+…+bnynt（8）
其中，y1t，…，ynt为不同模型的模型值。
结合所建立的二次曲线模型、二次曲线指数模型可得到描述铁路客运量的发展趋势的组合预测模型为：
yt=617.1523+0.7738y1t+0.2245y2t（9）
其中，y1t为二次曲线模型的模型值，y2t为二次指数平滑的模型值。
3 模型合理性及优良性分析
为了更能直观地检验模型的合理性和优良性，绘制出四个模型的拟合效果比较图，如图4所示。
从图4可以看出，四个模型的模型值和实际值吻痕程度都很高，由此可说明所建立的模型较好地描述了我国铁路客运量的发展趋势。通过比较可知，组合预测模型的模型值与实际值的吻合程度最好，即运用组合预测模型描述我国铁路客运量的发展趋势更合适。
4 结论与建议
从结果可以看出我国铁路客运量呈上升的趋势， 为了应对客运量不断增长，更好地服务人们，让铁路交通运输健康地发展，提出建议。
（1）国家出台相关的政策，整体合理地规划铁路运输业的发展，合理地规划铁路路线。
（2）国家或者相关企业部门在利用已有铁路的基础上挖掘建设新的路线。
（3）私营铁路企业可以根据客运量不断增长的趋势，根据实际情况加大投资铁路的发展。
（4）相关部门全面优化客车开行方案，高峰期时，在保证正常运营的情况下，可适时增加客车开行数。
（5）相关部门建立完善自助式检售票服务的快速通道，满足旅客快速、便捷出行的需要。
参考文献：
[1]王晚香，刘文俭，李岩.基于灰色关联和多元回归预测的铁路客运需求分析及预测[J].大连交通大学学报，2019（1）：22-25.
[2]曹韩，许晓玲.基于ARIMA模型的中国铁路客运量研究[J].广西民族大学学报，2017（2）：85-89.
[3]王彬.基于灰色回归组合模型的铁路客运量预测研究[J].重庆理工大学学报：自然科学版，2017（11）：6.
[4] 张毅敏.线性与非线性的组合模型在铁路客运量预测中的应用研究[D].成都：西南交通大学，2014.
[5] 袁胜强. 改进灰色神经网络模型在甘肃省铁路客運量预测中的运用[D].兰州：兰州交通大学，2017.
[6] 仝哲，张炳江，李慧.关于春运铁路客运量预测模型的研究[J].北京信息科技大学学报：自然科学版，2016，31（3）：80-83.
[7]中国统计局.中国统计年鉴2018[R/OL].[2018-10-24].http：//www.stats.gov.cn/tjsj./tjcbw/201810/t20181024_1629505.html.
[基金项目]国家社会科学基金西部项目（项目编号：18XTJ002）;2019年度广西高校中青年教师科研基础能力提升项目（项目编号：2019KY0720）;贺州市2020年哲学社会科学规划研究课题（项目编号：GH2020YBA02）。
[作者简介]韦师（1984—），男，壮族，广西大化人，理学硕士，副教授，研究方向：概率论与数理统计、数学建模。