【摘要】区域对称性和奇偶性在积分学上有着重要的运用,常常可以使复杂的积分简单化,本文通过对常用的区域对称性和奇偶性进行介绍,加深对积分学的思考和理解。
　　 【关键词】不定积分 二重积分 三重积分 函数奇偶性 区域对称性
　　
　　 1.函数奇偶性在定积分上的应用(三角函数)。
　　 (1)当,即被积函数关于sinx,cosx是偶函数时,转化为
　　 (2)當,即被积函数关于cosx是奇函数时,转化为
　　 (2)当,即被积函数关于sinx是奇函数时,转化为
　　 例2、求
　　 解:=(被积函数关于sinx是奇函数)
　　 2.区域对称性和函数奇偶性在二重积分上的应用。
　　 2.1 对于具有奇偶性的一元函数在对称区间上的二重积分有如下结论。
　　 设在区域D上连续,D1为D在x≥0的部分,D2为D中的x≤0部分,D1与D2关于y轴对称。
　　 (1)若,则
　　 (2)若,则
　　 设在区域D上连续,D3为D在的部分,D4为D中的部分,D3与D4关于x轴对称。
　　 (1)若,则
　　 (2)若,则
　　 例3、设f(u)为u的连续的奇函数,D是由y=x3,x=-1,y=1围成的平面闭区域,求积分。
　　 解:作出区域D,添加辅助线,再连同x轴、y轴将D划分为4块,从右往左分别记为Ω1, Ω2, Ω3, Ω4
　　 由于y2为y的偶函数,也是x的偶函数,所以
　　 而为x的奇函数,也是y的奇函数,区域对称于y轴,对称于x轴,所以
　　 2.2 关于轮换对称的二重积分。
　　 设在区域D1上连续,将D1中的x与y互换得到的区域记为D2,则有。
　　 例4、设连续且恒不为零,求
　　 解:由于区域中将x与y互换D不变,所以
　　 3.区域对称性和函数奇偶性在三重积分上的应用。
　　 3.1 若积分区域V关于某坐标平面对称,则就应注意被积函数关于第三个变量的奇偶性。
　　 当V关于平面Oyz对称时
　　 若,则
　　 若,则
　　 例5、计算三重积分,其中
　　 解:由题意可求出的轮廓线在平面上的投影方程为
　　 由于Ω对称于yOz平面,被积函数x为关于x的奇函数,故
　　 从而
　　 容易看出,上述积分用极坐标做方便,则
　　 3.2 若积分区域V既关于Oxz,又关于坐标平面Oyz对称,则此时应同时考虑关于y与关于x的奇偶性,同理可简化三重积分。
　　 例6、设空间区域,, ,则根据积分区域Ω的对称性及被积函数的奇偶性立即推得, , 。
　　 3.3 轮换对称性。
　　 设将区域V中的x换为y,y换为z,z换为x所得到区域不变,并设在V上连续,则有
　　 例7、设有空间区域及,则( )
　　 A. B.
　　 C. D.
　　 解:Ω1既对称于yOz平面,又对称于zOx平面,被积函数z既是的x偶函数又是y的偶函数,所以
　　 又因在第一卦限内,轮换对称,所以有
　　 而A、B、D的左边均为0而右边皆为正,故选C。
　　 4.区域对称性和函数奇偶性在曲面积分上的应用。第二类曲面积分中,曲面有方向,从而有符号,不能套用二重积分中奇偶性与对称性的规则,应先化到二重积分再来看,若直接用第二型曲面积分区看,十分容易出错。
　　 例8、设曲面,向上,则下述第二型曲面积分不等于零的是( )
　　 A.B.C.D.
　　 解:对于A,应将S分成前后两块,分别投影到yOz平面上去,投影域,
　　 对于B,Dyz同上
　　 故选B。
　　
　　参考文献
　　1 卲剑、李大侃.高等数学专题梳理与解读[M].同济大学出版社,2008
　　2 王式安等.考研数学标准全书[M].对外经贸大学出版社, 2008
　　3 马菊霞、吴云天.高等数学[M].国防工业出版社,2007