论文部分内容阅读
数学学科在高考中处于十分重要的地位，只要数学考不好，往往就进不了理想大学，甚至考不上大学，这一点是毋庸置疑的.那么，如何提高数学成绩呢？老师认为除了认真复习准备迎考外，还要向解题规范要分数.解题规范是数学成绩得高分的前提与基础.下面就以同学们在平时训练中出现的问题而得不到分加以说明，希望对同学们在以后的考试中有所帮助.
一、集合的对象属性描述不准确导致的失分
例1把集合M={（x，y）|x y=2x-y=4}改用列举法表示为.
错解：因为解方程x y=2x-y=4得x=3y=-1，所以本题答案为{x=3，y=-1}，有的学生还写成{3，-1}.
剖析：因为集合M中的代表元素为（x，y），则M中的元素是有序实数对，而上述答案{x=3，y=-1}中集合的元素是等式，集合{3，-1}中元素是数，正确答案应为{（3，-1）}.
二、定义域、值域、不等式的解集没有写成集合的形式导致的失分
例2填空题：
（1）求已知函数y=12x-16 lg（3-4x x2）的定义域为；
（2）求函数y=x 1-2x的值域为；
（3）求不等式x-1x≥2的解集为.
错解：（1）由题意知2x-16≠03-4x x2>0，
解得x≠4x<1或x>3，所以原函数定义域为：x<1或34.
（2）设1-2x=t，t≥0则x=1-t22，所以原函数可转换成y=1-t22 t=-t22 t 12，t≥0，由二次函数的图象可知值域为y≤1.
（3）原不等式经过移项通分可化为-x-1x≥0即x 1x≤0，则解集为-1≤x<0.
剖析：上述三题的解题思路都是正确的，最后一步，也是关键的一步出现了问题.我们知道函数的定义域，值域及不等式的解集都需要写成集合（或区间）的形式，所以上述三题的最终答案形式都不对，即答案结果书写不规范，这种不规范导致得不到分数很可惜.正确答案应该写成：（1）{x|x<1或34}；（2）{y|y≤1}；（3）{x|-1≤x<0}.
三、作图随意、不准确、不规范导致的失分
例3求方程sinx=x根的个数.
错解：在同一直角坐标系中作出函数y=sinx与y=x的图象，如图1所示，所以方程sinx=x根的个数是3个.
剖析：此题错在作图不准确、不规范.因为在（0， ∞）内，sinx 四、以偏概全导致的失分
例4已知数列{an}满足a1=1，an 1=2an 1，求an.
错解：由递推关系可算出a2=3=22-1，a3=7=23-1，a4=15=24-1，则an=2n-1.
剖析：上述解法由数列前n项的规律得出数列{an}的通项公式.属于不完全归纳，不能作为求数列通项公式的方法还应用数学归纳法证明.此时应考虑用其他方法求数列的通项公式，比如构造新数列法，由条件an 1=2an 1得an 1 1=2（an 1），即an 1 1an 1=2，所以新数列{an 1}是以首项a1 1=2公比为2的等比数列，则由公式得an 1=2×2n-1=2n，即an=2n-1.
五、利用基本不等式解题时忽视等号成立的条件导致的失分
例5已知x≠kπ，k∈Z，求函数f（x）=sin2x 2sin2x的最小值.
错解：因为f（x）=sin2x 2sin2x≥2sin2x×2sin2x=22.所以，f（x）的最小值为22.
剖析：在上面f（x）≥22中，以为得到了最小值22，实际上等号成立的条件没有规范的书写出来，从而出现解题错误.错解中等号成立的条件是sin2x=2sin2x，即sin4=2，由-1≤sinx≤1可知，这是不可能的.因而在上述求解中，等号不可能成立，所以22不是函数的最小值.此时应想到勾函数的单调性.令sin2x=t，则t∈（0，1]，函数可以转化为求勾函数y=t 2t，t∈（0，1]上的最小值.因为该函数在t∈（0，1]时是减函数，所以ymin=1 21=3.此时x=kπ π2，k∈Z.所以f（x）的最小值为3.
例6若x>0，y>0，且满足4x 16y=1，求x y的最小值.
错解：因为1=4x 16y≥24x×16y=16xy，所以xy≥16.又因为x y≥2xy≥32，
所以x y得最小值为32.
剖析：上述解答过程中用了两次基本不等式，我们应该考虑这两次等号能否同时成立.其中一处等号成立的条件为4x=16y4x 16y=1，即x=8且y=32时取到等号，而另一处等号成立的条件为x=y4x 16y=1，即x=20且y=20时取到等号.这两处等号不能同时取到.所以32不是函数的最小值.此时应考虑用其他方法解决问题，比如乘“1”法.因为x y=（x y）（4x 16y）=4yx 16xy 20≥24yx×16xy 20=36，当且仅当4yx=16xy，即x=12且y=24时取到等号，所以x y的最小值是36.
六、立体几何证明题中的“跳步”导致的失分
例7在三棱柱ABCA′B′C′中，点E，D分别是B′C′与BC的中点.
求证：平面A′EB∥平面ADC′.
错解：E，D分别是B′C′与BC的中点BD∥C′E且BD=C′E
四边形DBEC′为平行四边形
C′D∥BEC′D∥平面A′EB.
同理可得AD∥平面A′EB 平面A′EB∥平面ADC′.
剖析：立体几何的证明，除了考同学们的空间想象力外，还要考同学们的逻辑推理能力.本题要证明面面平行，问题转化到证明线面平行，而线面平行又转化到证明线线平行.这个证明的思路是正确的，但解题过程不规范.在具体证明线面平行、面面平行时，可由线面平行的判定定理和面面平行的判定定理得到，但条件不止一个.这种判定定理成立的条件写得不全面导致的扣分很可惜.但这方面失分在同学们身上经常发生，要引起同学们的注意.
正确的过程应为：
E，D分别是B′C′与BC的中点BD∥C′E且BD=C′E
四边形DBEC′为平行四边形C′D∥BE
BE平面A′EB
C′D平面A′EB
C′D∥平面A′EB
同理可得AD∥平面A′EB
C′D∩AD=D
C′D、AD平面ADC′平面A′EB∥平面ADC′.
七、轨迹问题漏掉了x或y的限制范围导致的失分
例8等腰三角形的两腰的交点是A（4，2），底边一个端点是B（3，5），求它的底边另一端点C的轨迹方程.
错解1：设动点C（x，y），
因为|AB|=（4-3）2 （2-5）2=10，又因为|AC|=|AB|，所以动点C的轨迹方程是（x-4）2 （y-2）2=10.
错解2：动点C的轨迹方程是（x-4）2 （y-2）2=10（x≠3且y≠5）.
剖析：上述解法前面几步都是正确的，最后一步也是关键的一步，出现了不规范.错解1漏掉了A、B、C三点能构成三角形的限制条件.错解2考虑B、C两点不能重合，同样没有考虑到A、B、C三点能构成三角形的限制条件.正确的结论为：动点C的轨迹方程是（x-4）2 （y-2）2=10x≠3y≠5且x≠5y≠-1.
八、没有分类讨论导致的失分
例9已知函数f（x）=loga（x 1）-loga（1-x）（a>0，a≠1），求使f（x）>0的x的取值范围.
错解：由题意知函数定义域为x 1>01-x>0即{x|-10，即loga（x 1）>loga（1-x），所以x 1>1-x即x>0，结合定义域可知f（x）>0的x的取值范围为0 剖析：上述解题过程中由loga（x 1）>loga（1-x）得到x 1>1-x这一步有漏洞.因为解对数不等式时需要用到对数函数的单调性，即要对底数a进行讨论，因此正确的过程应为（1）当01时x 1>1-x即x>0，结合定义域可知f（x）>0的x的取值范围为：当01时0 九、数学问题转换不等价导致的失分
例10已知cos2α cos2β 2sinα 2sinβ=0，求t=sinα sinβ的取值范围.
错解：观察题目所给的式子特点，发现可以先把式子cos2α cos2β 2sinα 2sinβ=0变形为（sinα-1）2 （sinβ-1）2=4.再令u=sinα，v=sinβ，则点（u，v）对应的轨迹是以（1，1）为圆心，2为半径的圆.函数t=u v与之有交点，如下图1.很容易求出在v轴上截距t的取值范围为[2-22，2 22].
剖析：此题在设u=sinα，v=sinβ时，解题过程出现了不同解的现象，忽视了u、v的取值范围，即-1≤u≤1，-1≤v≤1.从而导致结合图象思考问题时出现错误.正确的图形应为一段圆弧，如下图2的实线部分.函数t=u v的图象与之有交点.直线v=-u t在v轴上的截距t的取值范围为[2-22，0].
十、数列中的“对而不全，会而不对”导致的失分
例11已知数列{an}的前n项和Sn满足log2（Sn 1）=n 1，求数列{an}的通项公式.
错解：由题意得Sn=2n 1-1，所以Sn-1=2n-1，则通项公式an=Sn-Sn-1=2n.
剖析：上述解法没有注意到利用Sn求an时，必须要注意an=Sn-Sn-1的条件是n≥2的限制，否则会出现上述做法中的“会而不对”的现象.事实上，当n=1时，a1=S1=22-1=3，不满足an=2n.所以an=3，n=12n，n≥2.
例12已知数列{an}的前n项和Sn，a1=1，an 1=n 2nSn（n∈N*），求证：
（1）数列{Snn}为等比数列；
（2）Sn 1=4an.
错解：（1）因为an 1=Sn 1-Sn=n 2nSn，所以Sn 1n 1=2×Snn，即Sn 1n 1Snn=2，所以数列{Snn}是公比为2的等比数列.
（2）因为Sn 1n 1=2×Snn=2×2×Sn-1n-1=4×Sn-1n-1，所以Sn 1=4（n 1）n-1Sn-1=4an.
剖析：上述解法忽视了Sn-1中的n的限制，导致解题过程“对而不全”.实际上，当n≥2时，有Sn 1n 1=4×Sn-1n-1，即Sn 1=4（n 1）n-1Sn-1=4an.当n=1时，由于a2=3S1=3a1=3，S2=a1 a2=1 3=4=4a1满足上式，所以对n∈N*都有Sn 1=4an.
（作者：黄雨、催国玉、高友华，盐城市龙冈中学）
一、集合的对象属性描述不准确导致的失分
例1把集合M={（x，y）|x y=2x-y=4}改用列举法表示为.
错解：因为解方程x y=2x-y=4得x=3y=-1，所以本题答案为{x=3，y=-1}，有的学生还写成{3，-1}.
剖析：因为集合M中的代表元素为（x，y），则M中的元素是有序实数对，而上述答案{x=3，y=-1}中集合的元素是等式，集合{3，-1}中元素是数，正确答案应为{（3，-1）}.
二、定义域、值域、不等式的解集没有写成集合的形式导致的失分
例2填空题：
（1）求已知函数y=12x-16 lg（3-4x x2）的定义域为；
（2）求函数y=x 1-2x的值域为；
（3）求不等式x-1x≥2的解集为.
错解：（1）由题意知2x-16≠03-4x x2>0，
解得x≠4x<1或x>3，所以原函数定义域为：x<1或3
（2）设1-2x=t，t≥0则x=1-t22，所以原函数可转换成y=1-t22 t=-t22 t 12，t≥0，由二次函数的图象可知值域为y≤1.
（3）原不等式经过移项通分可化为-x-1x≥0即x 1x≤0，则解集为-1≤x<0.
剖析：上述三题的解题思路都是正确的，最后一步，也是关键的一步出现了问题.我们知道函数的定义域，值域及不等式的解集都需要写成集合（或区间）的形式，所以上述三题的最终答案形式都不对，即答案结果书写不规范，这种不规范导致得不到分数很可惜.正确答案应该写成：（1）{x|x<1或3
三、作图随意、不准确、不规范导致的失分
例3求方程sinx=x根的个数.
错解：在同一直角坐标系中作出函数y=sinx与y=x的图象，如图1所示，所以方程sinx=x根的个数是3个.
剖析：此题错在作图不准确、不规范.因为在（0， ∞）内，sinx
例4已知数列{an}满足a1=1，an 1=2an 1，求an.
错解：由递推关系可算出a2=3=22-1，a3=7=23-1，a4=15=24-1，则an=2n-1.
剖析：上述解法由数列前n项的规律得出数列{an}的通项公式.属于不完全归纳，不能作为求数列通项公式的方法还应用数学归纳法证明.此时应考虑用其他方法求数列的通项公式，比如构造新数列法，由条件an 1=2an 1得an 1 1=2（an 1），即an 1 1an 1=2，所以新数列{an 1}是以首项a1 1=2公比为2的等比数列，则由公式得an 1=2×2n-1=2n，即an=2n-1.
五、利用基本不等式解题时忽视等号成立的条件导致的失分
例5已知x≠kπ，k∈Z，求函数f（x）=sin2x 2sin2x的最小值.
错解：因为f（x）=sin2x 2sin2x≥2sin2x×2sin2x=22.所以，f（x）的最小值为22.
剖析：在上面f（x）≥22中，以为得到了最小值22，实际上等号成立的条件没有规范的书写出来，从而出现解题错误.错解中等号成立的条件是sin2x=2sin2x，即sin4=2，由-1≤sinx≤1可知，这是不可能的.因而在上述求解中，等号不可能成立，所以22不是函数的最小值.此时应想到勾函数的单调性.令sin2x=t，则t∈（0，1]，函数可以转化为求勾函数y=t 2t，t∈（0，1]上的最小值.因为该函数在t∈（0，1]时是减函数，所以ymin=1 21=3.此时x=kπ π2，k∈Z.所以f（x）的最小值为3.
例6若x>0，y>0，且满足4x 16y=1，求x y的最小值.
错解：因为1=4x 16y≥24x×16y=16xy，所以xy≥16.又因为x y≥2xy≥32，
所以x y得最小值为32.
剖析：上述解答过程中用了两次基本不等式，我们应该考虑这两次等号能否同时成立.其中一处等号成立的条件为4x=16y4x 16y=1，即x=8且y=32时取到等号，而另一处等号成立的条件为x=y4x 16y=1，即x=20且y=20时取到等号.这两处等号不能同时取到.所以32不是函数的最小值.此时应考虑用其他方法解决问题，比如乘“1”法.因为x y=（x y）（4x 16y）=4yx 16xy 20≥24yx×16xy 20=36，当且仅当4yx=16xy，即x=12且y=24时取到等号，所以x y的最小值是36.
六、立体几何证明题中的“跳步”导致的失分
例7在三棱柱ABCA′B′C′中，点E，D分别是B′C′与BC的中点.
求证：平面A′EB∥平面ADC′.
错解：E，D分别是B′C′与BC的中点BD∥C′E且BD=C′E
四边形DBEC′为平行四边形
C′D∥BEC′D∥平面A′EB.
同理可得AD∥平面A′EB 平面A′EB∥平面ADC′.
剖析：立体几何的证明，除了考同学们的空间想象力外，还要考同学们的逻辑推理能力.本题要证明面面平行，问题转化到证明线面平行，而线面平行又转化到证明线线平行.这个证明的思路是正确的，但解题过程不规范.在具体证明线面平行、面面平行时，可由线面平行的判定定理和面面平行的判定定理得到，但条件不止一个.这种判定定理成立的条件写得不全面导致的扣分很可惜.但这方面失分在同学们身上经常发生，要引起同学们的注意.
正确的过程应为：
E，D分别是B′C′与BC的中点BD∥C′E且BD=C′E
四边形DBEC′为平行四边形C′D∥BE
BE平面A′EB
C′D平面A′EB
C′D∥平面A′EB
同理可得AD∥平面A′EB
C′D∩AD=D
C′D、AD平面ADC′平面A′EB∥平面ADC′.
七、轨迹问题漏掉了x或y的限制范围导致的失分
例8等腰三角形的两腰的交点是A（4，2），底边一个端点是B（3，5），求它的底边另一端点C的轨迹方程.
错解1：设动点C（x，y），
因为|AB|=（4-3）2 （2-5）2=10，又因为|AC|=|AB|，所以动点C的轨迹方程是（x-4）2 （y-2）2=10.
错解2：动点C的轨迹方程是（x-4）2 （y-2）2=10（x≠3且y≠5）.
剖析：上述解法前面几步都是正确的，最后一步也是关键的一步，出现了不规范.错解1漏掉了A、B、C三点能构成三角形的限制条件.错解2考虑B、C两点不能重合，同样没有考虑到A、B、C三点能构成三角形的限制条件.正确的结论为：动点C的轨迹方程是（x-4）2 （y-2）2=10x≠3y≠5且x≠5y≠-1.
八、没有分类讨论导致的失分
例9已知函数f（x）=loga（x 1）-loga（1-x）（a>0，a≠1），求使f（x）>0的x的取值范围.
错解：由题意知函数定义域为x 1>01-x>0即{x|-1
例10已知cos2α cos2β 2sinα 2sinβ=0，求t=sinα sinβ的取值范围.
错解：观察题目所给的式子特点，发现可以先把式子cos2α cos2β 2sinα 2sinβ=0变形为（sinα-1）2 （sinβ-1）2=4.再令u=sinα，v=sinβ，则点（u，v）对应的轨迹是以（1，1）为圆心，2为半径的圆.函数t=u v与之有交点，如下图1.很容易求出在v轴上截距t的取值范围为[2-22，2 22].
剖析：此题在设u=sinα，v=sinβ时，解题过程出现了不同解的现象，忽视了u、v的取值范围，即-1≤u≤1，-1≤v≤1.从而导致结合图象思考问题时出现错误.正确的图形应为一段圆弧，如下图2的实线部分.函数t=u v的图象与之有交点.直线v=-u t在v轴上的截距t的取值范围为[2-22，0].
十、数列中的“对而不全，会而不对”导致的失分
例11已知数列{an}的前n项和Sn满足log2（Sn 1）=n 1，求数列{an}的通项公式.
错解：由题意得Sn=2n 1-1，所以Sn-1=2n-1，则通项公式an=Sn-Sn-1=2n.
剖析：上述解法没有注意到利用Sn求an时，必须要注意an=Sn-Sn-1的条件是n≥2的限制，否则会出现上述做法中的“会而不对”的现象.事实上，当n=1时，a1=S1=22-1=3，不满足an=2n.所以an=3，n=12n，n≥2.
例12已知数列{an}的前n项和Sn，a1=1，an 1=n 2nSn（n∈N*），求证：
（1）数列{Snn}为等比数列；
（2）Sn 1=4an.
错解：（1）因为an 1=Sn 1-Sn=n 2nSn，所以Sn 1n 1=2×Snn，即Sn 1n 1Snn=2，所以数列{Snn}是公比为2的等比数列.
（2）因为Sn 1n 1=2×Snn=2×2×Sn-1n-1=4×Sn-1n-1，所以Sn 1=4（n 1）n-1Sn-1=4an.
剖析：上述解法忽视了Sn-1中的n的限制，导致解题过程“对而不全”.实际上，当n≥2时，有Sn 1n 1=4×Sn-1n-1，即Sn 1=4（n 1）n-1Sn-1=4an.当n=1时，由于a2=3S1=3a1=3，S2=a1 a2=1 3=4=4a1满足上式，所以对n∈N*都有Sn 1=4an.
（作者：黄雨、催国玉、高友华，盐城市龙冈中学）