论文部分内容阅读
【摘要】通过对典型例题解法的挖掘，培养学生全方位、多角度、多层面研究和分析问题的能力。逐步形成思维的敏捷性和发散性。
【关键词】距离；方法；转化
【中图分类号】G632.479【文献标识码】B【文章编号】1005-1074(2008)07-0143-02
点到平面的距离是立体几何的学习过程中一个基本问题，也是近几年高考考查的热点问题。本文对立体几何中“距离”这一典型问题，结合课本中的概念、性质、习题，总结出解点到平面距离的几种方法，以培养和启迪学生形成发散思维的能力。
例：已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。
分析：解决这个问题可以考虑运用几何法或代数法。
1几何法
1.1直接法首先作出所求的距离并求其长。
解法1：如图1，为了作出点B到EFG的距离，延长FE交CB的延长线于M，连结GM，作BN⊥BC，交GM于N，则有BN∥CG，BN⊥平面ABCD，作BP⊥EM，交EM于P，易证平面BPN⊥平面EFG，作BQ⊥PN，垂足为Q，则BQ⊥平面EFG，于是BQ是点到平面EFG的距离，易知BN= 23BP=2，PN= BP2+BN2=223，由BQ·PN=PB·BN得
BQ= 21111
1.2间接法不直接作出所求的距离，通过距离转化而间接求出。
1.2.1转化为直线到平面的距离
解法2：如图2所示，易证，BD∥平面EFG，所以BD上任意一点到平面EFG的距离即为所求。取BD中点O即对角线AC与BD的交点，设AC交EF于H，易证GHC⊥平面EFG，作OK⊥HG，K为垂足，则OK为所求，易得：OK= 21111
1.2.2利用斜线和平面所成的角转化
如图3，OP为平面α的一条斜线，A∈OP，OA=l,OP与α所成的角为θ，A到平面α的距离为d，则由斜线和平面所成的角的定义可知，d=lsinθ。
解法3：如图4，设M为FE与CB延长线的交点，作BR⊥GM，R为垂足，又GM⊥EB，易得平面
BER⊥平面EFG，ER为它们的交线，所以∠REB就是EB与平面EFG所成的角θ.由 △MRB∽△MCG ，可得 BR=210， Rt△REB中，∠B=90°， BR=210，EB=2，所以
sinθ=BRER=1111
故所求距离 d=21111
1.2.3利用二面角的平面角转化（课本55页练习中第4题）
如图5，二面角M-CD-N的大小为α，A∈M，
AB⊥CD，AB=a，点A到平面N的距离AO=d，则有d=a sinα①
解法4：
如图6，过B作BP⊥EF，交FE的
延长线于P，易知BP= 2，这就是点B到二面角C-EF-G的棱EF的距离，连结AC交
EF于H，连结GH，易证∠GHC就是二面角C-EF-G的平面角，∵GC=2，AC= 42，AH= 2，
∴CH= 32，GH= 22，sin∠HGC= 222,于是由①得所求之距离d=BP·sin∠GHC= 2·222=21111，解略。
1.2.4利用等积法转化
解法5：如图7，设点B到平面EFG的距离为d，则三棱锥B-EFG的体积为 V=13S△EFG·d，另一方面又可得这个三棱锥的体积V=13S△FEB·CG，可求得 S△FEB=14S△DAB=2，S△EFG=211,∴ 13·211·d=13·2·2得d=21111
2代数法
由题设可知：CB、CD、CG相互垂直，由此可建立空间直角坐标系，用向量法坐标运算求解。
2.1利用四点共面求解
解法6：如图8，CD、CB、CG为x、y、z轴建立坐标系C-xyz，则C（0，0，0）、B（0，4，0）、E（2，4，0）、F（4，2，0）、G（0，0，2），∴ BE=（2，2，0）、BF=（4，-2，0）、BG=（0，-4，2）、GE=（2，4，-2）、EF=（2，-2，0）(*)
设向量 BM⊥平面GEF，垂足是M，则M、G、E、F四点共面，故存在实数a、b、c，使 BM=aBE+bBF+cBG=(2a+4b,-2b-4c,2c),由 BM⊥平面GEF，所以 BM·GE=0BM·EF=0
即：(2a+4b,-2b-4c,2c)·(2,4,-2)=0
(2a+4b,-2b-4c,2c)·(2,-2,0)=0
整理得：
a-5c=0
a+3b+2c=0
a+b+c=1
解之得a=511,b=-711,c=311
∴BM=(211,211,611)
BM =(211)2+(211)2+(611)2=21111
所以，点B到平面GEF的距离为 21111
2.2利用法向量求解解法7：(*)以上同解法6，设平面GEF的法向理为 n=(x,y,z)
则，n·EF=(x,y,z)·(2,-2,0)=0
n·GE= (x,y,z)·(2,4,-2)=0
整理得 x-y=0
x+2y-z=0x=1得y=1,z=3,∴ n=(1,1,3)
故B到平面GEF的距离d=n·BEN=211=21111
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】距离；方法；转化
【中图分类号】G632.479【文献标识码】B【文章编号】1005-1074(2008)07-0143-02
点到平面的距离是立体几何的学习过程中一个基本问题，也是近几年高考考查的热点问题。本文对立体几何中“距离”这一典型问题，结合课本中的概念、性质、习题，总结出解点到平面距离的几种方法，以培养和启迪学生形成发散思维的能力。
例：已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。
分析：解决这个问题可以考虑运用几何法或代数法。
1几何法
1.1直接法首先作出所求的距离并求其长。
解法1：如图1，为了作出点B到EFG的距离，延长FE交CB的延长线于M，连结GM，作BN⊥BC，交GM于N，则有BN∥CG，BN⊥平面ABCD，作BP⊥EM，交EM于P，易证平面BPN⊥平面EFG，作BQ⊥PN，垂足为Q，则BQ⊥平面EFG，于是BQ是点到平面EFG的距离，易知BN= 23BP=2，PN= BP2+BN2=223，由BQ·PN=PB·BN得
BQ= 21111
1.2间接法不直接作出所求的距离，通过距离转化而间接求出。
1.2.1转化为直线到平面的距离
解法2：如图2所示，易证，BD∥平面EFG，所以BD上任意一点到平面EFG的距离即为所求。取BD中点O即对角线AC与BD的交点，设AC交EF于H，易证GHC⊥平面EFG，作OK⊥HG，K为垂足，则OK为所求，易得：OK= 21111
1.2.2利用斜线和平面所成的角转化
如图3，OP为平面α的一条斜线，A∈OP，OA=l,OP与α所成的角为θ，A到平面α的距离为d，则由斜线和平面所成的角的定义可知，d=lsinθ。
解法3：如图4，设M为FE与CB延长线的交点，作BR⊥GM，R为垂足，又GM⊥EB，易得平面
BER⊥平面EFG，ER为它们的交线，所以∠REB就是EB与平面EFG所成的角θ.由 △MRB∽△MCG ，可得 BR=210， Rt△REB中，∠B=90°， BR=210，EB=2，所以
sinθ=BRER=1111
故所求距离 d=21111
1.2.3利用二面角的平面角转化（课本55页练习中第4题）
如图5，二面角M-CD-N的大小为α，A∈M，
AB⊥CD，AB=a，点A到平面N的距离AO=d，则有d=a sinα①
解法4：
如图6，过B作BP⊥EF，交FE的
延长线于P，易知BP= 2，这就是点B到二面角C-EF-G的棱EF的距离，连结AC交
EF于H，连结GH，易证∠GHC就是二面角C-EF-G的平面角，∵GC=2，AC= 42，AH= 2，
∴CH= 32，GH= 22，sin∠HGC= 222,于是由①得所求之距离d=BP·sin∠GHC= 2·222=21111，解略。
1.2.4利用等积法转化
解法5：如图7，设点B到平面EFG的距离为d，则三棱锥B-EFG的体积为 V=13S△EFG·d，另一方面又可得这个三棱锥的体积V=13S△FEB·CG，可求得 S△FEB=14S△DAB=2，S△EFG=211,∴ 13·211·d=13·2·2得d=21111
2代数法
由题设可知：CB、CD、CG相互垂直，由此可建立空间直角坐标系，用向量法坐标运算求解。
2.1利用四点共面求解
解法6：如图8，CD、CB、CG为x、y、z轴建立坐标系C-xyz，则C（0，0，0）、B（0，4，0）、E（2，4，0）、F（4，2，0）、G（0，0，2），∴ BE=（2，2，0）、BF=（4，-2，0）、BG=（0，-4，2）、GE=（2，4，-2）、EF=（2，-2，0）(*)
设向量 BM⊥平面GEF，垂足是M，则M、G、E、F四点共面，故存在实数a、b、c，使 BM=aBE+bBF+cBG=(2a+4b,-2b-4c,2c),由 BM⊥平面GEF，所以 BM·GE=0BM·EF=0
即：(2a+4b,-2b-4c,2c)·(2,4,-2)=0
(2a+4b,-2b-4c,2c)·(2,-2,0)=0
整理得：
a-5c=0
a+3b+2c=0
a+b+c=1
解之得a=511,b=-711,c=311
∴BM=(211,211,611)
BM =(211)2+(211)2+(611)2=21111
所以，点B到平面GEF的距离为 21111
2.2利用法向量求解解法7：(*)以上同解法6，设平面GEF的法向理为 n=(x,y,z)
则，n·EF=(x,y,z)·(2,-2,0)=0
n·GE= (x,y,z)·(2,4,-2)=0
整理得 x-y=0
x+2y-z=0x=1得y=1,z=3,∴ n=(1,1,3)
故B到平面GEF的距离d=n·BEN=211=21111
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”