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磁极、电流、变化的电场周围都可以产生磁场，磁场对放入其中的磁极、电流（本质是运动电荷）有力的作用.磁场对电流的磁场力称为安培力，对运动电荷的磁场力称为洛伦兹力.磁感线是形象描述磁场的不相交的封闭的假想的曲线.
关于粒子的运动
带电粒子在磁场中运动时，可能会受到洛伦兹力的作用，其大小跟速度与磁场方向的夹角有关．当带电粒子的速度与磁场方向夹角为[θ]时，有[F洛=qvBsinθ]，洛伦兹力的方向垂直于速度[v]和磁感应强度[B]所决定的平面.注意[θ=0]时[F洛=0]和[θ=π2]时[F洛=qvB]两种特殊情况. 无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力均与速度垂直，都不做功．洛伦兹力的方向用左手定则判断.
一、直线运动
若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子不受洛伦兹力，做匀速直线运动.如果有其他力存在，但只要垂直于运动方向的合力为0，也可以做直线运动．
例1 如图1，带电量为[+q]、质量为[m]的小球从倾角为[θ]的光滑的足够长的斜面上由静止下滑，匀强磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度为[B]. 求小球在斜面上滑行的最大速度及最大距离.
解析 小球沿光滑斜面下滑时，受力如图2，有
[FN+Bqv=mgcosθ].
当[FN]=0时，小球离开斜面.此时小球速度最大，[vm=mgcosθqB].
小球在斜面上运动时，所受合外力[∑F=mgsinθ]，根据牛顿第二定律，可得小球的加速度[a=gsinθ].又因小球的初速度[v0=0]，据匀变速直线运动的公式，可得最大距离[lm=m2gcos2θ2q2B2sinθ]
点拨 本例洛伦兹力的变化只影响弹力，因斜面光滑，不存在摩擦力，对沿斜面方向的运动没有影响.因而在沿斜面的运动方向上加速度不变，做匀变速直线运动.如果斜面不光滑，则不一样.洛伦兹力的变化所引起的弹力的减小还将进一步引起摩擦力减小，导致加速度变大，小球将做加速度变大的变加速运动.
例2 如图3，质量是[m]的小球带有正电荷，电荷量为[q]，小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上．杆与水平方向成夹角[θ]，与球之间的动摩擦因数为[μ]，此装置放在沿水平方向、磁感应强度为[B]的匀强磁场中．若从高处将小球无初速释放，讨论小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值．
解析 先分析带电小球的受力，如图4甲，在释放点[a]处，由于初速度为零，不受洛伦兹力.随着小球的加速运动，产生大小逐渐增加、方向垂直细杆斜向上的洛伦兹力，在[b]处为一般情况，有
[∑Fx=mgsinθ-Ff=ma∑Fy=FN+F洛-mgcosθ=0Ff=μFN]
[c]处洛伦兹力与重力在垂直细杆方向的分力平衡，不受弹力，从而不受摩擦力，则加速度最大，有[am=gsinθ,]这样小球从[a]到[c]做加速度增大的加速运动.
[甲乙]
图4
随着小球的继续加速，洛伦兹力继续增大，小球受到的弹力将反向，变为垂直于细杆斜向下，这时又恢复了摩擦力，且逐渐增大，使小球的加速度逐渐减小.当摩擦力[Ff]与重力沿斜面方向的分力平衡时，小球的加速运动结束，将做匀速直线运动，速度也达到最大值，如图中[d]位置，有
[∑Fx=mgsinθ-F′f=ma=0∑Fy=F′N-F洛+mgcosθ=0F′f=μF′N]
则[F′N+mgcosθ=Bqvm,][F′f=mgsinθ,]得
[vm=mgqBsinθμ+cosθ.]
从[c]到[d]，小球做加速度减小的加速运动，在[d]之后做匀速运动. 小球的[v-t]图象如4乙.
二、匀速圆周运动
带电粒子在匀强磁场中常常不计重力，它的运动一般有三种情况：一是当带电粒子的运动方向与磁场方向平行时，做匀速直线运动；二是当带电粒子的运动方向与匀强磁场方向垂直时，做匀速圆周运动；三是当带电粒子既不垂直也不平行射入匀强磁场时，沿磁感线方向不受力，做匀速直线运动，垂直于磁场方向受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，合运动为螺旋运动.
在匀速圆周运动中，通常注意以下两个方面.
1．受力：洛伦兹力提供向心力，沿半径方向建立坐标系，列牛顿第二定律关系.
质量为[m]、电荷量为[q]的带电粒子以初速度[v]垂直进入匀强磁场[B]中做匀速圆周运动，其角速度为[ω]，轨道半径为[R]，运动的周期为[T]，有
[qvB＝mv2R]， 得到[R＝mvqB]
[T＝2πmqB](与[v、R]无关)
2．几何关系：找出几何特点，通过几何作图确定三个点，即进场点、出场点和圆心，画出轨迹，再列勾股定理或三角函数关系式.
（1）轨道半径的确定
利用半径方向垂直于速度找出半径，大小直接运用公式[R＝mvqB]，或画出几何图形，利用半径[R]与长度的几何关系确定．有一个重要的几何特点：粒子速度的偏向角[φ]等于对应轨迹圆弧的圆心角[α]，并等于弦切角[θ]的2倍，如图5．
（2）圆心的确定
半径的交点即为圆心，如图6甲；由于洛伦兹力[F]指向圆心，若已知任意两点（一般为入射点和出射点）的速度方向，根据[F⊥v]，作出两点速度方向的垂线，交点即为圆心，如图6乙；圆心位置在任意一条弦的中垂线上，若已知轨迹上的两点及其中一点的速度方向，则作出两点的中垂线，它与速度垂线的交点即为圆心，如图10-6丙．
（3）运动时间的确定
直接运用公式[T＝2πmqB]，或利用周期[T]与时间[t]的关系来确定．即[t＝α360°⋅T]，或[t＝α2π⋅T]（粒子在时间[t]内通过的圆弧所对应的圆心角为[α]）.
如图7，粒子的偏转角[sinθ=LR]，侧移量[y]满足方程[R2=][L2-(R-y)2]，经历的时间[t=mθBq].
例3 在真空中半径[r=2×10-2m]的圆形区域内有一匀强磁场，磁感应强度[B=0.3T]，方向如图8，在[O]处有一放射源[S]，可沿纸面向各个方向射出速率均为[v0=1.2×106m/s]的带正电的粒子.已知该粒子的比荷[qm=1×108C/kg]，不计粒子重力，求粒子在磁场中运动的最长时间.
解析 由[t=θ2π×T]可知，在比荷一定时，若[α]最大，则粒子在磁场中运动的时间最长，且其所对的弦最长，而入射点与出射点间的距离即弦长.所以粒子要在磁场中的运动时间最长，必定从[O]点进，而从[M]点出，如图9. 有
[R=mvqB=1.0×10-8×1.2×106×10.3m=4.0×10-2m]
由弦[OM]和半径[R]可作出粒子在磁场中的运动轨迹，由图易知[α=π3].则粒子在磁场中运动的最长时间为
[t=α⋅mqB=π3×1.0×10-8×10.3s=π9×10-7s]
点拨 几个结论：
①射入的粒子速度大小相同，方向不同，会在磁场中形成一系列半径大小相同，圆心不同（圆心的连线也是一段圆弧），但是都相交于同一点（[O]点）的圆，在分析时要掌握动态变化的物理情景.
②当圆周运动的半径大于圆形磁场的半径时，在磁场中飞行的带电粒子的最大偏转角为入射点和出射点的连线刚好为磁场的直径；如果是圆周运动的半径小于圆形磁场的半径，则带电粒子可以运行整个圆周.
③粒子通过圆形磁场区域运动时，明显地具有对称性. 即粒子的运动轨迹关于入射点[P]与出射点[Q]的中垂线对称，轨迹圆心[O]位于对称线上，入射速度、出射速度与[PQ]线间的夹角(也称为弦切角)相等，如图10甲，并有[φ＝α＝2θ＝ωt].
④推广：带电粒子在圆形磁场中运动时的对称性规律常常运用到.从磁场的直边界射入的粒子，若再从此边界射出，则速度方向与边界的夹角相等，如图10乙．
在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子必沿径向射出，即出磁场时速度方向必反向过圆心，如图10丙．
⑤同种带电粒子以相同的速率从同一点垂直射入圆形区域的匀强磁场时，若射出方向与射入方向在同一直径上，则轨迹的弧长最长，偏转角有最大值，且为[α＝]2arcsin[Rr]＝2arcsin[RBqmv]．
关于通电电流的受力
三、安培力
例4 如图11，不在同一平面内的[abcd]四边形闭合线框，[a、d、c]三点分别在三个正交坐标轴上，坐标值均等于[L]，整个空间处于平行于[+y]方向竖直向上的匀强磁场中，通入电流[I]. 关于线框四条边所受到的安培力的大小（ ）
解析 [bc]边与磁场平行，不受安培力，[ad]边的投影到与磁场垂直的[xOz]平面的有效长度为[L]，故[ab]边和[ad]边所受到的安培力大小相等. [cd]边与磁场垂直，长度为[2L]，受安培力最大.
答案 B
点拨 注意有效长度的运用.同时安培力是通电电流受到的磁场力，电流由电源提供，这与电磁感应中的情景不一样.
例5 如图12，水平轨道与内阻为[r]、电动势为[E]的电源连接，置于磁感应强度为[B]的匀强磁场中，磁感线方向与轨道平面成[θ]斜向上方.一质量为[m]，长为[L]，电阻为[R]的导体棒，静止于水平轨道上，与轨道的动摩擦因数为[μ]，水平轨道电阻忽略不计.当电键[S]闭合的瞬间，求导体棒[MN]所受安培力及导体棒[MN]开始运动时的加速度.
解析 画导体棒受力平视图13，电流垂直于磁场，得安培力[F=BIL]，又据闭合电路欧姆定律[I=ER+r]，综合解得[F=BER+rL=BELR+r]
沿水平方向建立坐标系，列牛顿第二定律方程式，有
[∑Fx=Fsinθ-Ff=ma∑Fy=FN-mg-Fcosθ=0Ff=μFN]
得到加速度[a=BELm(R+r)(sinθ-μcosθ)-μg]
关于粒子的运动
带电粒子在磁场中运动时，可能会受到洛伦兹力的作用，其大小跟速度与磁场方向的夹角有关．当带电粒子的速度与磁场方向夹角为[θ]时，有[F洛=qvBsinθ]，洛伦兹力的方向垂直于速度[v]和磁感应强度[B]所决定的平面.注意[θ=0]时[F洛=0]和[θ=π2]时[F洛=qvB]两种特殊情况. 无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力均与速度垂直，都不做功．洛伦兹力的方向用左手定则判断.
一、直线运动
若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子不受洛伦兹力，做匀速直线运动.如果有其他力存在，但只要垂直于运动方向的合力为0，也可以做直线运动．
例1 如图1，带电量为[+q]、质量为[m]的小球从倾角为[θ]的光滑的足够长的斜面上由静止下滑，匀强磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度为[B]. 求小球在斜面上滑行的最大速度及最大距离.
解析 小球沿光滑斜面下滑时，受力如图2，有
[FN+Bqv=mgcosθ].
当[FN]=0时，小球离开斜面.此时小球速度最大，[vm=mgcosθqB].
小球在斜面上运动时，所受合外力[∑F=mgsinθ]，根据牛顿第二定律，可得小球的加速度[a=gsinθ].又因小球的初速度[v0=0]，据匀变速直线运动的公式，可得最大距离[lm=m2gcos2θ2q2B2sinθ]
点拨 本例洛伦兹力的变化只影响弹力，因斜面光滑，不存在摩擦力，对沿斜面方向的运动没有影响.因而在沿斜面的运动方向上加速度不变，做匀变速直线运动.如果斜面不光滑，则不一样.洛伦兹力的变化所引起的弹力的减小还将进一步引起摩擦力减小，导致加速度变大，小球将做加速度变大的变加速运动.
例2 如图3，质量是[m]的小球带有正电荷，电荷量为[q]，小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上．杆与水平方向成夹角[θ]，与球之间的动摩擦因数为[μ]，此装置放在沿水平方向、磁感应强度为[B]的匀强磁场中．若从高处将小球无初速释放，讨论小球下滑过程中加速度的最大值和运动速度的最大值．
解析 先分析带电小球的受力，如图4甲，在释放点[a]处，由于初速度为零，不受洛伦兹力.随着小球的加速运动，产生大小逐渐增加、方向垂直细杆斜向上的洛伦兹力，在[b]处为一般情况，有
[∑Fx=mgsinθ-Ff=ma∑Fy=FN+F洛-mgcosθ=0Ff=μFN]
[c]处洛伦兹力与重力在垂直细杆方向的分力平衡，不受弹力，从而不受摩擦力，则加速度最大，有[am=gsinθ,]这样小球从[a]到[c]做加速度增大的加速运动.
[甲乙]
图4
随着小球的继续加速，洛伦兹力继续增大，小球受到的弹力将反向，变为垂直于细杆斜向下，这时又恢复了摩擦力，且逐渐增大，使小球的加速度逐渐减小.当摩擦力[Ff]与重力沿斜面方向的分力平衡时，小球的加速运动结束，将做匀速直线运动，速度也达到最大值，如图中[d]位置，有
[∑Fx=mgsinθ-F′f=ma=0∑Fy=F′N-F洛+mgcosθ=0F′f=μF′N]
则[F′N+mgcosθ=Bqvm,][F′f=mgsinθ,]得
[vm=mgqBsinθμ+cosθ.]
从[c]到[d]，小球做加速度减小的加速运动，在[d]之后做匀速运动. 小球的[v-t]图象如4乙.
二、匀速圆周运动
带电粒子在匀强磁场中常常不计重力，它的运动一般有三种情况：一是当带电粒子的运动方向与磁场方向平行时，做匀速直线运动；二是当带电粒子的运动方向与匀强磁场方向垂直时，做匀速圆周运动；三是当带电粒子既不垂直也不平行射入匀强磁场时，沿磁感线方向不受力，做匀速直线运动，垂直于磁场方向受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，合运动为螺旋运动.
在匀速圆周运动中，通常注意以下两个方面.
1．受力：洛伦兹力提供向心力，沿半径方向建立坐标系，列牛顿第二定律关系.
质量为[m]、电荷量为[q]的带电粒子以初速度[v]垂直进入匀强磁场[B]中做匀速圆周运动，其角速度为[ω]，轨道半径为[R]，运动的周期为[T]，有
[qvB＝mv2R]， 得到[R＝mvqB]
[T＝2πmqB](与[v、R]无关)
2．几何关系：找出几何特点，通过几何作图确定三个点，即进场点、出场点和圆心，画出轨迹，再列勾股定理或三角函数关系式.
（1）轨道半径的确定
利用半径方向垂直于速度找出半径，大小直接运用公式[R＝mvqB]，或画出几何图形，利用半径[R]与长度的几何关系确定．有一个重要的几何特点：粒子速度的偏向角[φ]等于对应轨迹圆弧的圆心角[α]，并等于弦切角[θ]的2倍，如图5．
（2）圆心的确定
半径的交点即为圆心，如图6甲；由于洛伦兹力[F]指向圆心，若已知任意两点（一般为入射点和出射点）的速度方向，根据[F⊥v]，作出两点速度方向的垂线，交点即为圆心，如图6乙；圆心位置在任意一条弦的中垂线上，若已知轨迹上的两点及其中一点的速度方向，则作出两点的中垂线，它与速度垂线的交点即为圆心，如图10-6丙．
（3）运动时间的确定
直接运用公式[T＝2πmqB]，或利用周期[T]与时间[t]的关系来确定．即[t＝α360°⋅T]，或[t＝α2π⋅T]（粒子在时间[t]内通过的圆弧所对应的圆心角为[α]）.
如图7，粒子的偏转角[sinθ=LR]，侧移量[y]满足方程[R2=][L2-(R-y)2]，经历的时间[t=mθBq].
例3 在真空中半径[r=2×10-2m]的圆形区域内有一匀强磁场，磁感应强度[B=0.3T]，方向如图8，在[O]处有一放射源[S]，可沿纸面向各个方向射出速率均为[v0=1.2×106m/s]的带正电的粒子.已知该粒子的比荷[qm=1×108C/kg]，不计粒子重力，求粒子在磁场中运动的最长时间.
解析 由[t=θ2π×T]可知，在比荷一定时，若[α]最大，则粒子在磁场中运动的时间最长，且其所对的弦最长，而入射点与出射点间的距离即弦长.所以粒子要在磁场中的运动时间最长，必定从[O]点进，而从[M]点出，如图9. 有
[R=mvqB=1.0×10-8×1.2×106×10.3m=4.0×10-2m]
由弦[OM]和半径[R]可作出粒子在磁场中的运动轨迹，由图易知[α=π3].则粒子在磁场中运动的最长时间为
[t=α⋅mqB=π3×1.0×10-8×10.3s=π9×10-7s]
点拨 几个结论：
①射入的粒子速度大小相同，方向不同，会在磁场中形成一系列半径大小相同，圆心不同（圆心的连线也是一段圆弧），但是都相交于同一点（[O]点）的圆，在分析时要掌握动态变化的物理情景.
②当圆周运动的半径大于圆形磁场的半径时，在磁场中飞行的带电粒子的最大偏转角为入射点和出射点的连线刚好为磁场的直径；如果是圆周运动的半径小于圆形磁场的半径，则带电粒子可以运行整个圆周.
③粒子通过圆形磁场区域运动时，明显地具有对称性. 即粒子的运动轨迹关于入射点[P]与出射点[Q]的中垂线对称，轨迹圆心[O]位于对称线上，入射速度、出射速度与[PQ]线间的夹角(也称为弦切角)相等，如图10甲，并有[φ＝α＝2θ＝ωt].
④推广：带电粒子在圆形磁场中运动时的对称性规律常常运用到.从磁场的直边界射入的粒子，若再从此边界射出，则速度方向与边界的夹角相等，如图10乙．
在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子必沿径向射出，即出磁场时速度方向必反向过圆心，如图10丙．
⑤同种带电粒子以相同的速率从同一点垂直射入圆形区域的匀强磁场时，若射出方向与射入方向在同一直径上，则轨迹的弧长最长，偏转角有最大值，且为[α＝]2arcsin[Rr]＝2arcsin[RBqmv]．
关于通电电流的受力
三、安培力
例4 如图11，不在同一平面内的[abcd]四边形闭合线框，[a、d、c]三点分别在三个正交坐标轴上，坐标值均等于[L]，整个空间处于平行于[+y]方向竖直向上的匀强磁场中，通入电流[I]. 关于线框四条边所受到的安培力的大小（ ）
解析 [bc]边与磁场平行，不受安培力，[ad]边的投影到与磁场垂直的[xOz]平面的有效长度为[L]，故[ab]边和[ad]边所受到的安培力大小相等. [cd]边与磁场垂直，长度为[2L]，受安培力最大.
答案 B
点拨 注意有效长度的运用.同时安培力是通电电流受到的磁场力，电流由电源提供，这与电磁感应中的情景不一样.
例5 如图12，水平轨道与内阻为[r]、电动势为[E]的电源连接，置于磁感应强度为[B]的匀强磁场中，磁感线方向与轨道平面成[θ]斜向上方.一质量为[m]，长为[L]，电阻为[R]的导体棒，静止于水平轨道上，与轨道的动摩擦因数为[μ]，水平轨道电阻忽略不计.当电键[S]闭合的瞬间，求导体棒[MN]所受安培力及导体棒[MN]开始运动时的加速度.
解析 画导体棒受力平视图13，电流垂直于磁场，得安培力[F=BIL]，又据闭合电路欧姆定律[I=ER+r]，综合解得[F=BER+rL=BELR+r]
沿水平方向建立坐标系，列牛顿第二定律方程式，有
[∑Fx=Fsinθ-Ff=ma∑Fy=FN-mg-Fcosθ=0Ff=μFN]
得到加速度[a=BELm(R+r)(sinθ-μcosθ)-μg]