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【导语】
教师通过提出招聘难题，激发学生的探究热情；借助古人名言，明确化难为易的探究方向，遵照学生的意愿从最简单的数据开始探究，是学生经历解题方法多样性到最优化的思维过程。本课教学始终以学生为主体，自主探究解题方案，深化了对“一分为三”思想方法的认识。
【教学内容】
人教版数学五年级下册“数学广角——找次品”。
【教学目标】
（1）知识与技能：会“一分为三”地解决简单的“找次品”问题。
（2）过程与方法：让学生通过猜测、画图、表演等方式感受解决问题策略的多样性，经历从多样性到最优化的思维过程。
（3）情感与态度： 享受自主探究的乐趣，积累数学活动经验，感受数学的魅力。
【教学过程】
一、创设情境，提出招聘难题
1.出示相片，谈话激趣
师：同学们，今天我们的课堂上来了一位大人物（手指马云的相片），他是谁呢？你对他有什么了解？
生：马云，阿里巴巴集团的创始人。
生：马云，创造淘宝网的……
师：有一次，阿里巴巴集团在招聘员工时出了这样一道题：
2.结合情境，提出问题
（多媒体呈现问题）81个乒乓球中，有一个稍重，如果用没有法码的天平称，至少称几次，才能保证找到这个稍重的乒乓球？
【评析】创设情境，激发探究欲望。结合五年级学生善于思考，勇于挑战的年龄特点，创设阿里巴巴集团招聘员工的教学情境，提出一个富有挑战性的找次品问题，成功地激发了学生的探究热情，也为后面在教学中渗透“化难为易”的思想方法埋下伏笔。
二、自主探究，寻求解题策略
（一）理解题意，尝试解题
1.理解题意
师：从81个球中找什么？
生：1个稍重的乒乓球。
师：在众多产品中有一些不合格，比如比标准质量稍重或稍轻的产品，我们称之为次品。
师：用什么工具找？（多媒体出示天平，并演示用没有砝码的天平称球时平衡与不平衡的状态）
师随机提问：天平两边平衡说明什么？不平衡说明什么？
2.揭示课题
师：今天这节课我们就一起研究“找次品”的方法。
3.尝试解题
师：要从81个球中找出一个稍重的球，你认为称几次可以找到？请同学们把答案写在纸上，准备汇报。
生1：80次。
生2：40次，两个两个来称。
生3：1次，如果运气好，第一次就拿到稍重的球。
师：有同学认为如果运气好称1次就可以找到稍重的球，你们同意吗？
生：不同意，为保证找出次品应该从运气最坏的角度考虑。
（二）确定方向 自主探究
1.借用名言，明确探究方向
師：看来要从81个球中保证找到一个稍重的球不容易，“81个”数量太大研究起来有难度，我们该怎么办呢？
师：老师想起古代教育家老子的一句名言“天下难事，必作于易”。（多媒体出示）
师：这句话是什么意思呢？
生：碰到难度大的事，从容易的做起。
师：从古人的话中你得到了什么启示？
生：这道题中“81”数量太大，研究起来有困难，我们可以先拿数量少的球来研究“找次品”的方法，找到方法之后再解决这个数量大的题目。
【评析】名言指引，渗透“化难为易”的数学思想方法。与数学知识、技能相比，在教学中引导学生领悟一些数学思考方法尤为重要。这里借用古代教育家老子的名言引导学生想到解决难题应从最简单的问题开始，明确了探究方向。
2.合作交流，探究解题方法
师：受古人的启示我们就从最简单的数量开始研究吧。从多少个乒乓球开始研究呢？
生：2个。
问题（1）：2个球中有一个次品（质量稍重），几次可以找到呢？
师：可以用身体演示或者画图的方法展示自己找次品的方法。
生：一次（摊开双手模仿天平的样子）。天平哪边下沉，哪边就是次品。
教师板书图示（略）。
问题（2）：3个球中有一个次品（质量稍重），几次可以找到？
学生独立思考后，在小组内交流方法。交流结束后学生上讲台演示找次品的方法。
生：在天平的左右两边各放一个球，如果平衡了，那么次品是第3个球；如果不平衡，那么稍重的就是下沉那边的那一个。
（教师板书图示）
师：这位同学用“如果……那么……”描述了找次品的过程，同时配上他模仿用天平找次品的动作，思路清晰，非常形象。
师质疑：为什么2个球要称一次，3个球也只要称一次呢？
师：在找次品时，我们不但可以用天平称，还可以通过观察天平是否平衡来思考次品在哪里。
问题（3）：4个球中有一个次品（质量稍重），几次可以找到？
生：可以把球2个、2个分开来，称一次就知道次品在下沉的那边，接下来把含次品的2个分别放入天平左右两边，再称一次，下沉的那边就是次品。
师：前面我们都是用画图的方式来记录找次品的方法，随着研究数量的增加，感觉画图有点麻烦，是不是还有更简便的方式来记录找次品的过程呢？用数字表示：
4个（2，2）→2（1，1） 2次
4个（1，1，1，1） 2次
【评析】自主探究，尊重学生主体地位。依照学生的意愿从2个待测物品开始探究找次品的方法，让学生尝试用身体模拟天平（或者画图）等方法，演示找次品的过程，知道下沉的那边是稍重的次品。探究从3个待测物品中找次品的方法：3个待测物品，只要把2个放到天平上称，如果平衡了，那么次品是第3个球；如果不平衡，那么稍重的就是下沉那边的那一个。无论平衡与否，都能准确地找出其中的次品。这是解决“找次品”问题的基本模型。在此设置小组合作交流环节让更多的学生通过与同学交流夯实这一思想基础。学生汇报时，教师及时肯定并强调学生用到的关键词“如果……那么……”“接下来……”来帮助更多的学生运用这些关联词有序地表达找次品的过程，让学生的思维更加清晰。 问题（4）：5个球中有一个次品（质量稍重），几次可以找到？
问题（5）：6个球中有一个次品（质量稍重），几次可以找到？
问题（6）：8个球中有一个次品（质量稍重），几次可以找到？
8个（4，4）→4（2，2）→2（1，1） 3次
8个（2，2，2，2）→2（1，1） 3次
8个（2、2、4）→不平衡2（1，1）
→平衡4（2，2）→2（1，1） 3次
问题（7）：9个球中有一个次品（质量稍重），几次可以找到？
学生在练习本上画一画、写一写，小组交流讨论，集体汇报。教师板书。
9（1，1，1，1，1，1，1，1，1） 4次
9（2，2，2，2，1） → 2（1，1） 3次
9（4，4，1）→4（2，2）→2（1，1）3次
9（3，3，3）→3（1，1，1） 2次
9（2，2，5）→平衡2（1，1）
→不平衡5（2，2，1）→2（1，1） 3次
师：比较上面几种分法，哪种分法所需称的次数最少？
生：（3，3，3）的分法所需称的次数最少。
师：刚才那位同学是怎么称的？（让更多的学生复述过程，争取让大家都理解这种分法）
生：把9个待测物品分成（3，3，3），天平两边各放3个，如果平衡，次品就在第3份里；如果不平衡，次品就在下沉的一份里，接下来再按前面的方法把含次品的“3”分成（1，1，1），再称一次。一共称两次就可以找出次品。
师：看来称的次数跟分法有很大的关系。
【评析】由于这几次活动数量变化的梯度小，学生顺利地发现多种找次品的方案。在此，教师没有急于优化最佳方案，而是放手让学生继续探究，直到研究从9个待测物品中找次品时，学生发现把9个待测物品分成（3，3，3）去称，只要称两次就可找到次品，所需称的次数最少。初步感知所称次数与分法有关系。
3.比较分析，优化解题策略
师质疑（指黑板上的板书）：为什么从9个球中找次品只要称两次，而从8个球中找次品却要称3次呢？
师：从8个球中找次品会不会还有更好的称法？
生：8个球分成（3，3，2），先在天平两边各放3个，平衡则说明次品在“2”里；不平衡则说明次品在下沉的“3”里，接下来把含次品的“2”或“3”再称一次就能找出次品。
师板书：
8（3，3，2）→平衡2（1，1） 2次
→不平衡3（1，1，1） 2次
师（板书）：请同学们观察比较从8个、9个球中找次品的各种称法，把待测物品分成几份所需次数最少？
生：3份。
师：为什么分成3份所需次数会更少呢？
生：把待测物品分成3份，称1次就知道次品在哪1份里，再称1次就能找出次品。
师追问：把9个分为（2，2，5）这样的3份也能称两次就找出次品吗？为什么这样分要3次？
生：“5”这一份数量太多。
师继续追问：分成怎样的3份才不会使某1份的数量太多呢？
生：平均分。
师继续追问：像“8”，不能平均分成3份的怎么分好呢？
生：为了不使某一份数量特别多，不能平均分的要使多的一份与少的一份相差“1”。
师：请同学们用自己的话说说用天平找次品时怎样分所需称的次数最少。
生：用天平找次品，把所称物品平均分成3份，不能平均分时，使多的一份与少的一份相差“1”，所需称的次数最少。
【评析】精心设计问题，让学生经历从多样性到最优化的思维过程。教师通过质疑、追问的形式，引导学生分析、比较不同分法的优缺点，最终在众多方案中优化出最佳方案，理解了为什么要“一分为三”的道理。三、应用策略，解决招聘难题
师：通过“化难为易”的方法我们总结了从众多物品中找到一个次品的最佳策略，你能应用这种策略解决马云公司的招聘题吗？（课件出示课始的招聘题）
1.学生独立完成，集体汇报
81（27，27，27）→27（9，9，9）→9（3，3，3）→3（1，1，1） 4次
2.拓展延伸
教师提出问题：如果243个球中有一個次品（质量稍重），至少称几次，能保证找到次品呢？
四、总结反思，感悟学习方法
师：通过这节课的学习你有什么收获？
生：我知道碰到难题时可以先从简单的问题入手，找出规律之后再解决难题。
师：“找次品”的最优方案是什么？
生：把所称物品平均分成3份，不能平均分时，使多的一份与少的一份相差“1”，所需称的次数最少。
师：刚才我们是怎样找到这个最优方案的？
生：我们是从最小的数量开始研究，发现了很多不同的称法，当研究到9个待测物品时，发现称的次数与分法有关系，再通过比较不同分法的优缺点，找到了这个最优方案。
【评析】及时反思，总结数学活动经验。引导学生回顾本节课的主要内容，巩固“一分为三”的解题方法，并且引导学生反思探究过程，总结探究方法，积累数学活动经验。
教师通过提出招聘难题，激发学生的探究热情；借助古人名言，明确化难为易的探究方向，遵照学生的意愿从最简单的数据开始探究，是学生经历解题方法多样性到最优化的思维过程。本课教学始终以学生为主体，自主探究解题方案，深化了对“一分为三”思想方法的认识。
【教学内容】
人教版数学五年级下册“数学广角——找次品”。
【教学目标】
（1）知识与技能：会“一分为三”地解决简单的“找次品”问题。
（2）过程与方法：让学生通过猜测、画图、表演等方式感受解决问题策略的多样性，经历从多样性到最优化的思维过程。
（3）情感与态度： 享受自主探究的乐趣，积累数学活动经验，感受数学的魅力。
【教学过程】
一、创设情境，提出招聘难题
1.出示相片，谈话激趣
师：同学们，今天我们的课堂上来了一位大人物（手指马云的相片），他是谁呢？你对他有什么了解？
生：马云，阿里巴巴集团的创始人。
生：马云，创造淘宝网的……
师：有一次，阿里巴巴集团在招聘员工时出了这样一道题：
2.结合情境，提出问题
（多媒体呈现问题）81个乒乓球中，有一个稍重，如果用没有法码的天平称，至少称几次，才能保证找到这个稍重的乒乓球？
【评析】创设情境，激发探究欲望。结合五年级学生善于思考，勇于挑战的年龄特点，创设阿里巴巴集团招聘员工的教学情境，提出一个富有挑战性的找次品问题，成功地激发了学生的探究热情，也为后面在教学中渗透“化难为易”的思想方法埋下伏笔。
二、自主探究，寻求解题策略
（一）理解题意，尝试解题
1.理解题意
师：从81个球中找什么？
生：1个稍重的乒乓球。
师：在众多产品中有一些不合格，比如比标准质量稍重或稍轻的产品，我们称之为次品。
师：用什么工具找？（多媒体出示天平，并演示用没有砝码的天平称球时平衡与不平衡的状态）
师随机提问：天平两边平衡说明什么？不平衡说明什么？
2.揭示课题
师：今天这节课我们就一起研究“找次品”的方法。
3.尝试解题
师：要从81个球中找出一个稍重的球，你认为称几次可以找到？请同学们把答案写在纸上，准备汇报。
生1：80次。
生2：40次，两个两个来称。
生3：1次，如果运气好，第一次就拿到稍重的球。
师：有同学认为如果运气好称1次就可以找到稍重的球，你们同意吗？
生：不同意，为保证找出次品应该从运气最坏的角度考虑。
（二）确定方向 自主探究
1.借用名言，明确探究方向
師：看来要从81个球中保证找到一个稍重的球不容易，“81个”数量太大研究起来有难度，我们该怎么办呢？
师：老师想起古代教育家老子的一句名言“天下难事，必作于易”。（多媒体出示）
师：这句话是什么意思呢？
生：碰到难度大的事，从容易的做起。
师：从古人的话中你得到了什么启示？
生：这道题中“81”数量太大，研究起来有困难，我们可以先拿数量少的球来研究“找次品”的方法，找到方法之后再解决这个数量大的题目。
【评析】名言指引，渗透“化难为易”的数学思想方法。与数学知识、技能相比，在教学中引导学生领悟一些数学思考方法尤为重要。这里借用古代教育家老子的名言引导学生想到解决难题应从最简单的问题开始，明确了探究方向。
2.合作交流，探究解题方法
师：受古人的启示我们就从最简单的数量开始研究吧。从多少个乒乓球开始研究呢？
生：2个。
问题（1）：2个球中有一个次品（质量稍重），几次可以找到呢？
师：可以用身体演示或者画图的方法展示自己找次品的方法。
生：一次（摊开双手模仿天平的样子）。天平哪边下沉，哪边就是次品。
教师板书图示（略）。
问题（2）：3个球中有一个次品（质量稍重），几次可以找到？
学生独立思考后，在小组内交流方法。交流结束后学生上讲台演示找次品的方法。
生：在天平的左右两边各放一个球，如果平衡了，那么次品是第3个球；如果不平衡，那么稍重的就是下沉那边的那一个。
（教师板书图示）
师：这位同学用“如果……那么……”描述了找次品的过程，同时配上他模仿用天平找次品的动作，思路清晰，非常形象。
师质疑：为什么2个球要称一次，3个球也只要称一次呢？
师：在找次品时，我们不但可以用天平称，还可以通过观察天平是否平衡来思考次品在哪里。
问题（3）：4个球中有一个次品（质量稍重），几次可以找到？
生：可以把球2个、2个分开来，称一次就知道次品在下沉的那边，接下来把含次品的2个分别放入天平左右两边，再称一次，下沉的那边就是次品。
师：前面我们都是用画图的方式来记录找次品的方法，随着研究数量的增加，感觉画图有点麻烦，是不是还有更简便的方式来记录找次品的过程呢？用数字表示：
4个（2，2）→2（1，1） 2次
4个（1，1，1，1） 2次
【评析】自主探究，尊重学生主体地位。依照学生的意愿从2个待测物品开始探究找次品的方法，让学生尝试用身体模拟天平（或者画图）等方法，演示找次品的过程，知道下沉的那边是稍重的次品。探究从3个待测物品中找次品的方法：3个待测物品，只要把2个放到天平上称，如果平衡了，那么次品是第3个球；如果不平衡，那么稍重的就是下沉那边的那一个。无论平衡与否，都能准确地找出其中的次品。这是解决“找次品”问题的基本模型。在此设置小组合作交流环节让更多的学生通过与同学交流夯实这一思想基础。学生汇报时，教师及时肯定并强调学生用到的关键词“如果……那么……”“接下来……”来帮助更多的学生运用这些关联词有序地表达找次品的过程，让学生的思维更加清晰。 问题（4）：5个球中有一个次品（质量稍重），几次可以找到？
问题（5）：6个球中有一个次品（质量稍重），几次可以找到？
问题（6）：8个球中有一个次品（质量稍重），几次可以找到？
8个（4，4）→4（2，2）→2（1，1） 3次
8个（2，2，2，2）→2（1，1） 3次
8个（2、2、4）→不平衡2（1，1）
→平衡4（2，2）→2（1，1） 3次
问题（7）：9个球中有一个次品（质量稍重），几次可以找到？
学生在练习本上画一画、写一写，小组交流讨论，集体汇报。教师板书。
9（1，1，1，1，1，1，1，1，1） 4次
9（2，2，2，2，1） → 2（1，1） 3次
9（4，4，1）→4（2，2）→2（1，1）3次
9（3，3，3）→3（1，1，1） 2次
9（2，2，5）→平衡2（1，1）
→不平衡5（2，2，1）→2（1，1） 3次
师：比较上面几种分法，哪种分法所需称的次数最少？
生：（3，3，3）的分法所需称的次数最少。
师：刚才那位同学是怎么称的？（让更多的学生复述过程，争取让大家都理解这种分法）
生：把9个待测物品分成（3，3，3），天平两边各放3个，如果平衡，次品就在第3份里；如果不平衡，次品就在下沉的一份里，接下来再按前面的方法把含次品的“3”分成（1，1，1），再称一次。一共称两次就可以找出次品。
师：看来称的次数跟分法有很大的关系。
【评析】由于这几次活动数量变化的梯度小，学生顺利地发现多种找次品的方案。在此，教师没有急于优化最佳方案，而是放手让学生继续探究，直到研究从9个待测物品中找次品时，学生发现把9个待测物品分成（3，3，3）去称，只要称两次就可找到次品，所需称的次数最少。初步感知所称次数与分法有关系。
3.比较分析，优化解题策略
师质疑（指黑板上的板书）：为什么从9个球中找次品只要称两次，而从8个球中找次品却要称3次呢？
师：从8个球中找次品会不会还有更好的称法？
生：8个球分成（3，3，2），先在天平两边各放3个，平衡则说明次品在“2”里；不平衡则说明次品在下沉的“3”里，接下来把含次品的“2”或“3”再称一次就能找出次品。
师板书：
8（3，3，2）→平衡2（1，1） 2次
→不平衡3（1，1，1） 2次
师（板书）：请同学们观察比较从8个、9个球中找次品的各种称法，把待测物品分成几份所需次数最少？
生：3份。
师：为什么分成3份所需次数会更少呢？
生：把待测物品分成3份，称1次就知道次品在哪1份里，再称1次就能找出次品。
师追问：把9个分为（2，2，5）这样的3份也能称两次就找出次品吗？为什么这样分要3次？
生：“5”这一份数量太多。
师继续追问：分成怎样的3份才不会使某1份的数量太多呢？
生：平均分。
师继续追问：像“8”，不能平均分成3份的怎么分好呢？
生：为了不使某一份数量特别多，不能平均分的要使多的一份与少的一份相差“1”。
师：请同学们用自己的话说说用天平找次品时怎样分所需称的次数最少。
生：用天平找次品，把所称物品平均分成3份，不能平均分时，使多的一份与少的一份相差“1”，所需称的次数最少。
【评析】精心设计问题，让学生经历从多样性到最优化的思维过程。教师通过质疑、追问的形式，引导学生分析、比较不同分法的优缺点，最终在众多方案中优化出最佳方案，理解了为什么要“一分为三”的道理。三、应用策略，解决招聘难题
师：通过“化难为易”的方法我们总结了从众多物品中找到一个次品的最佳策略，你能应用这种策略解决马云公司的招聘题吗？（课件出示课始的招聘题）
1.学生独立完成，集体汇报
81（27，27，27）→27（9，9，9）→9（3，3，3）→3（1，1，1） 4次
2.拓展延伸
教师提出问题：如果243个球中有一個次品（质量稍重），至少称几次，能保证找到次品呢？
四、总结反思，感悟学习方法
师：通过这节课的学习你有什么收获？
生：我知道碰到难题时可以先从简单的问题入手，找出规律之后再解决难题。
师：“找次品”的最优方案是什么？
生：把所称物品平均分成3份，不能平均分时，使多的一份与少的一份相差“1”，所需称的次数最少。
师：刚才我们是怎样找到这个最优方案的？
生：我们是从最小的数量开始研究，发现了很多不同的称法，当研究到9个待测物品时，发现称的次数与分法有关系，再通过比较不同分法的优缺点，找到了这个最优方案。
【评析】及时反思，总结数学活动经验。引导学生回顾本节课的主要内容，巩固“一分为三”的解题方法，并且引导学生反思探究过程，总结探究方法，积累数学活动经验。