对于高中生来说，不等式显然是高中数学学习的一个难点，下面我就不等式中的
　　添与拆与大家一起探讨一下。
　　一、巧添术
　　所谓的巧添术就是利用四则运算即“加减乘除”来进行所谓的“添项”，这里我就加法与乘法展开研究。
　　先来看一个例子：（找下界）
　　例1已知a+b=2，且a、b∈R+，求证：a2a+1+b2b+1≥1。
　　证明：知a2a+1+a+14≥a，同理：b2b+1+b+14≥b，那么上面两式相加得：a2a+1+b2b+1≥a+b-a+14+b+14=1，当且仅当a=b=1时成立。
　　所以a2a+1+b2b+1≥1。证毕。
　　有的同学就会有点疑问：为什么要添上a+14这一项呢？其实a2a+1+b2b+1是 一个轮换式，那么可以猜测当a=b=1时取得最大值，那么再来对这个式子分析，这是个分式，那么我们可以考虑将分母去掉，而且a的幂是2，那么自然会想到添上a+1，但是发现不满足基本不等式中“相等”的条件，那么自然会想到再乘上一个14，这样也就理解透了吧。其实这里的14也可以通过待定系数的方法求出，不再赘谈。
　　现在我们回归到课本中的一些题目：（找上界）
　　已知：x、y、z∈R+，x+y+z=3，求证：3x+1+3y+1+3z+1≤6。
　　证明：由ab≤a+b2（a，b∈R+），得2·3x+1≤4+3x+12=5+3x2。
　　同理：2·3y+1≤4+3y+12=5+3y2，2·3z+1≤4+3z+12=5+3z2
　　（当且仅当x=y=z=1时成立）。
　　三式相加得：3x+1+3y+1+3z+1≤6。证毕。
　　二、巧拆术
　　例1已知x，y，z∈R+，求xy+yzx2+y2+z2的最大值。
　　解：xy+yzx2+y2+z2=xy+yzx2+12y2+12y2+z2≤xy+yz2（xy+yz）=22（当且仅当y=2x=2z时等号成立）。
　　小结：为什么想到用拆呢？因为分子的结构。那为什么要拆y呢？因为y在分子两个式子里都有。为什么要将y2拆成两个相等的部分呢？我们推到一般来讲，就是用待定系数法以及等号成立条件将两个部分的系数搞出来，那么由此法可见对于多元问题的这个形式待定系数法可以说是一个通法，我们在这里不再多说。这就是拆的原因，其实我们的方法来源于式子的结构是分子、分母为齐次式，我们的目的就是通过放缩未知变量消掉多元。
　　拆其实与添有密切关系，我们在这里不再多说通过几个例子巩固一下就行，有兴趣的读者也可以自己研究研究。
　　当然我们对于之前的添与拆都是分开讲的，那么下面我们用一个例子来整合一下做一些浅显的说明。
　　例已知：a，b，c∈R+，x，y，z∈R+， 求证：
　　x2+y2+z2≥2ac（a+b）（b+c）xy+2bc（a+b）（a+c）xz+2ab（a+c）（b+c）·yz。
　　证明：（巧添“1”）：
　　知：x2+y2+z2=a+ba+bx2+b+cb+cy2+a+ca+cz2。
　　（巧拆“1”）：上式=aa+bx2+cb+cy2+ba+bx2+ca+cz2+bb+cy2+aa+cz2
　　（“分而治之”思想）：知：aa+bx2+cb+cy2≥2ac（a+b）（b+c）xy。
　　同理：ba+bx2+ca+cz2≥2bc（a+b）（a+c）xz，
　　bb+cy2+aa+cz2≥2ab（a+c）（b+c）·yz。
　　將上面三式相加得：
　　x2+y2+z2≥2ac（a+b）（b+c）xy+2·bc（a+b）（a+c）xz+2ab（a+c）（b+c）yz
　　（当且仅当：x∶y∶z=c（a+b）∶a（b+c）∶b（a+c）时成立）。
　　当然例子很多是永远举不尽的，只是想通过这个例子来说明一下添与拆其实都是有关系的，并不是割裂开来的。
　　对于不等式，由对结构的不同认识自然会想到不同的方法，但抓住不等式的结构特征才是最重要的。
　　作者单位：江苏省淮安中学