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[摘 要] 概率问题作为中考的常见题型之一，看似容易，实则蕴含深远. 学生由于缺乏对这一问题的数学史方面的知识渗透，难免对此类问题有许多把握不到位的地方. 本文以概率学习中的常见问题为抓手，细致分析了这些问题的成因，找出了解决这些问题的常见对策.
[关键词] 概率学习；问题成因；解决对策
概率是中考必考的知识点之一，在现在的中考中已经显得越来越重要了. 从近几年各地的中考试卷来看，概率的考试题目类型大致可分为三类：（1）利用频率值估计概率；（2）利用面积计算概率；（3）利用画树状图或列表法解决生活类实际应用问题. 这些常见的考题中间往往隐藏着一些典型的错误，教师需要借助这些错误，分析错误，纠正错误，让学生得到真正的提高. 学生在初涉概率知识时往往不会觉得很困难，可一旦遇到具体问题，却时常出错. 下面笔者就根据多年来的教学实际，对这些错误原因进行归类和总结，并找出解决这一类错误的有效方法.
对机会的等可能性理解不够导
致错误
问题1 甲、乙、丙、丁四人参加某校教师招聘考试，试后甲、乙两人去询问成绩. 评委对甲说：“恭喜你，你不是最差的，丙是最差的. ”对乙说：“四人的成绩均不相同，但可惜你未能获得第一名. ”请你根据回答的内容进行分析，这四人的名次排列共有______种不同的可能情况.
错解 不知如何作答，瞎猜一个作为标准答案.
正解 根据评委的话，可以将整个事件看成两个部分组成：①应聘者；②考试名次，将条件整理成表格形式.
由表格可知：甲的名次可能是①或②或③，乙的名次可能是②或③，丁的名次可能是①或②或③，丙为第④名，而其余三人只能是①②③中一个名次，所以所有等可能的结果为甲①乙②丙④丁③；甲③乙②丙④丁①；甲②乙③丙④丁①；甲①乙③丙④丁②. 以下列举一些学生常见的错误：（1）根据题目提供的条件多而乱，感觉无从下手，便不会处理；（2）能够确定丙的名次，但如何确定甲、乙、丁的名次没有头绪；（3）甲有3种情况，乙有2种情况，丁有3种情况，所以总共有3×2×3=18种情况；（4）漏掉考虑甲③乙②丙④丁①和甲②乙③丙④丁①这两种情况.
归因与剖析 在确定等可能结果时，首先要弄清楚本题关注的是什么结果，其次结果由谁决定，接着把有关的可能情况分析清楚. 以上题为例，要求名次所有的情况，其次由于丙为第④名，所以名次只与甲、乙、丁有关，接着由题可知甲可能为①②③，乙可能为②③，丁可能为①②③，而三人只能得一个名次而不重复，便可得出答案.
对问题中有无放回的理解出现 错误
问题2 已知红色和蓝色在一起可配成紫色，现有三种颜色，即红色、白色和蓝色，从中任意取出两种颜色来配紫色，问：能配出紫色的概率有多大？
错解 画树状图：
所有等可能的结果共有9种，其中配出紫色的结果有2种，P（配出紫色）=.
正解 画树状图：
所有等可能的结果共有6种，其中配出紫色的结果有2种，
P（配出紫色）==.
错误剖析 没有考虑到：在红、白、蓝三种颜色中，任意取出两种颜色时，不能同时取出两种相同的颜色.
归因与剖析 对于事件中进行两次或两次以上选取时，请学生根据实际情况分析和理解，切不可主观臆断和猜想，要做有依有据的判断，并判断是否有放回.
由于生活常识的缺乏导致等可 能结果错误
问题3 甲、乙两队进行乒乓球团体赛，比赛规则是：两队之间进行3局比赛，并且必须全部打完，至少赢2局的队获胜. 假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且甲队已经赢得了第1局，那么甲队最终获胜的概率是多少？
错解 画树状图：
P（甲队最终获胜）=.
正解 画树状图：
P（甲队最终获胜）=.
归因与剖析 比赛的结果有三种情况：胜、平、负，特别是题目中强调“甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同”. 乒乓球在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先多得2分的一方为胜方，所以乒乓球比赛的结果只有两种情况：“胜”或“负”. 数学来源于生活，所以如乒乓球比赛的赛制这类生活常识，学生需了解.
由于对关注事件理解有误导致
关注事件的结果数错误
问题4 在某小学“演讲大赛”选拔赛初赛中，甲、乙、丙三位评委对小选手的综合表现分别给出“待定”（用字母W表示）或“通过”（用字母P表示）的结论. 请用树状图表示出对于小选手琪琪，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？
错解 画树状图：
其中只有甲、乙两位评委给出相同结论的结果有4种，
P（只有甲、乙两位评委给出相同结论）==.
正解 其中只有甲、乙两位评委给出相同结论的结果有2种，
P（只有甲、乙两位评委给出相同结论）==.
剖析与归因 在看树状图时只关注了甲、乙的结论是否一样，并没有考虑丙评委的结论与甲和乙的关系. 认真审题是解题的关键，忽略任意一个小的细节，都会带来整个题目的理解错误，从而导致错解.
由于数学思想、数学方法运用
不灵活导致与其他知识相结合
考查时出现错误
问题5 （1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人，求第二次传球回到甲手里的概率是多少. （请用树状图或列表等方式给出解析过程）
（2）如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么第三次传球后球回到甲手里的概率是______.
第（1）问比较容易，共有9种等可能的结果，符合条件的情况有3种， 概率为. 下面研究第（2）小问.
解法1 所有等可能的结果共有n3种，其中第三次传球后球回到甲手里的结果有n（n-1）种，P（第三次传球后球回到甲手里）==.
解法2 （画图解决）画出n=2时，三次传球后的树状图，得P===；
画出n=3时，三次传球后的树状图，得P===；
画出n=4时，三次传球后的树状图，得P===，
所以通过表示可得出该题规律为P=.
归因与剖析 从这个问题中，我们明显可以得到两点启示：①第（2）小题在考查学生“化归思想”，如果学生遇到一个题目有多个小题，且每个小题所求的结论类似时，可以尝试用第1小题的处理方式来解决之后的小题，这也是“化归思想”想考查学生的地方. ②遇到找规律的题目时，请注意处理方法：从n的最小值开始去研究题目要求的量，不要怕烦琐，直到所代入的数能从结果中发现规律为止，只要将变化部分用字母代替，不变部分照抄就能得出规律.
归纳与反思
概率是中考命题的重点之一，经常与统计、函数、几何图形等知识综合在一起考查，我们需牢固掌握树状图（列表）法，利用概率公式解决此类问题. 题目千变万化，我们需养成良好的审题习惯，善于总结归纳，力争让自己不断提高. 从五类常见错误来看，阅读和理解是第一步，只有正确地把握题目的含义，抓住阶梯的关键因素，才能有效地避免出错，而从学生的问题中，教师也能反思自身课堂的得失，找到最佳的教学方式，实现最好的课堂效果.
[关键词] 概率学习；问题成因；解决对策
概率是中考必考的知识点之一，在现在的中考中已经显得越来越重要了. 从近几年各地的中考试卷来看，概率的考试题目类型大致可分为三类：（1）利用频率值估计概率；（2）利用面积计算概率；（3）利用画树状图或列表法解决生活类实际应用问题. 这些常见的考题中间往往隐藏着一些典型的错误，教师需要借助这些错误，分析错误，纠正错误，让学生得到真正的提高. 学生在初涉概率知识时往往不会觉得很困难，可一旦遇到具体问题，却时常出错. 下面笔者就根据多年来的教学实际，对这些错误原因进行归类和总结，并找出解决这一类错误的有效方法.
对机会的等可能性理解不够导
致错误
问题1 甲、乙、丙、丁四人参加某校教师招聘考试，试后甲、乙两人去询问成绩. 评委对甲说：“恭喜你，你不是最差的，丙是最差的. ”对乙说：“四人的成绩均不相同，但可惜你未能获得第一名. ”请你根据回答的内容进行分析，这四人的名次排列共有______种不同的可能情况.
错解 不知如何作答，瞎猜一个作为标准答案.
正解 根据评委的话，可以将整个事件看成两个部分组成：①应聘者；②考试名次，将条件整理成表格形式.
由表格可知：甲的名次可能是①或②或③，乙的名次可能是②或③，丁的名次可能是①或②或③，丙为第④名，而其余三人只能是①②③中一个名次，所以所有等可能的结果为甲①乙②丙④丁③；甲③乙②丙④丁①；甲②乙③丙④丁①；甲①乙③丙④丁②. 以下列举一些学生常见的错误：（1）根据题目提供的条件多而乱，感觉无从下手，便不会处理；（2）能够确定丙的名次，但如何确定甲、乙、丁的名次没有头绪；（3）甲有3种情况，乙有2种情况，丁有3种情况，所以总共有3×2×3=18种情况；（4）漏掉考虑甲③乙②丙④丁①和甲②乙③丙④丁①这两种情况.
归因与剖析 在确定等可能结果时，首先要弄清楚本题关注的是什么结果，其次结果由谁决定，接着把有关的可能情况分析清楚. 以上题为例，要求名次所有的情况，其次由于丙为第④名，所以名次只与甲、乙、丁有关，接着由题可知甲可能为①②③，乙可能为②③，丁可能为①②③，而三人只能得一个名次而不重复，便可得出答案.
对问题中有无放回的理解出现 错误
问题2 已知红色和蓝色在一起可配成紫色，现有三种颜色，即红色、白色和蓝色，从中任意取出两种颜色来配紫色，问：能配出紫色的概率有多大？
错解 画树状图：
所有等可能的结果共有9种，其中配出紫色的结果有2种，P（配出紫色）=.
正解 画树状图：
所有等可能的结果共有6种，其中配出紫色的结果有2种，
P（配出紫色）==.
错误剖析 没有考虑到：在红、白、蓝三种颜色中，任意取出两种颜色时，不能同时取出两种相同的颜色.
归因与剖析 对于事件中进行两次或两次以上选取时，请学生根据实际情况分析和理解，切不可主观臆断和猜想，要做有依有据的判断，并判断是否有放回.
由于生活常识的缺乏导致等可 能结果错误
问题3 甲、乙两队进行乒乓球团体赛，比赛规则是：两队之间进行3局比赛，并且必须全部打完，至少赢2局的队获胜. 假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且甲队已经赢得了第1局，那么甲队最终获胜的概率是多少？
错解 画树状图：
P（甲队最终获胜）=.
正解 画树状图：
P（甲队最终获胜）=.
归因与剖析 比赛的结果有三种情况：胜、平、负，特别是题目中强调“甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同”. 乒乓球在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先多得2分的一方为胜方，所以乒乓球比赛的结果只有两种情况：“胜”或“负”. 数学来源于生活，所以如乒乓球比赛的赛制这类生活常识，学生需了解.
由于对关注事件理解有误导致
关注事件的结果数错误
问题4 在某小学“演讲大赛”选拔赛初赛中，甲、乙、丙三位评委对小选手的综合表现分别给出“待定”（用字母W表示）或“通过”（用字母P表示）的结论. 请用树状图表示出对于小选手琪琪，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？
错解 画树状图：
其中只有甲、乙两位评委给出相同结论的结果有4种，
P（只有甲、乙两位评委给出相同结论）==.
正解 其中只有甲、乙两位评委给出相同结论的结果有2种，
P（只有甲、乙两位评委给出相同结论）==.
剖析与归因 在看树状图时只关注了甲、乙的结论是否一样，并没有考虑丙评委的结论与甲和乙的关系. 认真审题是解题的关键，忽略任意一个小的细节，都会带来整个题目的理解错误，从而导致错解.
由于数学思想、数学方法运用
不灵活导致与其他知识相结合
考查时出现错误
问题5 （1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人，求第二次传球回到甲手里的概率是多少. （请用树状图或列表等方式给出解析过程）
（2）如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么第三次传球后球回到甲手里的概率是______.
第（1）问比较容易，共有9种等可能的结果，符合条件的情况有3种， 概率为. 下面研究第（2）小问.
解法1 所有等可能的结果共有n3种，其中第三次传球后球回到甲手里的结果有n（n-1）种，P（第三次传球后球回到甲手里）==.
解法2 （画图解决）画出n=2时，三次传球后的树状图，得P===；
画出n=3时，三次传球后的树状图，得P===；
画出n=4时，三次传球后的树状图，得P===，
所以通过表示可得出该题规律为P=.
归因与剖析 从这个问题中，我们明显可以得到两点启示：①第（2）小题在考查学生“化归思想”，如果学生遇到一个题目有多个小题，且每个小题所求的结论类似时，可以尝试用第1小题的处理方式来解决之后的小题，这也是“化归思想”想考查学生的地方. ②遇到找规律的题目时，请注意处理方法：从n的最小值开始去研究题目要求的量，不要怕烦琐，直到所代入的数能从结果中发现规律为止，只要将变化部分用字母代替，不变部分照抄就能得出规律.
归纳与反思
概率是中考命题的重点之一，经常与统计、函数、几何图形等知识综合在一起考查，我们需牢固掌握树状图（列表）法，利用概率公式解决此类问题. 题目千变万化，我们需养成良好的审题习惯，善于总结归纳，力争让自己不断提高. 从五类常见错误来看，阅读和理解是第一步，只有正确地把握题目的含义，抓住阶梯的关键因素，才能有效地避免出错，而从学生的问题中，教师也能反思自身课堂的得失，找到最佳的教学方式，实现最好的课堂效果.