论文部分内容阅读
摘要：在社会选择中，针对多阶段群体决策中投票人偏好顺序不同引起的偏好强度差异问题，以及部分投票人的策略投票行为，设计了基于决策效力指数的投票机制，通过投票人偏好的变化频次来确定其决策效力，并在此基础上构建了基于决策效力指数的投票决策模型。分析结果表明，引入决策效力指数，能真实体现出投票人对不同决策对象偏好强度的大小，提高了投票人偏好强度大的候选对象获胜的可能性；在策略性投票的情况下，引入决策效力指数的投票机制能够增加策略性投票的成本，减小策略性投票的可行性及策略性投票所带来的不利影响。
关键词：决策效力指数；策略投票；多阶段群体决策；偏好强度
中图分类号：C931；F224 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1003-8256.2016.01.011
由于社会选择活动的复杂性和特殊要求，很多多候选对象的社会选择活动必须经过多次投票过程才能得出最后的结果。多阶段投票是包含多次群体交互过程，需要综合考虑多轮群体交互所提供的相关信息的动态群体决策过程。在多阶段决策过程中，存在着投票人不断改变自己偏好的情况，例如，投票人偏好的候选对象在某一阶段被淘汰了，则在下一阶段投票人就必须改变自己的偏好，显然两次偏好所承载的对不同候选对象的偏好强度是不同的。另外，由于每一轮投票结果对于投票人来说都是已知的，因此部分投票人为了维护自己的利益，在某些投票阶段可能会采取策略投票行为。
研究防操纵性的投票机制是投票理论研究中的一个重要问题，这种投票机制要能够有效抑制社会选择中的策略投票，促使投票者能表达出自己的真实偏好。Hazon 等[1]研究了在一些常用投票规则下找到一个安全策略投票的复杂性，并在考虑投票人权利指数的条件下分析了相应的算法和投票结果。在多阶段投票中，决策规则的选择对结果的影响也非常大，Peress提出了两种多阶段投票规则，即多阶段淘汰式规则和两次定向规则，这两种投票规则能够在较一般条件下选出Condorcet赢家作为均衡结果。对于学者们所关注的个体偏好表现形式，Cohen等（2008） [2]提出了依赖于过去经验风险的偏好表示方法，这个结果将用于构建一个风险动态选择模型。Tyszler [3]侧重研究了Cordorcet循环存在的情况下策略投票行为的发生，重点关注投票人偏好分布信息以及投票人第二偏好重要度的改变对策略投票行为的影响。Dellis [4]和其他研究二元投票的研究不同，分析了计分式投票规则下的非占优投票策略集合。Xia等[5]基于完全信息动态博弈理论建立了一个多问题领域的序贯投票模型，研究了投票人偏好、投票问题的出现顺序和投票结果之间的关系。Gehrlein等[6]使用IAC模型证实了具有相似偏好的投票者联盟数量的减少将使得产生不受欢迎结果的可能性也相应减少。Luo等[7] 对赞同式投票中的策略稳定性进行了研究。
本文针对多阶段投票过程中存在的偏好改变和某些策略性投票问题，通过引入决策效力指数来反映投票人个体偏好的变化，并基于决策者偏好的变化频次来度量决策者权重，在此基础上，设计了基于决策效力指数的投票决策机制，从而在一定程度上降低策略投票行为对投票结果所产生的不利影响。
1 投票过程分析
多阶段投票采用多阶段过半数决胜制下，即如果存在候选对象获得超过半数的选票，该候选对象胜出，投票结束；否则每阶段淘汰得票数最少的1位候选对象，直至有候选对象获得超过半数的选票，投票结束。在多阶段投票过程中，每次投票前投票人都会了解到前一阶段投票结果。假设多阶段投票中候选对象数为，投票人数为m。由于多阶段选择的复杂性，本文只讨论最后3个候选对象的决策过程，假设最后三个候选对象为。
1.1 诚实投票情况下的偏好变化
令m1，m2，m3分别表示候选对象c1，c2，c3在倒数第二阶段中所获得的选票，设，显然c3被淘汰，并且可以看出，c2是c1的最强竞争者。在最后一阶段的投票中，有，其中s1和s2分别为上一阶段c3的支持者在最后阶段分给c1和c2的选票数。c1在第一阶段即获得了最多的选票，但c3的绝大部分偏好者在自己最喜爱的候选对象被淘汰的情况，转而求其次乃至再求其次把选票投给了c2，最后c2可能仅仅以微弱优势获胜。
1.2 策略性投票情况下的偏好变化
由于每次投票前投票人都会了解到前一阶段投票结果，c1的支持者有可能采用策略性投票行为。投票过程中的策略投票行为是变化和多样的，本文主要讨论部分投票人采用“换位策略”的策略性投票行为。“换位策略” 投票是指在某一投票阶段中，某些投票者可能会主动放弃给自己偏好的候选对象投票，转而把票投给上一轮投票中得票数较少的候选对象，目的是为了能够淘汰自己支持候选对象的最强竞争者，在后面的投票阶段中再把选票重新投给自己支持的候选对象。本例中即可能表现为c1的支持者可能考虑在倒数第二阶段先把自己最强的竞争对手c2淘汰掉。本文假设得票数暂列第一位候选对象的支持者才存在“换位策略”的投票行为。
假定在倒数第二阶段投票中，c1的支持者中有k票策略性地投给了c3，使得本阶段在没有候选对象得票过半数的情况下c2被淘汰，即且。假设在最后阶段投票中，k位策略性投票者又重新把选票投给c1，则c1和c3获得的选票数分别为和，其中和分别为上一阶段c2所获选票分别转投给c1和c3的票数。可以看出，c1的支持者要想采用策略投票，k的取值范围会受到上一阶段投票结果的制约。在最后一阶段的投票中，只要满足，c1即可获胜。
从以上分析可以看出，投票人偏好顺序所代表的偏好强度在投票中没有体现，可能使得部分投票人产生策略性投票的动机；部分投票人谎报偏好的策略性投票行为将可能改变投票结果，使采取策略行为的投票人获益。
2 决策效力指数和多阶段投票决策模型
2.1 决策效力指数和决策效用 一般而言，真实偏好下投票人对候选对象的排序体现了其对候选对象的不同偏爱程度。因此，我们通过定义决策效力指数来体现投票者的偏好顺序对投票结果形成的不同影响，同时减少“换位策略”投票对投票结果造成的不利影响。
定义1 决策效力指数指投票人在某一时间点所具有的效力程度，可以反映出投票人投出的选票对投票结果的影响程度。令表示投票人在第t阶段投票中所具有的决策效力指数，该指数通过投票人在不同阶段投票目标的变更次数来反映其投票的效力。令投票人在第一轮投票中的决策效力指数为1，即。设投票人在第轮和t-1轮投票中选择的候选对象分别为和，则投票人在第t阶段投票中所具有的决策效力指数为
（ 1 ）
其中，令称为效力递减系数，，当时，始终等于1，即每个人的决策效力始终相等；当时，意味着一旦投票人改变他的偏好选择，他的决策效力指数将变成0。关于的取值，一般来说应该在0和1/（m-1）之间，即 ，其中为参加第一轮投票的候选对象数。决策效力指数越大，则投票人投出的选票对投票结果的影响程度越大，反之则越小。
定义2 在第阶段投票中候选对象所获得的效用值定义为：
（2）
引入决策效力指数和决策效用既可以反映出投票人的偏好顺序，也能在一定范围内降低策略投票所带来的不利影响，促使投票人尽可能根据真实偏好来投票。
2.2 多阶段投票决策模型设计
设表示候选对象集合为，表示投票人集合，表示投票阶段。
基于决策效力指数和决策效用定义多阶段投票决策规则：采用多阶段投票制，每次投票淘汰效用值最小的一位候选对象，直至找到一位决策效用超过总效用一半的候选对象，投票结束。如果出现效用值排在最后的多位候选对象无差异的情况，则对于这几位候选对象单独追加投票，选出一位被淘汰的候选对象，然后进入下一轮投票。
投票人可以在所有投票阶段都选择同一位候选对象，也可以选择不同的候选对象。注意，投票人即使在每轮投票中都更换候选对象并不意味着投票人在m-1轮投票中共选择了m-1个不同的候选对象。例如，投票人在第一轮投票中选择了，第二轮投票中选择了，而在第三轮投票中又选择了，目的是为了能够淘汰掉跟竞争最激烈或比较激烈的候选对象，这种情况在策略性投票中是经常存在的。很显然，如果投票人坚持只投票给固定的候选对象，那么他的决策效力指数将一直保持最大，为1；反之，如果他不停地更换投票对象，那么他的决策效力指数将越来越小，即该投票人所拥有选票在确定选举结果中所发挥的作用越来越小。决策效力指数是以投票人投票对象的改变次数为依据的，这样不仅能够体现出某张选票上所承载的偏好信息，也能在一定程度上防止策略性投票行为的发生。
其中，表示第（t-1）阶段投票，即倒数第二阶段的总效用，根据前面的假设条件得出：
很容易可以证明，，即k的最小取值变大了，而在不考虑决策效力指数的情况下，只需要满足即可，说明的支持者要想通过策略投票淘汰，需要付出更大的代价。
下面考虑最后一个投票阶段。已知投票阶段和 获得的选票数分别为和，根据公式（2）得出最后投票阶段的决策效用为：
的决策效用为：
在策略性投票情况下，如果不考虑决策效力指数，在最后一阶段只要满足满足，即可获胜。
下面说明在引入决策效力指数的情况下，并不能保证一定获胜。在最后一个投票阶段，有：
由已知得，但很显然，并非一定大于0。
从最后两个阶段的投票过程分析可以看出，决策效力指数的引入使得策略性投票的成本增加，而且投票总的阶段数越多，策略性投票的成本也会越高，策略性投票结果的不确定也越大。
4 结语
为了充分体现每张选票上所承载的投票人偏好强度信息，以及增加策略性投票的成本，减小策略性投票的可行性，本文在多阶段投票决策过程中引入决策效力指数，来集结不同阶段选票中所包含的有效信息。分析结果表明，引入决策效力指数，能真实体现出投票人对不同决策对象偏好强度的大小，提高了投票人偏好强度大的候选对象获胜的可能性；在策略性投票的情况下，引入了决策效力指数的投票机制能够增加策略性投票的成本，减小策略性投票的可行性，减少策略性投票所带来的不利影响。
本文在算例分析中只考虑了部分投票人采用“换位策略”的策略投票过程，而在实际的投票过程中，策略投票过程是一个多人参与的复杂动态博弈过程，投票人实施策略投票行为是会考虑到个体偏好、博弈均衡、博弈成本等多方面要素的综合行为。在后续的研究中作者会做更深入的分析和论证。
参考文献：
[1] Hazon N， Elkind E. Complexity of safe strategic voting[M]. Algorithmic Game Theory. Springer Berlin Heidelberg， 2010： 210-221.
[2] Peress M.. Selecting the condorcet winner： single-stage versus multi-stage voting rules[J]. Public Choice， 2008， 137（1）： 207-220.
[3] Tyszler M. Information and strategic voting[D]. Mphil. Thesis， Tinbergen， 2008.
[4] Dellis A. Weak undominance in scoring rule elections[J]. Mathematical Social Sciences， 2010， 59（1）： 110-119.
[5] Xia L， Conitzer V， Lang J. Strategic sequential voting in multi-issue domains and multiple-election paradoxes[C].Proceedings of the 12th ACM conference on Electronic commerce. ACM， 2011： 179-188. [6] Gehrlein W V， Moyouwou I， Lepelley D. The impact of voters’ preference diversity on the probability of some electoral outcomes. Mathematical Social Sciences， 2013， 66（3）：352-365.
[7] Luo Y.， Yue C.， Chen T. Strategy stability and sincerity in approval voting[J]. Social Choice and Welfare， 1996， 13（1）： 17-23.
（责任编辑：龙 蓉）
A Voting Model in Multi-stage Group Decision-making Based on Decision Power Index
ZOU Yan，Dong Jingrong，Chen Weijie
（School of Economics and Management，Chongqing Normal University， Chongqing 400047）
Abstract： multi-stage group decision-making， considering different preference intensity resulted from voter’s preference orders and particular actions for strategic voting， this paper presents a voting mechanism based on decision utility index which is deduced by variation frequency of a voter’s preference， and constructs corresponding decision-making models. The results show （1） the voting mechanism based on decision utility index embodies preference intensity of a voter for different candidates， and increases probability of winning for a voter with more high preferences； （2） under strategic voting， the voting mechanism increases the cost of strategic voting， reduces practicability of strategic voting and corresponding adverse effect on the voting result.
Key words：Decision utility index；Strategic voting；Multi-stage group decision-making；Preference density
关键词：决策效力指数；策略投票；多阶段群体决策；偏好强度
中图分类号：C931；F224 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1003-8256.2016.01.011
由于社会选择活动的复杂性和特殊要求，很多多候选对象的社会选择活动必须经过多次投票过程才能得出最后的结果。多阶段投票是包含多次群体交互过程，需要综合考虑多轮群体交互所提供的相关信息的动态群体决策过程。在多阶段决策过程中，存在着投票人不断改变自己偏好的情况，例如，投票人偏好的候选对象在某一阶段被淘汰了，则在下一阶段投票人就必须改变自己的偏好，显然两次偏好所承载的对不同候选对象的偏好强度是不同的。另外，由于每一轮投票结果对于投票人来说都是已知的，因此部分投票人为了维护自己的利益，在某些投票阶段可能会采取策略投票行为。
研究防操纵性的投票机制是投票理论研究中的一个重要问题，这种投票机制要能够有效抑制社会选择中的策略投票，促使投票者能表达出自己的真实偏好。Hazon 等[1]研究了在一些常用投票规则下找到一个安全策略投票的复杂性，并在考虑投票人权利指数的条件下分析了相应的算法和投票结果。在多阶段投票中，决策规则的选择对结果的影响也非常大，Peress提出了两种多阶段投票规则，即多阶段淘汰式规则和两次定向规则，这两种投票规则能够在较一般条件下选出Condorcet赢家作为均衡结果。对于学者们所关注的个体偏好表现形式，Cohen等（2008） [2]提出了依赖于过去经验风险的偏好表示方法，这个结果将用于构建一个风险动态选择模型。Tyszler [3]侧重研究了Cordorcet循环存在的情况下策略投票行为的发生，重点关注投票人偏好分布信息以及投票人第二偏好重要度的改变对策略投票行为的影响。Dellis [4]和其他研究二元投票的研究不同，分析了计分式投票规则下的非占优投票策略集合。Xia等[5]基于完全信息动态博弈理论建立了一个多问题领域的序贯投票模型，研究了投票人偏好、投票问题的出现顺序和投票结果之间的关系。Gehrlein等[6]使用IAC模型证实了具有相似偏好的投票者联盟数量的减少将使得产生不受欢迎结果的可能性也相应减少。Luo等[7] 对赞同式投票中的策略稳定性进行了研究。
本文针对多阶段投票过程中存在的偏好改变和某些策略性投票问题，通过引入决策效力指数来反映投票人个体偏好的变化，并基于决策者偏好的变化频次来度量决策者权重，在此基础上，设计了基于决策效力指数的投票决策机制，从而在一定程度上降低策略投票行为对投票结果所产生的不利影响。
1 投票过程分析
多阶段投票采用多阶段过半数决胜制下，即如果存在候选对象获得超过半数的选票，该候选对象胜出，投票结束；否则每阶段淘汰得票数最少的1位候选对象，直至有候选对象获得超过半数的选票，投票结束。在多阶段投票过程中，每次投票前投票人都会了解到前一阶段投票结果。假设多阶段投票中候选对象数为，投票人数为m。由于多阶段选择的复杂性，本文只讨论最后3个候选对象的决策过程，假设最后三个候选对象为。
1.1 诚实投票情况下的偏好变化
令m1，m2，m3分别表示候选对象c1，c2，c3在倒数第二阶段中所获得的选票，设，显然c3被淘汰，并且可以看出，c2是c1的最强竞争者。在最后一阶段的投票中，有，其中s1和s2分别为上一阶段c3的支持者在最后阶段分给c1和c2的选票数。c1在第一阶段即获得了最多的选票，但c3的绝大部分偏好者在自己最喜爱的候选对象被淘汰的情况，转而求其次乃至再求其次把选票投给了c2，最后c2可能仅仅以微弱优势获胜。
1.2 策略性投票情况下的偏好变化
由于每次投票前投票人都会了解到前一阶段投票结果，c1的支持者有可能采用策略性投票行为。投票过程中的策略投票行为是变化和多样的，本文主要讨论部分投票人采用“换位策略”的策略性投票行为。“换位策略” 投票是指在某一投票阶段中，某些投票者可能会主动放弃给自己偏好的候选对象投票，转而把票投给上一轮投票中得票数较少的候选对象，目的是为了能够淘汰自己支持候选对象的最强竞争者，在后面的投票阶段中再把选票重新投给自己支持的候选对象。本例中即可能表现为c1的支持者可能考虑在倒数第二阶段先把自己最强的竞争对手c2淘汰掉。本文假设得票数暂列第一位候选对象的支持者才存在“换位策略”的投票行为。
假定在倒数第二阶段投票中，c1的支持者中有k票策略性地投给了c3，使得本阶段在没有候选对象得票过半数的情况下c2被淘汰，即且。假设在最后阶段投票中，k位策略性投票者又重新把选票投给c1，则c1和c3获得的选票数分别为和，其中和分别为上一阶段c2所获选票分别转投给c1和c3的票数。可以看出，c1的支持者要想采用策略投票，k的取值范围会受到上一阶段投票结果的制约。在最后一阶段的投票中，只要满足，c1即可获胜。
从以上分析可以看出，投票人偏好顺序所代表的偏好强度在投票中没有体现，可能使得部分投票人产生策略性投票的动机；部分投票人谎报偏好的策略性投票行为将可能改变投票结果，使采取策略行为的投票人获益。
2 决策效力指数和多阶段投票决策模型
2.1 决策效力指数和决策效用 一般而言，真实偏好下投票人对候选对象的排序体现了其对候选对象的不同偏爱程度。因此，我们通过定义决策效力指数来体现投票者的偏好顺序对投票结果形成的不同影响，同时减少“换位策略”投票对投票结果造成的不利影响。
定义1 决策效力指数指投票人在某一时间点所具有的效力程度，可以反映出投票人投出的选票对投票结果的影响程度。令表示投票人在第t阶段投票中所具有的决策效力指数，该指数通过投票人在不同阶段投票目标的变更次数来反映其投票的效力。令投票人在第一轮投票中的决策效力指数为1，即。设投票人在第轮和t-1轮投票中选择的候选对象分别为和，则投票人在第t阶段投票中所具有的决策效力指数为
（ 1 ）
其中，令称为效力递减系数，，当时，始终等于1，即每个人的决策效力始终相等；当时，意味着一旦投票人改变他的偏好选择，他的决策效力指数将变成0。关于的取值，一般来说应该在0和1/（m-1）之间，即 ，其中为参加第一轮投票的候选对象数。决策效力指数越大，则投票人投出的选票对投票结果的影响程度越大，反之则越小。
定义2 在第阶段投票中候选对象所获得的效用值定义为：
（2）
引入决策效力指数和决策效用既可以反映出投票人的偏好顺序，也能在一定范围内降低策略投票所带来的不利影响，促使投票人尽可能根据真实偏好来投票。
2.2 多阶段投票决策模型设计
设表示候选对象集合为，表示投票人集合，表示投票阶段。
基于决策效力指数和决策效用定义多阶段投票决策规则：采用多阶段投票制，每次投票淘汰效用值最小的一位候选对象，直至找到一位决策效用超过总效用一半的候选对象，投票结束。如果出现效用值排在最后的多位候选对象无差异的情况，则对于这几位候选对象单独追加投票，选出一位被淘汰的候选对象，然后进入下一轮投票。
投票人可以在所有投票阶段都选择同一位候选对象，也可以选择不同的候选对象。注意，投票人即使在每轮投票中都更换候选对象并不意味着投票人在m-1轮投票中共选择了m-1个不同的候选对象。例如，投票人在第一轮投票中选择了，第二轮投票中选择了，而在第三轮投票中又选择了，目的是为了能够淘汰掉跟竞争最激烈或比较激烈的候选对象，这种情况在策略性投票中是经常存在的。很显然，如果投票人坚持只投票给固定的候选对象，那么他的决策效力指数将一直保持最大，为1；反之，如果他不停地更换投票对象，那么他的决策效力指数将越来越小，即该投票人所拥有选票在确定选举结果中所发挥的作用越来越小。决策效力指数是以投票人投票对象的改变次数为依据的，这样不仅能够体现出某张选票上所承载的偏好信息，也能在一定程度上防止策略性投票行为的发生。
其中，表示第（t-1）阶段投票，即倒数第二阶段的总效用，根据前面的假设条件得出：
很容易可以证明，，即k的最小取值变大了，而在不考虑决策效力指数的情况下，只需要满足即可，说明的支持者要想通过策略投票淘汰，需要付出更大的代价。
下面考虑最后一个投票阶段。已知投票阶段和 获得的选票数分别为和，根据公式（2）得出最后投票阶段的决策效用为：
的决策效用为：
在策略性投票情况下，如果不考虑决策效力指数，在最后一阶段只要满足满足，即可获胜。
下面说明在引入决策效力指数的情况下，并不能保证一定获胜。在最后一个投票阶段，有：
由已知得，但很显然，并非一定大于0。
从最后两个阶段的投票过程分析可以看出，决策效力指数的引入使得策略性投票的成本增加，而且投票总的阶段数越多，策略性投票的成本也会越高，策略性投票结果的不确定也越大。
4 结语
为了充分体现每张选票上所承载的投票人偏好强度信息，以及增加策略性投票的成本，减小策略性投票的可行性，本文在多阶段投票决策过程中引入决策效力指数，来集结不同阶段选票中所包含的有效信息。分析结果表明，引入决策效力指数，能真实体现出投票人对不同决策对象偏好强度的大小，提高了投票人偏好强度大的候选对象获胜的可能性；在策略性投票的情况下，引入了决策效力指数的投票机制能够增加策略性投票的成本，减小策略性投票的可行性，减少策略性投票所带来的不利影响。
本文在算例分析中只考虑了部分投票人采用“换位策略”的策略投票过程，而在实际的投票过程中，策略投票过程是一个多人参与的复杂动态博弈过程，投票人实施策略投票行为是会考虑到个体偏好、博弈均衡、博弈成本等多方面要素的综合行为。在后续的研究中作者会做更深入的分析和论证。
参考文献：
[1] Hazon N， Elkind E. Complexity of safe strategic voting[M]. Algorithmic Game Theory. Springer Berlin Heidelberg， 2010： 210-221.
[2] Peress M.. Selecting the condorcet winner： single-stage versus multi-stage voting rules[J]. Public Choice， 2008， 137（1）： 207-220.
[3] Tyszler M. Information and strategic voting[D]. Mphil. Thesis， Tinbergen， 2008.
[4] Dellis A. Weak undominance in scoring rule elections[J]. Mathematical Social Sciences， 2010， 59（1）： 110-119.
[5] Xia L， Conitzer V， Lang J. Strategic sequential voting in multi-issue domains and multiple-election paradoxes[C].Proceedings of the 12th ACM conference on Electronic commerce. ACM， 2011： 179-188. [6] Gehrlein W V， Moyouwou I， Lepelley D. The impact of voters’ preference diversity on the probability of some electoral outcomes. Mathematical Social Sciences， 2013， 66（3）：352-365.
[7] Luo Y.， Yue C.， Chen T. Strategy stability and sincerity in approval voting[J]. Social Choice and Welfare， 1996， 13（1）： 17-23.
（责任编辑：龙 蓉）
A Voting Model in Multi-stage Group Decision-making Based on Decision Power Index
ZOU Yan，Dong Jingrong，Chen Weijie
（School of Economics and Management，Chongqing Normal University， Chongqing 400047）
Abstract： multi-stage group decision-making， considering different preference intensity resulted from voter’s preference orders and particular actions for strategic voting， this paper presents a voting mechanism based on decision utility index which is deduced by variation frequency of a voter’s preference， and constructs corresponding decision-making models. The results show （1） the voting mechanism based on decision utility index embodies preference intensity of a voter for different candidates， and increases probability of winning for a voter with more high preferences； （2） under strategic voting， the voting mechanism increases the cost of strategic voting， reduces practicability of strategic voting and corresponding adverse effect on the voting result.
Key words：Decision utility index；Strategic voting；Multi-stage group decision-making；Preference density