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摘要: 大一新生学习《高等代数》普遍感到概念抽象难记,定理论证难懂,习题解答难做。这些学习障碍直接影响到学生对知识的掌握与应用。为让学生更好地学习《高等代数》,本文作者结合教学实践,提出了若干对策,以期克服这些障碍,提高学生的学习效率。
关键词: 《高等代数》学习障碍排除对策
《高等代数》是数学专业的核心课程之一,其教学目的是使學生初步掌握比较系统的代数知识与严格的代数方法,培养和发展学生的抽象思维能力与逻辑推理能力,为进一步学习其它专业课程打下基础。这门课程具有高度的抽象性、严密的逻辑性和完整的系统性三大特点,因而大一学生刚接触时有较难学、不易掌握之感。
一、学习障碍的具体表现及原因
学习障碍具体表现为:在课堂听讲时基本概念理解不清,定理内容不明,性质的推导和证明不懂;阅读教材时认为前后衔接不上,不明意思,形成不了整体认识;在做习题时,对证明题找不到思路或缺乏明确思路,导致无法动笔或不能完整证明,对求解题,不会运用所学知识,或因基本技能不熟练而不能完整解答。出现这些障碍的原因是多方面的,除了学生数学基础的牢固程度与主观学习积极性外,很重要的一点是客观上《高等代数》比《初等代数》中研究对象更多,抽象化、形式化程度更高,运算与推理也更繁杂,而此时学生刚走出中学大门,他们的学习习惯和思维方式还是中学阶段固有的模式,比如听课时许多同学把重点放在“解题方法和步骤”而不关注“知识的发生过程”,做题时对类型、套模式,不能迅速适应大学课程的学习。
二、排除对策
1.注意《高等代数》与初等数学间的联系与区别。
在学习内容上,教师要在多项式、线性方程组、矩阵及二次型中充分发挥初等数学的源头作用,让学生找到高度抽象的《高等代数》概念的初始源头,在联系对比中辨别其异同,从而加深印象。通过这种比较,学生能体会和理解到《高等代数》研究问题着眼于一般化、普遍性问题的整体解决,而初等数学通常只注重具体问题的个别解决。从学习方法上,教师要指导学生从中学的被动接受过渡到大学的主动获取,主动发现问题、主动查阅资料、主动探求解决问题的方法;从习惯具体的一招一式的方法步骤到掌握本质,领悟其思想内涵。
2.学习《高等代数》,首先要学好概念。
《高等代数》中的概念,突出的特点是高度的概括性与高度抽象性。如“向量空间”定义中的加法与数乘不只是通常的加法与数乘,所给的向量空间也不是简单的几何模型所能体现出来的。这就要求学生在学习概念时,首先要深刻体会,反复琢磨,挖掘出每个概念的关键含义。其次要弄清概念与概念之间的联系。《高等代数》中,有时概念之中有概念,比如向量空间中不变子空间的概念,就包含向量空间、线性变换和子空间三个概念。如果其中一个概念不清楚,势必影响对不变子空间这个概念的理解。再次还必须知道一些实例。《高等代数》中概念的给出,常常引入一些实例作为抽象概念的引导,这可使学生了解这些概念的实际背景。而通过实例学生学生还可了解这个概念出现的具体简单场合和一些重要的特殊情况,进而明确其应用范围和定义中关键所在。最后要弄清概念的结构,一般分为基本条件、特点和结论三部分,这有助于学生加深对概念的理解与记忆。
3.学习《高等代数》,要掌握好定理。
定理是概念之间的规律性联系,是《高等代数》的核心部分,在这门课程中所获得的规律性认识,主要来源于定理。学生要学好定理,一方面要深入理解定理中所包含的内容,记住结论,搞清定理成立的前提条件,会运用定理进行论证,另一方面要认真弄懂定理的证明过程。有些定理的证明,对培养学生的分析问题能力与逻辑推理能力方面的作用比定理本身的意义还要大。一般来说,初学者要读懂一个定理的证明,需要反复阅读几遍,并认真思考,从中理出证明的思路与方法。这个严格的数学训练过程对提高学生的思维能力和解题能力是大有裨益的。
4.学习《高等代数》,要做一定数量的习题。
学习《高等代数》只看书不做题肯定不行。《高等代数》内容前后联系紧密,互相渗透,学生在做题时要注重知识点的衔接与转换,知识要成网,使所学知识融会贯通,这样思路才会开阔。《高等代数》教材中的习题包括计算题和证明题两部分,计算题能巩固和加深学生对概念的理解,其中有些计算量比较大,如求最大公因式,求线性方程组的通解,求矩阵特征值与特征向量等。《高等代数》中习题的主体是证明题,它有助于培养学生的抽象思维能力与逻辑推理能力,因此学生要重视它,多花时间与精力去提高解答证明题的能力,当然,这需要一个积累的过程。除了教材上的一般习题,笔者建议学生选择性地做一本配套的有选择及填空题型的参考资料上的课外习题。
5.学习《高等代数》,要注重归纳总结,使知识系统化。
学习《高等代数》,要善于归纳总结。一方面,对每一章,在教师指导下,学生及时完成知识的系统化整理是必要的。这样学生自己可检查对知识的掌握情况,及时查漏补缺。另一方面,所谓“站得高可看得远”,对全书来说,学生还必须注意弄清章与章、节与节之间的内在联系,理清来龙去脉,这样可从宏观整体上理解和把握教材。
参考文献:
[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[2]胡运红.关于高等代数教学的几点思考[J].运城学院学报,2004,(2).
[3]国建群.浅谈如何学好高等代数[J].邢台师范高专学报,2001,(2).
关键词: 《高等代数》学习障碍排除对策
《高等代数》是数学专业的核心课程之一,其教学目的是使學生初步掌握比较系统的代数知识与严格的代数方法,培养和发展学生的抽象思维能力与逻辑推理能力,为进一步学习其它专业课程打下基础。这门课程具有高度的抽象性、严密的逻辑性和完整的系统性三大特点,因而大一学生刚接触时有较难学、不易掌握之感。
一、学习障碍的具体表现及原因
学习障碍具体表现为:在课堂听讲时基本概念理解不清,定理内容不明,性质的推导和证明不懂;阅读教材时认为前后衔接不上,不明意思,形成不了整体认识;在做习题时,对证明题找不到思路或缺乏明确思路,导致无法动笔或不能完整证明,对求解题,不会运用所学知识,或因基本技能不熟练而不能完整解答。出现这些障碍的原因是多方面的,除了学生数学基础的牢固程度与主观学习积极性外,很重要的一点是客观上《高等代数》比《初等代数》中研究对象更多,抽象化、形式化程度更高,运算与推理也更繁杂,而此时学生刚走出中学大门,他们的学习习惯和思维方式还是中学阶段固有的模式,比如听课时许多同学把重点放在“解题方法和步骤”而不关注“知识的发生过程”,做题时对类型、套模式,不能迅速适应大学课程的学习。
二、排除对策
1.注意《高等代数》与初等数学间的联系与区别。
在学习内容上,教师要在多项式、线性方程组、矩阵及二次型中充分发挥初等数学的源头作用,让学生找到高度抽象的《高等代数》概念的初始源头,在联系对比中辨别其异同,从而加深印象。通过这种比较,学生能体会和理解到《高等代数》研究问题着眼于一般化、普遍性问题的整体解决,而初等数学通常只注重具体问题的个别解决。从学习方法上,教师要指导学生从中学的被动接受过渡到大学的主动获取,主动发现问题、主动查阅资料、主动探求解决问题的方法;从习惯具体的一招一式的方法步骤到掌握本质,领悟其思想内涵。
2.学习《高等代数》,首先要学好概念。
《高等代数》中的概念,突出的特点是高度的概括性与高度抽象性。如“向量空间”定义中的加法与数乘不只是通常的加法与数乘,所给的向量空间也不是简单的几何模型所能体现出来的。这就要求学生在学习概念时,首先要深刻体会,反复琢磨,挖掘出每个概念的关键含义。其次要弄清概念与概念之间的联系。《高等代数》中,有时概念之中有概念,比如向量空间中不变子空间的概念,就包含向量空间、线性变换和子空间三个概念。如果其中一个概念不清楚,势必影响对不变子空间这个概念的理解。再次还必须知道一些实例。《高等代数》中概念的给出,常常引入一些实例作为抽象概念的引导,这可使学生了解这些概念的实际背景。而通过实例学生学生还可了解这个概念出现的具体简单场合和一些重要的特殊情况,进而明确其应用范围和定义中关键所在。最后要弄清概念的结构,一般分为基本条件、特点和结论三部分,这有助于学生加深对概念的理解与记忆。
3.学习《高等代数》,要掌握好定理。
定理是概念之间的规律性联系,是《高等代数》的核心部分,在这门课程中所获得的规律性认识,主要来源于定理。学生要学好定理,一方面要深入理解定理中所包含的内容,记住结论,搞清定理成立的前提条件,会运用定理进行论证,另一方面要认真弄懂定理的证明过程。有些定理的证明,对培养学生的分析问题能力与逻辑推理能力方面的作用比定理本身的意义还要大。一般来说,初学者要读懂一个定理的证明,需要反复阅读几遍,并认真思考,从中理出证明的思路与方法。这个严格的数学训练过程对提高学生的思维能力和解题能力是大有裨益的。
4.学习《高等代数》,要做一定数量的习题。
学习《高等代数》只看书不做题肯定不行。《高等代数》内容前后联系紧密,互相渗透,学生在做题时要注重知识点的衔接与转换,知识要成网,使所学知识融会贯通,这样思路才会开阔。《高等代数》教材中的习题包括计算题和证明题两部分,计算题能巩固和加深学生对概念的理解,其中有些计算量比较大,如求最大公因式,求线性方程组的通解,求矩阵特征值与特征向量等。《高等代数》中习题的主体是证明题,它有助于培养学生的抽象思维能力与逻辑推理能力,因此学生要重视它,多花时间与精力去提高解答证明题的能力,当然,这需要一个积累的过程。除了教材上的一般习题,笔者建议学生选择性地做一本配套的有选择及填空题型的参考资料上的课外习题。
5.学习《高等代数》,要注重归纳总结,使知识系统化。
学习《高等代数》,要善于归纳总结。一方面,对每一章,在教师指导下,学生及时完成知识的系统化整理是必要的。这样学生自己可检查对知识的掌握情况,及时查漏补缺。另一方面,所谓“站得高可看得远”,对全书来说,学生还必须注意弄清章与章、节与节之间的内在联系,理清来龙去脉,这样可从宏观整体上理解和把握教材。
参考文献:
[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[2]胡运红.关于高等代数教学的几点思考[J].运城学院学报,2004,(2).
[3]国建群.浅谈如何学好高等代数[J].邢台师范高专学报,2001,(2).