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金属棒在磁场中的运动问题是历年高考的重点和热点,其频考的原因,是因为该类问题是力学和电学的综合问题,通过它可以考查学生综合运用知识的能力.解决这类问题往往都要在正确分析金属棒动力学关系的基础上,判断棒最终的运动状态,即金属棒的收尾运动.为了引导同学们熟练处理此类问题,本文作如下归类例析:
一、一根金属棒收尾运动
1.金属棒与电阻构成回路
【例1】 如图1所示,MM′、NN′是两根足够长固定的平行金属导轨,两导轨间距为L,导轨平面与水平面的夹角为θ,导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场,磁感应强度为B,在导轨的M、N两端之间连接一阻值为R的电阻.一根垂直于导轨放置的金属棒ab,质量为m,从静止开始沿导轨下滑,已知ab 棒和导轨间的动摩擦因素为μ,导轨和金属棒的电阻不计,求ab棒的最大速度.
图1_____图2
解析:以ab棒为研究对象,其受力情况如图2所示.ab棒所受安培力F=BIL=B2L2vR.ab棒下滑的加速度为
a=F合m=mgsinθ-μmgcosθ-B2L2vRm.
可见,ab棒从静止开始下滑,速度v不断增大,安培力F也增大,因而合外力F合减小,加速度a减小,当a=0时,图3达到稳定状态,ab棒以最大速度vm做匀速运动.
令a=0,解得vm=mgR(sinθ-μmgcosθ)B2L2.速度图像如图3所示.
2.金属棒与电源构成回路
图4
【例2】 如图4所示,一水平放置的导轨,宽为L,放在竖直向上的匀强磁场中,其左端接一恒定的电源,电动势为E.导轨上有ab金属棒,已知金属棒与水平导轨之间的摩擦力为f,回路总电阻为R,现闭合开关,金属棒开始运动,求金属棒的最后速度?
解析:由于电源的作用,回路中将产生电流,金属棒受到安培力作用而开始运动,运动后,金属棒产生的感应电动势与电源的电动势方向相反,随着金属棒速度的增加,感应电动势也增大,回路电流不断减小,安培力也将减小,当安培力等于金属棒与轨道间的摩擦力时,金属棒达到稳定状态,以最大速度vm匀速运动.
金属棒产生的感应电动势E′=BLvm,回路中的电流I=E-BLvmR,金属棒受到的安培力F=BIL=BL(E-BLvm)/R.根据F=f,解得:vm=(BLE-fR)/B2L2.速度图像与图3相似.
3.金属棒与电容器构成回路
图5
【例3】 如图5所示两根竖直放在绝缘地面上的金属框架宽为L,磁感应强度为B的匀强磁场与框架平面垂直,一质量为m的金属棒放在框架上,金属棒接触良好且无摩擦,框架上方串接一个电容为C的电容器,开始时不带电,现将金属棒从离地高为h处无初速释放,求棒落地时的速度?
图6
解析:棒在磁场中下落时,必然要切割磁感线产生一定的感应电动势,又由于电容器可以容纳电荷,因此回路中就要形成一个充电电流,使棒受到一个竖直向上的安培力的作用.设某一时刻棒下落的加速度为a,速度为v,那么金属棒感应电动势为E=BLv,电容器两端的电压为U=E=BLv,通过金属棒的充电电流为I=△Q/△t=C△u/△t=CBL(△v△t)=CBLa,金属棒受到的安培力F=BIL=B2L2Ca(向上).对金属棒运用牛顿第二定律:mg-B2L2Ca=ma,解得a=mg/(m+B2L2C)(常量),可见,棒的下落是一种匀加速直线运动,落地时速度达到最大vm,由v2m=2ah得vm=2mghm+B2L2C.速度图像如图6所示.
二、两根金属棒收尾运动
1.有初速度,但不受其他外力作用
【例4】 光滑平行导轨框架ABC、EFG水平放置,空间存在一个竖直向上的匀强磁场,两根相同的金属棒a和b垂直放在导轨上,如图7所示,图中导轨宽部间距为窄部间距的2倍,宽部和窄部均足够长.现给a棒一个冲击,图7使其得到一个向右的速度v0.求两金属棒最后稳定时的速度va和vb.(金属棒和导轨框架的电阻不计)
解析:当a棒向右运动时,电路中将产生感应电流,b棒因受磁场力的作用而加速,a棒因受磁场力的作用而减速,当b棒的速度vb为a棒的速度va的2倍时,回路中磁通量不再变化,感应电流为零,此时,两棒的加速度为0,图8两棒开始做匀速运动.显然,a棒受到的磁场力Fa是b棒受到的磁场力Fb的2倍.因此,本题不能运用动量守恒定律解答.
对a、b棒分别运用动量定理.对a棒有:-Fa•t=mva-mv, 对b棒有:Fbt=mvb.再据vb=2va,Fa=2Fb.联立解得:va=15v0,vb=25v0.速度图像如图8所示.
2.无初速度,但受其他水平外力作用
图9
【例5】 如图9所示,在平行导轨上放置两根质量均为m、电阻均为R、长度均为L的A、B两金属棒,两棒与导轨间的滑动摩擦力也均为f.现突然给A棒一恒定的水平外力F的作用,试定性讨论A、B两金属棒的运动情况.
解析:(1)当F≤2f时,A棒有:F-f-F安=ma,所以F安≤f,则B棒处于静止状态.A棒加速,感应电流和安培力会变大,故A棒的加速度将逐渐减小.当安培力增大到F安=f时,此后若A棒继续加速(a>0),F安继续增大,将F安>f代入F-f-F安=ma,得F>2f,图10这与题设“F≤2f”矛盾,可见,当安培力增大到F安=f时,此后A棒不再加速,做匀速直线运动,而B棒一直处于静止.速度图像如图10所示.
(2)当F>f时,对A棒有:F-f-F安=ma,所以F安>f,可见B棒也将开始作变加速运动,但aA>aB,两者的速度之差越来越大.因为总电动势E=BL(vA-vB),故I感和F安会变大,aA减小而aB增大,当aA=aB时,此后假设“aA继续减小,aB继续增大”,由E=BL(vA-vB)知:E减小,I感减小,F安减小.由aA=(F-f-F安)/m,aB=(F安-f)/m得:aA增大而aB减小,图11这与假设“aA继续减小aB继续增大”相矛盾.因此,当aA=aB时,此后A、B两棒均作匀变速运动.速度图像如图11所示.
综上所述,金属棒收尾运动的情形虽然较多,但是解题的基本思路相同,那就是:金属棒运动→产生感应电动势→影响回路电流→a棒受安培力的变化→b棒运动状态的变化→棒最终处于一种稳定的收尾运动.
(责任编辑:易志毅)
一、一根金属棒收尾运动
1.金属棒与电阻构成回路
【例1】 如图1所示,MM′、NN′是两根足够长固定的平行金属导轨,两导轨间距为L,导轨平面与水平面的夹角为θ,导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场,磁感应强度为B,在导轨的M、N两端之间连接一阻值为R的电阻.一根垂直于导轨放置的金属棒ab,质量为m,从静止开始沿导轨下滑,已知ab 棒和导轨间的动摩擦因素为μ,导轨和金属棒的电阻不计,求ab棒的最大速度.
图1_____图2
解析:以ab棒为研究对象,其受力情况如图2所示.ab棒所受安培力F=BIL=B2L2vR.ab棒下滑的加速度为
a=F合m=mgsinθ-μmgcosθ-B2L2vRm.
可见,ab棒从静止开始下滑,速度v不断增大,安培力F也增大,因而合外力F合减小,加速度a减小,当a=0时,图3达到稳定状态,ab棒以最大速度vm做匀速运动.
令a=0,解得vm=mgR(sinθ-μmgcosθ)B2L2.速度图像如图3所示.
2.金属棒与电源构成回路
图4
【例2】 如图4所示,一水平放置的导轨,宽为L,放在竖直向上的匀强磁场中,其左端接一恒定的电源,电动势为E.导轨上有ab金属棒,已知金属棒与水平导轨之间的摩擦力为f,回路总电阻为R,现闭合开关,金属棒开始运动,求金属棒的最后速度?
解析:由于电源的作用,回路中将产生电流,金属棒受到安培力作用而开始运动,运动后,金属棒产生的感应电动势与电源的电动势方向相反,随着金属棒速度的增加,感应电动势也增大,回路电流不断减小,安培力也将减小,当安培力等于金属棒与轨道间的摩擦力时,金属棒达到稳定状态,以最大速度vm匀速运动.
金属棒产生的感应电动势E′=BLvm,回路中的电流I=E-BLvmR,金属棒受到的安培力F=BIL=BL(E-BLvm)/R.根据F=f,解得:vm=(BLE-fR)/B2L2.速度图像与图3相似.
3.金属棒与电容器构成回路
图5
【例3】 如图5所示两根竖直放在绝缘地面上的金属框架宽为L,磁感应强度为B的匀强磁场与框架平面垂直,一质量为m的金属棒放在框架上,金属棒接触良好且无摩擦,框架上方串接一个电容为C的电容器,开始时不带电,现将金属棒从离地高为h处无初速释放,求棒落地时的速度?
图6
解析:棒在磁场中下落时,必然要切割磁感线产生一定的感应电动势,又由于电容器可以容纳电荷,因此回路中就要形成一个充电电流,使棒受到一个竖直向上的安培力的作用.设某一时刻棒下落的加速度为a,速度为v,那么金属棒感应电动势为E=BLv,电容器两端的电压为U=E=BLv,通过金属棒的充电电流为I=△Q/△t=C△u/△t=CBL(△v△t)=CBLa,金属棒受到的安培力F=BIL=B2L2Ca(向上).对金属棒运用牛顿第二定律:mg-B2L2Ca=ma,解得a=mg/(m+B2L2C)(常量),可见,棒的下落是一种匀加速直线运动,落地时速度达到最大vm,由v2m=2ah得vm=2mghm+B2L2C.速度图像如图6所示.
二、两根金属棒收尾运动
1.有初速度,但不受其他外力作用
【例4】 光滑平行导轨框架ABC、EFG水平放置,空间存在一个竖直向上的匀强磁场,两根相同的金属棒a和b垂直放在导轨上,如图7所示,图中导轨宽部间距为窄部间距的2倍,宽部和窄部均足够长.现给a棒一个冲击,图7使其得到一个向右的速度v0.求两金属棒最后稳定时的速度va和vb.(金属棒和导轨框架的电阻不计)
解析:当a棒向右运动时,电路中将产生感应电流,b棒因受磁场力的作用而加速,a棒因受磁场力的作用而减速,当b棒的速度vb为a棒的速度va的2倍时,回路中磁通量不再变化,感应电流为零,此时,两棒的加速度为0,图8两棒开始做匀速运动.显然,a棒受到的磁场力Fa是b棒受到的磁场力Fb的2倍.因此,本题不能运用动量守恒定律解答.
对a、b棒分别运用动量定理.对a棒有:-Fa•t=mva-mv, 对b棒有:Fbt=mvb.再据vb=2va,Fa=2Fb.联立解得:va=15v0,vb=25v0.速度图像如图8所示.
2.无初速度,但受其他水平外力作用
图9
【例5】 如图9所示,在平行导轨上放置两根质量均为m、电阻均为R、长度均为L的A、B两金属棒,两棒与导轨间的滑动摩擦力也均为f.现突然给A棒一恒定的水平外力F的作用,试定性讨论A、B两金属棒的运动情况.
解析:(1)当F≤2f时,A棒有:F-f-F安=ma,所以F安≤f,则B棒处于静止状态.A棒加速,感应电流和安培力会变大,故A棒的加速度将逐渐减小.当安培力增大到F安=f时,此后若A棒继续加速(a>0),F安继续增大,将F安>f代入F-f-F安=ma,得F>2f,图10这与题设“F≤2f”矛盾,可见,当安培力增大到F安=f时,此后A棒不再加速,做匀速直线运动,而B棒一直处于静止.速度图像如图10所示.
(2)当F>f时,对A棒有:F-f-F安=ma,所以F安>f,可见B棒也将开始作变加速运动,但aA>aB,两者的速度之差越来越大.因为总电动势E=BL(vA-vB),故I感和F安会变大,aA减小而aB增大,当aA=aB时,此后假设“aA继续减小,aB继续增大”,由E=BL(vA-vB)知:E减小,I感减小,F安减小.由aA=(F-f-F安)/m,aB=(F安-f)/m得:aA增大而aB减小,图11这与假设“aA继续减小aB继续增大”相矛盾.因此,当aA=aB时,此后A、B两棒均作匀变速运动.速度图像如图11所示.
综上所述,金属棒收尾运动的情形虽然较多,但是解题的基本思路相同,那就是:金属棒运动→产生感应电动势→影响回路电流→a棒受安培力的变化→b棒运动状态的变化→棒最终处于一种稳定的收尾运动.
(责任编辑:易志毅)