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摘 要:新课程的数学教材重视数学文化,2009年高考数学湖北卷第10题的出现对以后的数学课堂教学起到了很好的导向作用.在教学过程中我们应该多关注以数学史、数学文化为背景的题目,这也符合新课改的基本理念.
关键词:数学文化
■题目呈现
古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:
他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,故将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数. 下列数中既是三角形数又是正方形数的是()
A. 289 B. 1024
C. 1225D. 1378
■解法探究
故选C.
本题中1225既是三角形数又是正方形数,这样的数称为“三角平方数”,它与数论中的“Pell方程”有关,形如x2-dy2=±1的不定方程称为Pell方程,其中d是正整数且d不是完全平方数. 由前面的讨论知,若有某数既是Pell方程x2-2y2=1.它的前几个解为x=3,y=2,x=17,y=12,x=99,y=70,x=577,y=408,…,相应地可得到m=1,n=1,m=8,n=6,m=49,n=35,m=288,n=204,…因而“三角平方数”的前几个数是1,36,1225, 41616,…
■精彩理由
本题作为选择题的最后一题,具有一定的难度和区分功能,根据这一需求,命题专家选取课本资源予以改造,命出此题,确实让人耳目一新.
1. 源于课本,高于课本
本题涉及的“多边形数”是数学史的一个重要内容,“数学史选讲”教材介绍过“多边形数”,人教版2007年数学必修5中2.1节《数列的概念与简单表示法》的第一段是这样引入的:“传说古希腊毕达哥拉斯(Py-thagoras,约公元前570年—约公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数. 比如,他们研究过1,3,6, 10,…,由于这些数可以用图2.1-1中表示的三角形点阵表示,他们就将其称为三角形数;类似地,1,4,9,16,…被称为正方形数,因为这些数能够表示成正方形(图2.1-2). ”其中三角形数1,3,6,10…常考,如2006年高考数学广东卷第14题等,而本题将三角形数与正方形数同时考查,试题更有新意.
2. 情境创新,考查能力
本题给出的问题情境,构思比较新颖,创意比较独特. 考查学生的阅读、观察、归纳以及猜测能力,要求学生的思维灵活、敏捷,从给出的数据信息能够发现规律并运用规律. 本题实质是先观察、归纳以及构建数列,推测出(求出)数列的通项公式,再通过检验找出正确选项.
3. 背景公平
本题将“多边形数”与“Pell方程”两个背景有机结合,通过阅读材料,融入数列有关知识,让学生在相同的知识背景和思维起点上进行考查,充分展示其阅读理解能力和归纳推理能力的差异性. 体现了背景公平的命题原则,对(下转第17页)(上接第8页)学生以课本为依托,注重数学阅读和思考起到了很好的引领作用. 这类问题能让学生在解题时欣赏博大精深的数学史文化,解题后的反思中可接触和探索数论的奥秘,无形之中提高了学生的数学素养.
4. 数学文化进考场
本题蕴涵着两个数学文化知识,一个是古希腊的毕达哥拉斯学派,另一个是“形数理论”. 古代数学家用新课程的数学教材重视数学文化,关注数学史的内容,关注数学史中包含的数学概念、方法、思想的起源,让数学史走进课堂有重要的教育价值,它不仅可以激发学生的学习兴趣,启迪学生的思维,而且可以帮助学生更好地理解数学. 以人教版为例,新教材不仅在“阅读与思考”这一栏中明显增多了有关国内外数学历史知识、数学家的介绍,而且还体现在每一章、每一节的数学知识引入上. “数学文化与数学同在,只要有数学,就一定有数学文化”这一理念贯穿在新教材的每个章节中. 但许多一线教师认为,高考又不考数学文化,因而在实际的教学过程中,只重视知识的传授,解题方法的归纳,而不重视、不挖掘、不渗透数学知识中包含的丰富而深刻的文化内涵,本题的出现恰好对以后的数学课堂教学起到了很好的导向作用. 在教学过程中,教师应该多关注以数学史、数学文化为背景的题目,这也符合新课改的基本理念.
关键词:数学文化
■题目呈现
古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:
他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,故将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数. 下列数中既是三角形数又是正方形数的是()
A. 289 B. 1024
C. 1225D. 1378
■解法探究
故选C.
本题中1225既是三角形数又是正方形数,这样的数称为“三角平方数”,它与数论中的“Pell方程”有关,形如x2-dy2=±1的不定方程称为Pell方程,其中d是正整数且d不是完全平方数. 由前面的讨论知,若有某数既是Pell方程x2-2y2=1.它的前几个解为x=3,y=2,x=17,y=12,x=99,y=70,x=577,y=408,…,相应地可得到m=1,n=1,m=8,n=6,m=49,n=35,m=288,n=204,…因而“三角平方数”的前几个数是1,36,1225, 41616,…
■精彩理由
本题作为选择题的最后一题,具有一定的难度和区分功能,根据这一需求,命题专家选取课本资源予以改造,命出此题,确实让人耳目一新.
1. 源于课本,高于课本
本题涉及的“多边形数”是数学史的一个重要内容,“数学史选讲”教材介绍过“多边形数”,人教版2007年数学必修5中2.1节《数列的概念与简单表示法》的第一段是这样引入的:“传说古希腊毕达哥拉斯(Py-thagoras,约公元前570年—约公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数. 比如,他们研究过1,3,6, 10,…,由于这些数可以用图2.1-1中表示的三角形点阵表示,他们就将其称为三角形数;类似地,1,4,9,16,…被称为正方形数,因为这些数能够表示成正方形(图2.1-2). ”其中三角形数1,3,6,10…常考,如2006年高考数学广东卷第14题等,而本题将三角形数与正方形数同时考查,试题更有新意.
2. 情境创新,考查能力
本题给出的问题情境,构思比较新颖,创意比较独特. 考查学生的阅读、观察、归纳以及猜测能力,要求学生的思维灵活、敏捷,从给出的数据信息能够发现规律并运用规律. 本题实质是先观察、归纳以及构建数列,推测出(求出)数列的通项公式,再通过检验找出正确选项.
3. 背景公平
本题将“多边形数”与“Pell方程”两个背景有机结合,通过阅读材料,融入数列有关知识,让学生在相同的知识背景和思维起点上进行考查,充分展示其阅读理解能力和归纳推理能力的差异性. 体现了背景公平的命题原则,对(下转第17页)(上接第8页)学生以课本为依托,注重数学阅读和思考起到了很好的引领作用. 这类问题能让学生在解题时欣赏博大精深的数学史文化,解题后的反思中可接触和探索数论的奥秘,无形之中提高了学生的数学素养.
4. 数学文化进考场
本题蕴涵着两个数学文化知识,一个是古希腊的毕达哥拉斯学派,另一个是“形数理论”. 古代数学家用新课程的数学教材重视数学文化,关注数学史的内容,关注数学史中包含的数学概念、方法、思想的起源,让数学史走进课堂有重要的教育价值,它不仅可以激发学生的学习兴趣,启迪学生的思维,而且可以帮助学生更好地理解数学. 以人教版为例,新教材不仅在“阅读与思考”这一栏中明显增多了有关国内外数学历史知识、数学家的介绍,而且还体现在每一章、每一节的数学知识引入上. “数学文化与数学同在,只要有数学,就一定有数学文化”这一理念贯穿在新教材的每个章节中. 但许多一线教师认为,高考又不考数学文化,因而在实际的教学过程中,只重视知识的传授,解题方法的归纳,而不重视、不挖掘、不渗透数学知识中包含的丰富而深刻的文化内涵,本题的出现恰好对以后的数学课堂教学起到了很好的导向作用. 在教学过程中,教师应该多关注以数学史、数学文化为背景的题目,这也符合新课改的基本理念.