“希望杯”全国数学邀请赛试题越来越深受高中学生的亲眯，其原因就在于“希望杯”赛题的考查内容广而新，题型灵活多变、充满生机与活力，解题方法丰富多彩、别居一格.近几年各省市数学竞赛题中常常出现函数与根式的“联姻”考题，本文介绍一道 “希望杯”赛题的几种解法，供参考.
　　题目：（第25届 “希望杯”全国数学邀请赛）当函数y=
　　x2+2x+5+x2-4x+5取最小值时，x的值是（ ）
　　（A）-1 （B）1 （C）2 （D） 32
　　此题虽然内容简朴平淡，给人以轻车熟路之感，但解题思路与方法却灵活巧妙、多种多样，求解过程妙趣横生，给人以“柳暗花明又一村”之美感.
　　方法一 利用向量不等式|a
　　| +|b
　　|≥|a+b
　　|.
　　解法1：因为
　　x2+2x+5+x2-4x+5=
　　（x+1）2+22
　　+（2-x）2+12，
　　所以设a
　　=（x+1，2），b
　　=（2-x，1），则 a+b
　　=（3，3），
　　所以|a+b
　　|=32+32=32，
　　所以由|a
　　|+|b
　　|≥|a+b
　　|，得
　　（x+1）2+22+
　　（2-x）2+12≥32，
　　即x2+2x+5+
　　x2-4x+5≥32，当且仅当
　　x+12-x=21，即x=1时取等号.
　　所以当x=1时，
　　x2+2x+5
　　+x2-4x+5
　　取最小值32.
　　故选择：（B）.
　　评注：利用化平方和构造向量，将所求问题转化为向量不等式问题，直接利用向量三角不等式公式
　　|a
　　|+|b
　　|≥|a+b
　　|进行求解，但要特别注意：（1）合理设出
　　a、b
　　是解决本题的关键，必须使a+b
　　中不含未知项，故只需要把未知项化为相反数即可；（2）要关注等号成立的条件，本题恰好就是利用等号成立的条件求出x的值，这是解决此题的关键所在.
　　方法二 利用复数的性质|z1|+|z2|≥|z1+z2|
　　解法2：因为x2+2x+5
　　=（x+1）2+22，
　　x2-4x+5=（2-x）2+12，
　　设z1=（x+1）+2i，z2=（2-x）+i，则
　　|z1|=（x+1）2+22，|z2|=
　　（2-x）2+12，
　　所以由复数的性质|z1|+|z2|≥|z1+z2|，得
　　（x+1）2+22
　　+（2-x）2+12≥|（x+1+2i）+（2-x+i）|
　　=|3+3i|=
　　32+32=32
　　，
　　即x2+2x+5+
　　x2-4x+5≥32，当且仅当
　　x+12-x=21，即x=1时取等号.
　　所以当x=1时，
　　x2+2x+5+x2-4x+5
　　取最小值32.
　　故选择（B）.
　　评注：巧用模构造复数，并将所求问题转化为复数问题，直接利用复数的性质
　　|z1|+|z2|≥|z1+z2|简捷求解，构造复数的关键是必须考虑到
　　z1+z2中未知项相加为0才行，此法也是利用等号成立的条件求出
　　x的值.
　　方法三 利用组成三角形的条件
　　解法3：由“三角形两边之和不小于第三边”的不等式
　　（x1-x2）2+（y1-y2）2
　　+（x1-x3）2+（y1-y3）2≥
　　（x2-x3）2+（y2-y3）2
　　（当且仅当
　　y1-y2x1-x2=
　　y1-y3x1-x3
　　时取等号），得
　　x2+2x+5
　　+x2-4x+5
　　=
　　[x-（-1）]2+（0-2）2+
　　（x-2）2+[0-（-1）]2
　　≥（-1-2）2+[2-（-1）2]
　　=32
　　，当且仅当
　　0-2x+1=
　　0-（-1）x-2
　　，即x=1时取等号，
　　所以当x=1时，
　　x2+2x+5+x2-4x+5
　　取最小值32.
　　故选择：（B）.
　　评注：巧用“三角形两边之和不小于第三边”模构造三角形，可将所求问题转化为三角形边长问题，直接利用组成三角形的不等式公式
　　（x1-x2）2+（y1-y2）2+
　　（x1-x3）2+
　　（y1-y3）2≥（x2-x3）2+（y2-y3）2
　　进行求解，其中要使
　　（x2-x3）2+（y2-y3）2中不含未知项才能得到最小值，从而借助等号成立的条件求出 的值.
　　方法四 利用数形结合
　　解法4：由
　　x2+2x+5+
　　x2-4x+5
　　=
　　[x-（-1）]2+[0-（-2）]2
　　+（x-2）2+（0-1）2
　　，可以看作是“点P（x，0）到点M（-1，-2）和点N（2，1）的距离之和|PM|+|PN|”，
　　因为点N（2，1）在第一象限，点M（-1，-2）在第三象限，
　　所以函数y=x2+2x+5
　　+x2-4x+5取最小值就是线段MN的长，点
　　P（x，0）即为直线MN与x轴的交点，如图1所示.
　　图1
　　所以由两点式，得y-（-2）1-（-2）
　　=x-（-1）2-（-1），
　　化简得y=x-1，
　　令y=0时，则x-1=0，
　　即x=1，
　　所以当x=1时，
　　函数y=x2+2x+5+x2-4x+5取最小值.
　　故选择：（B）.
　　评注：若把x2+2x+5
　　+x2-4x+5化为
　　[x-（-1）]2+（0-2）2+
　　（x-2）2+（0-1）2，知点
　　（-1，2）和点（2，1）都在x轴的上方，故还需要用对称性才能求解，这样做较为复杂.而解法4却有意识地把
　　x2+2x+5
　　+x2-4x+5
　　化为
　　[x-（-1）]2+[0-（-2）]2
　　+（x-2）2+（0-1）2
　　，实现一步到位，即把点M（-1，-2）和点N（2，1）化在x轴的两侧，这样选择的优势在于直接求直线MN与x轴的交点的横坐标即为所求的x的值，故解法4巧妙地通过数形结合的数学思想方法，使解题思路清晰明朗、解题过程简单易掌握.