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“希望杯”全国数学邀请赛试题越来越深受高中学生的亲眯,其原因就在于“希望杯”赛题的考查内容广而新,题型灵活多变、充满生机与活力,解题方法丰富多彩、别居一格.近几年各省市数学竞赛题中常常出现函数与根式的“联姻”考题,本文介绍一道 “希望杯”赛题的几种解法,供参考.
题目:(第25届 “希望杯”全国数学邀请赛)当函数y=
x2+2x+5+x2-4x+5取最小值时,x的值是( )
(A)-1 (B)1 (C)2 (D) 32
此题虽然内容简朴平淡,给人以轻车熟路之感,但解题思路与方法却灵活巧妙、多种多样,求解过程妙趣横生,给人以“柳暗花明又一村”之美感.
方法一 利用向量不等式|a
| +|b
|≥|a+b
|.
解法1:因为
x2+2x+5+x2-4x+5=
(x+1)2+22
+(2-x)2+12,
所以设a
=(x+1,2),b
=(2-x,1),则 a+b
=(3,3),
所以|a+b
|=32+32=32,
所以由|a
|+|b
|≥|a+b
|,得
(x+1)2+22+
(2-x)2+12≥32,
即x2+2x+5+
x2-4x+5≥32,当且仅当
x+12-x=21,即x=1时取等号.
所以当x=1时,
x2+2x+5
+x2-4x+5
取最小值32.
故选择:(B).
评注:利用化平方和构造向量,将所求问题转化为向量不等式问题,直接利用向量三角不等式公式
|a
|+|b
|≥|a+b
|进行求解,但要特别注意:(1)合理设出
a、b
是解决本题的关键,必须使a+b
中不含未知项,故只需要把未知项化为相反数即可;(2)要关注等号成立的条件,本题恰好就是利用等号成立的条件求出x的值,这是解决此题的关键所在.
方法二 利用复数的性质|z1|+|z2|≥|z1+z2|
解法2:因为x2+2x+5
=(x+1)2+22,
x2-4x+5=(2-x)2+12,
设z1=(x+1)+2i,z2=(2-x)+i,则
|z1|=(x+1)2+22,|z2|=
(2-x)2+12,
所以由复数的性质|z1|+|z2|≥|z1+z2|,得
(x+1)2+22
+(2-x)2+12≥|(x+1+2i)+(2-x+i)|
=|3+3i|=
32+32=32
,
即x2+2x+5+
x2-4x+5≥32,当且仅当
x+12-x=21,即x=1时取等号.
所以当x=1时,
x2+2x+5+x2-4x+5
取最小值32.
故选择(B).
评注:巧用模构造复数,并将所求问题转化为复数问题,直接利用复数的性质
|z1|+|z2|≥|z1+z2|简捷求解,构造复数的关键是必须考虑到
z1+z2中未知项相加为0才行,此法也是利用等号成立的条件求出
x的值.
方法三 利用组成三角形的条件
解法3:由“三角形两边之和不小于第三边”的不等式
(x1-x2)2+(y1-y2)2
+(x1-x3)2+(y1-y3)2≥
(x2-x3)2+(y2-y3)2
(当且仅当
y1-y2x1-x2=
y1-y3x1-x3
时取等号),得
x2+2x+5
+x2-4x+5
=
[x-(-1)]2+(0-2)2+
(x-2)2+[0-(-1)]2
≥(-1-2)2+[2-(-1)2]
=32
,当且仅当
0-2x+1=
0-(-1)x-2
,即x=1时取等号,
所以当x=1时,
x2+2x+5+x2-4x+5
取最小值32.
故选择:(B).
评注:巧用“三角形两边之和不小于第三边”模构造三角形,可将所求问题转化为三角形边长问题,直接利用组成三角形的不等式公式
(x1-x2)2+(y1-y2)2+
(x1-x3)2+
(y1-y3)2≥(x2-x3)2+(y2-y3)2
进行求解,其中要使
(x2-x3)2+(y2-y3)2中不含未知项才能得到最小值,从而借助等号成立的条件求出 的值.
方法四 利用数形结合
解法4:由
x2+2x+5+
x2-4x+5
=
[x-(-1)]2+[0-(-2)]2
+(x-2)2+(0-1)2
,可以看作是“点P(x,0)到点M(-1,-2)和点N(2,1)的距离之和|PM|+|PN|”,
因为点N(2,1)在第一象限,点M(-1,-2)在第三象限,
所以函数y=x2+2x+5
+x2-4x+5取最小值就是线段MN的长,点
P(x,0)即为直线MN与x轴的交点,如图1所示.
图1
所以由两点式,得y-(-2)1-(-2)
=x-(-1)2-(-1),
化简得y=x-1,
令y=0时,则x-1=0,
即x=1,
所以当x=1时,
函数y=x2+2x+5+x2-4x+5取最小值.
故选择:(B).
评注:若把x2+2x+5
+x2-4x+5化为
[x-(-1)]2+(0-2)2+
(x-2)2+(0-1)2,知点
(-1,2)和点(2,1)都在x轴的上方,故还需要用对称性才能求解,这样做较为复杂.而解法4却有意识地把
x2+2x+5
+x2-4x+5
化为
[x-(-1)]2+[0-(-2)]2
+(x-2)2+(0-1)2
,实现一步到位,即把点M(-1,-2)和点N(2,1)化在x轴的两侧,这样选择的优势在于直接求直线MN与x轴的交点的横坐标即为所求的x的值,故解法4巧妙地通过数形结合的数学思想方法,使解题思路清晰明朗、解题过程简单易掌握.
题目:(第25届 “希望杯”全国数学邀请赛)当函数y=
x2+2x+5+x2-4x+5取最小值时,x的值是( )
(A)-1 (B)1 (C)2 (D) 32
此题虽然内容简朴平淡,给人以轻车熟路之感,但解题思路与方法却灵活巧妙、多种多样,求解过程妙趣横生,给人以“柳暗花明又一村”之美感.
方法一 利用向量不等式|a
| +|b
|≥|a+b
|.
解法1:因为
x2+2x+5+x2-4x+5=
(x+1)2+22
+(2-x)2+12,
所以设a
=(x+1,2),b
=(2-x,1),则 a+b
=(3,3),
所以|a+b
|=32+32=32,
所以由|a
|+|b
|≥|a+b
|,得
(x+1)2+22+
(2-x)2+12≥32,
即x2+2x+5+
x2-4x+5≥32,当且仅当
x+12-x=21,即x=1时取等号.
所以当x=1时,
x2+2x+5
+x2-4x+5
取最小值32.
故选择:(B).
评注:利用化平方和构造向量,将所求问题转化为向量不等式问题,直接利用向量三角不等式公式
|a
|+|b
|≥|a+b
|进行求解,但要特别注意:(1)合理设出
a、b
是解决本题的关键,必须使a+b
中不含未知项,故只需要把未知项化为相反数即可;(2)要关注等号成立的条件,本题恰好就是利用等号成立的条件求出x的值,这是解决此题的关键所在.
方法二 利用复数的性质|z1|+|z2|≥|z1+z2|
解法2:因为x2+2x+5
=(x+1)2+22,
x2-4x+5=(2-x)2+12,
设z1=(x+1)+2i,z2=(2-x)+i,则
|z1|=(x+1)2+22,|z2|=
(2-x)2+12,
所以由复数的性质|z1|+|z2|≥|z1+z2|,得
(x+1)2+22
+(2-x)2+12≥|(x+1+2i)+(2-x+i)|
=|3+3i|=
32+32=32
,
即x2+2x+5+
x2-4x+5≥32,当且仅当
x+12-x=21,即x=1时取等号.
所以当x=1时,
x2+2x+5+x2-4x+5
取最小值32.
故选择(B).
评注:巧用模构造复数,并将所求问题转化为复数问题,直接利用复数的性质
|z1|+|z2|≥|z1+z2|简捷求解,构造复数的关键是必须考虑到
z1+z2中未知项相加为0才行,此法也是利用等号成立的条件求出
x的值.
方法三 利用组成三角形的条件
解法3:由“三角形两边之和不小于第三边”的不等式
(x1-x2)2+(y1-y2)2
+(x1-x3)2+(y1-y3)2≥
(x2-x3)2+(y2-y3)2
(当且仅当
y1-y2x1-x2=
y1-y3x1-x3
时取等号),得
x2+2x+5
+x2-4x+5
=
[x-(-1)]2+(0-2)2+
(x-2)2+[0-(-1)]2
≥(-1-2)2+[2-(-1)2]
=32
,当且仅当
0-2x+1=
0-(-1)x-2
,即x=1时取等号,
所以当x=1时,
x2+2x+5+x2-4x+5
取最小值32.
故选择:(B).
评注:巧用“三角形两边之和不小于第三边”模构造三角形,可将所求问题转化为三角形边长问题,直接利用组成三角形的不等式公式
(x1-x2)2+(y1-y2)2+
(x1-x3)2+
(y1-y3)2≥(x2-x3)2+(y2-y3)2
进行求解,其中要使
(x2-x3)2+(y2-y3)2中不含未知项才能得到最小值,从而借助等号成立的条件求出 的值.
方法四 利用数形结合
解法4:由
x2+2x+5+
x2-4x+5
=
[x-(-1)]2+[0-(-2)]2
+(x-2)2+(0-1)2
,可以看作是“点P(x,0)到点M(-1,-2)和点N(2,1)的距离之和|PM|+|PN|”,
因为点N(2,1)在第一象限,点M(-1,-2)在第三象限,
所以函数y=x2+2x+5
+x2-4x+5取最小值就是线段MN的长,点
P(x,0)即为直线MN与x轴的交点,如图1所示.
图1
所以由两点式,得y-(-2)1-(-2)
=x-(-1)2-(-1),
化简得y=x-1,
令y=0时,则x-1=0,
即x=1,
所以当x=1时,
函数y=x2+2x+5+x2-4x+5取最小值.
故选择:(B).
评注:若把x2+2x+5
+x2-4x+5化为
[x-(-1)]2+(0-2)2+
(x-2)2+(0-1)2,知点
(-1,2)和点(2,1)都在x轴的上方,故还需要用对称性才能求解,这样做较为复杂.而解法4却有意识地把
x2+2x+5
+x2-4x+5
化为
[x-(-1)]2+[0-(-2)]2
+(x-2)2+(0-1)2
,实现一步到位,即把点M(-1,-2)和点N(2,1)化在x轴的两侧,这样选择的优势在于直接求直线MN与x轴的交点的横坐标即为所求的x的值,故解法4巧妙地通过数形结合的数学思想方法,使解题思路清晰明朗、解题过程简单易掌握.